Sistema elektro-mekaniko oszilatzailea

prev.gif (1231 bytes)home.gif (1232 bytes)next.gif (1211 bytes)

Elektromagnetismoa

Autoindukzioa 
eta elkar-indukzioa
Autoindukzioa.
R-L zirkuitua
Zirkuitu akoplatuak (I)
Zirkuitu akoplatuak (II)
Oszilazio elektrikoak
Kondentsadore-
bikotearen problema
K. alternoko zirkuitu
baten elementuak
marca.gif (847 bytes)Sistema elektro-
mekaniko oszilatzailea
Eraztun baten auto-
indukzioa neurtzea
LCR zirkuitua seriean
Erresonantzia
Argiaren abiadura 
hutsean neurtzea
Faraday-ren legearen
efektu mekanikoak
Thomson-en eraztuna (I)
Thomson-en eraztuna (II)
Mugimendua eremu magnetikorik gabe

Mugimendua eremu magnetikoan

Saiakuntza

Erreferentzia

 

Hagatxo bat sabaitik eskegita dago malguki batez. Bere masa m da eta malgukiaren konstantea k. Hagatxoa kontaktuan dago bi muturretatik, baina marruskadurarik gabe, habe bertikal eroale eta paralelo birekin. Habe bien arteko distantzia l da eta azpian konektatuta daude kondentsadore baten bitartez. Kondentsadoreak C kapazitatea du, eta planoarekiko perpendikularki B eremu magnetikoa dago.

 

Mugimendua eremu magnetikorik gabe

Hagatxo bat malguki batean eskegitzen bada eta orekan uzten bada, hagatxoaren pisua, mg, malgukiaren indarrarekin, kxe orekatzen da, irudiak erakusten duen bezala. Malgukia luzatu gabe dagoenean bere muturraren O posizioa erreferentziatzat hartzen badugu, orduan malgukia luzatuta dagoenean eta orekan:

xe=-mg/k

 

Hagatxoa, oreka ez den posizio batetik askatzen bada higidura harmoniko sinplea jarraituko du (H.H.S). Bitarteko edozein x posiziotan hagatxoak jasango dituen indarrak bi dira:

  • Pisua, mg

  • Malgukiaren indarra, kx

Higiduraren ekuazioa hau da:

Aldagai aldaketa bat egiten, y=x+mg/k, ekuazio diferentziala berridazten da:

Azken ekuazio horren soluzioa da higidura harmoniko sinplea:

y=Asin(ωt+φ)
x
= - mg/k+Asin(ωt+φ)
v=dx/dt
=cos(ωt+φ)

A eta φ konstanteak hasierako baldintzen araberakoak dira, alegia, hasierako posizioa eta hasierako abiaduraren araberakoak: baldin t=0 unean, posizioa x0 bada eta hasierako abiadura nulua bada:

x= - mg/k+(x0+mg/k)cos(ωt)
v=dx/dt
= - (x0+mg/kωsin(ωt)

Energiaren analisia

Har dezagun energia potentzialaren jatorritzat O puntua, malgukiaren muturra luzatu gabe dagoenean.

Sistemaren hasierako energia osoa kalkulatzeko kontuan izan behar da t=0 aldiunean bere posizioa xo dela eta abiadura v=0. Horrela bere energia osoa hau da:

  • Energia potentzial grabitatorioa.

  • Energia potentzial elastikoa.

Beste une batean, t aldiunean, hagatxoaren posizioa x denean eta bere abiadura v denean, bere energia osoa hiru batugairen batura izango da:

  • Energia potentzial grabitatorioa.

  • Energia potentzial elastikoa.

  • Hagatxoaren energia zinetikoa

Ekuazio horretan ordezkatzen badira x eta v-ren adierazpenak denboraren menpe, eta zenbait sinplifikazio eginez, egiaztatzen da sistemaren energia t aldiunean eta hasieran berdinak direla.

 

Mugimendua eremu magnetikoan

Demagun eremu magