Elektromagnetismoa

Autoindukzioa 
eta elkar-indukzioa

Autoindukzioa.
R-L zirkuitua

Zirkuitu akoplatuak (I)

Zirkuitu akoplatuak (II)

Oszilazio elektrikoak

Kondentsadore-
bikotearen problema

K. alternoko zirkuitu
baten elementuak

Sistema elektro-
mekaniko oszilatzailea

Eraztun baten auto-
indukzioa neurtzea

LCR zirkuitua seriean
Erresonantzia

Argiaren abiadura 
hutsean neurtzea

Faraday-ren legearen
efektu mekanikoak

Thomson-en eraztuna (I)

Thomson-en eraztuna (II)

Mugimendua eremu magnetikoan

Saiakuntza

Erreferentzia

Hagatxo bat sabaitik eskegita dago malguki batez. Bere masa m da eta malgukiaren konstantea k. Hagatxoa kontaktuan dago bi muturretatik, baina marruskadurarik gabe, habe bertikal eroale eta paralelo birekin. Habe bien arteko distantzia l da eta azpian konektatuta daude kondentsadore baten bitartez. Kondentsadoreak C kapazitatea du, eta planoarekiko perpendikularki B eremu magnetikoa dago.

Mugimendua eremu magnetikorik gabe

Hagatxo bat malguki batean eskegitzen bada eta orekan uzten bada, hagatxoaren pisua, mg, malgukiaren indarrarekin, kx_e orekatzen da, irudiak erakusten duen bezala. Malgukia luzatu gabe dagoenean bere muturraren O posizioa erreferentziatzat hartzen badugu, orduan malgukia luzatuta dagoenean eta orekan:

x_e=-mg/k

Hagatxoa, oreka ez den posizio batetik askatzen bada higidura harmoniko sinplea jarraituko du (H.H.S). Bitarteko edozein x posiziotan hagatxoak jasango dituen indarrak bi dira:

• Pisua, mg

• Malgukiaren indarra, kx

Higiduraren ekuazioa hau da:

Aldagai aldaketa bat egiten, y=x+mg/k, ekuazio diferentziala berridazten da:

Azken ekuazio horren soluzioa da higidura harmoniko sinplea:

y=Asin(ωt+φ)
x= - mg/k+Asin(ωt+φ)
v=dx/dt=Aωcos(ωt+φ)

A eta φ konstanteak hasierako baldintzen araberakoak dira, alegia, hasierako posizioa eta hasierako abiaduraren araberakoak: baldin t=0 unean, posizioa x₀ bada eta hasierako abiadura nulua bada:

x= - mg/k+(x₀+mg/k)cos(ωt)
v=dx/dt= - (x₀+mg/k)·ωsin(ωt)

Energiaren analisia

Har dezagun energia potentzialaren jatorritzat O puntua, malgukiaren muturra luzatu gabe dagoenean.

Sistemaren hasierako energia osoa kalkulatzeko kontuan izan behar da t=0 aldiunean bere posizioa x_o dela eta abiadura v=0. Horrela bere energia osoa hau da:

• Energia potentzial grabitatorioa.

• Energia potentzial elastikoa.

Beste une batean, t aldiunean, hagatxoaren posizioa x denean eta bere abiadura v denean, bere energia osoa hiru batugairen batura izango da:

• Energia potentzial grabitatorioa.

• Energia potentzial elastikoa.

• Hagatxoaren energia zinetikoa

Ekuazio horretan ordezkatzen badira x eta v-ren adierazpenak denboraren menpe, eta zenbait sinplifikazio eginez, egiaztatzen da sistemaren energia t aldiunean eta hasieran berdinak direla.

Mugimendua eremu magnetikoan

Demagun eremu magnetikoa badagoela, B, orriaren perpendikularra eta irakurlerantz, irudiak erakusten duen bezala. Hagatxoa t aldiunean x posizioan dago:

Hagatxoak eta habeek zirkuitu itxi bat osatzen dute eta eremu magnetikoak zirkuitu horretan fluxua eragiten du:

Ф=B·S=B·l·(d+x)·cos0º

Indar elektroeragile induzitua hau da:

Eta beraz kondentsadorearen karga:

q=C·V_є= - CBlv

Eta korrontearen intentsitatea zirkuituan:

Korronte horren eraginez, eremu magnetikoak hagatxoari indarra eragiten dio, ondoko biderketa bektorialak adierazten duena:

Indarraren modulua hau da:  F_m=iBl  eta noranzkoa irudiak erakusten duena:

Hagatxoari hiru indarrek bultzatzen diote:

• Pisua, mg

• Malgukiak egiten dion indarra, x luzapenaren arabera,  kx

• Eremu magnetikoak hagatxoan zirkulatzen ari den i korronteari eragiten diona:  F_m=iBl

Hagatxoaren higiduraren ekuazioa hau da:

edo bestela:

Eta lehenagoko aldagai-aldaketa errepikatuz:  y=x+mg/k,

Ekuazio diferentzial horren soluzioa aurreko atalean aztertu duguna bezalakoa da, alegia, higidura harmoniko sinplea, gorputz batek malguki elastiko batean lotuta dagoenean daukana, baina maiztasun angeluarra ezberdina da:

y=Asin(ωt+φ)
x= - mg/k+Asin(ωt+φ)
v=dx/dt=Aωcos(ωt+φ)

A eta φ konstanteak hasierako baldintzen arabera kalkulatzen dira:  t=0 unean, posizioa x₀ da, eta abiadura nulua.

x= - mg/k+(x₀+mg/k)cos(ωt)
v=dx/dt= - (x₀+mg/k)·ωsin(ωt) 

• Indar elektroeragilearen adierazpena denboraren menpe:

• Intentsitatea:

Intentsitatea aurreratuta dago 90º indar elektroeragilearekiko.

• Kondentsadorearen karga:

Energiaren analisia

Sistemaren energia kalkulatzeko hasierako aldiunean, kontutan izan behar da, t=0 unean hagatxoaren posizioa x₀ dela, abiadura nulua v=0, eta kondentsadorea deskargatuta dagoela. Beraz, hasierako energia bi energien batura da:

• Energia potentzial grabitatorioa

• Energia potentzial elastikoa

Eta sistema osoaren energia, baina edozein t aldiunetan, hagatxoaren posizioa x denean eta bere abiadura v, sistemaren energia osoa lau energien batura da:

• Energia potentzial grabitatorioa

• Energia potentzial elastikoa

• Hagatxoaren energia zinetikoa

• Kondentsadore kargatuaren energia

Ekuazio horretan ordezkatzen badira hagatxoaren posizioa eta abiadura x eta v, eta kondentsadorearen karga, q-ren adierazpenak denboraren menpe, eta zenbait sinplifikazio eginez, egiaztatzen da sistemaren energia t aldiunean eta hasieran berdinak direla.

Saiakuntza

Berria botoia sakatu.

• Saguarekin gezi gorria mugituz hagatxoaren hasierako posizioa kontrola daiteke, 5 eta -20 cm tartean.

Idatzi:

• Eremu magnetikoa, B, dagokion laukian idatziz edo desplazamendu-barra mugitzen.

• Kondentsadorearen C kapazitatea  milifarad-etan (10^-3 F), dagokion laukian idatziz edo desplazamendu-barra mugitzen.

• Hagatxoaren masa finkoa hartu da: m=0.001 kg.

• Malgukiaren konstante elastikoa ere finkoa hartu da: k=0.1 N/m

• Hagatxoaren luzera l=25 cm=0.25 m

Hasi botoia sakatu.

Hagatxoaren mugimendua behatzen da, habe paralelo eta bertikal bien gainean.

Korrontea adierazteko puntu gorriek karga-eramaile positiboak adierazten dituzte.

Kondentsadorearen karga adierazteko urdinez eta gorriz erakusten da xafla positiboa eta negatiboa hurrenez hurren. Behatzen denez, oszilatzen dihardu.

Appletaren erdiko aldean barra-diagrama batek sistemaren energia adierazten du, eta nola bilakatzen den:

• Kolore urdinez, malgukiaren energia potentzial elastikoa adierazten da, kx²/2.

• Kolore gorriz, kondentsadorean metatutako energia eremu elektrostatiko gisa, q²/(2C).

• Kolore gris argiaz, hagatxoaren energia zinetikoa, mv²/2

• Kolore gris ilunaz, hagatxoaren energia potentzial grabitatorioa, mgx. Azken energia-mota hori positiboa zein negatiboa ere izan daiteke, hagatxoaren posizioaren arabera. Erreferentziazko altueratik gora, x>0 edo behera,  x<0.

Azkenik, eta denboraren menpeko grafikoan, adierazten dira, V_є indar elektroeragilea eta korrontearen i intentsitatea. Ikusten denez, korrontea aurreratuta dago indar elektroeragilearekiko 90º.

Ondorengo simulazioan aukeratu diren balioak, bai kapazitaterako eta baita eremu magnetikorako ohikoak baino altuagoak dira:

C 10^-3 F ingurukoak eta B 1 T ingurukoak.

Adibidea:

C=2·10^-3 F
B=3 T, (irakurlerantz)
k=0.1 N/m
m=0.001 kg
l=0.25 m
Saguarekin hagatxoaren hasierako posizioa ezartzen da:  x₀=0.05 m.

Eremu magnetikorik ezean, sistema osoak (malgukia + hagatxoa) oszilatu egingo du, ondoko maiztasun angeluarraz:

Periodoa P=2π/ω=0.63 s

Eta eremu magnetiko uniforme baten presentzian, oszilazioen maiztasun angeluarra hau izango da:

Beraz periodoa P=0.92 s

Esate baterako aldiune honetan:  t=P/4=0.23 s

• Hagatxoaren posizioa:

x=-mg/k+(x₀+mg/k)cos(ωt)

• Eta hagatxoaren abiadura:

v=dx/dt=-(x₀+mg/k)·ωsin(ωt)

• Zirkuituan sortutako indar elektroeragilea:

Indar elektroeragilearen anplitudea 0.76 V

• Korrontearen intentsitatea:

Intentsitatearen anplitudea 0.01 A

• Kondentsadorearen karga

Energiaren analisia

Hagatxoa hasierako aldiunean, t=0 unean, x=0.05 m posizioa du, eta abiadura nulua v=0. Sistemaren energia hasieran:

• Energia potentzial elastikoa

E_e=kx²/2=0.1·0.05²/2=1.25·10^-4 J

• Energia potentzial grabitatorioa

E_g=mgx=0.001·9.8·0.05=4.9·10^-4 J

Hasierako energia osoa:

E=E_e+E_g=6.15·10^-4 J

Eta sistemaren energia baina lehen kalkulatutako aldiune berean:  t=P/4=0.23 s, ondoko energia guztien batura da:

• Malgukiaren luzapenari dagokion energia potentzial elastikoa:

E_e=kx²/2=0.1·(-0.098)²/2=4.8·10^-4 J

• Energia potentzial grabitatorioa

E_g=mgx=0.001·9.8·(-0.098)=-9.6·10^-4 J

• Hagatxoaren energia zinetikoa

E_k=mv²/2=0.001·(-1.015)²=5.15·10^-4 J

• Kondentsadorean eremu elektriko gisa metatutako energia:

E_c=q²/(2C)=(1.52·10^-3)²/(2·2·10^-3)=5.80·10^-4 J

Energia totala hau da:

E=E_e+E_g+E_k+E_c=6.15·10^-4 J           hasierako berbera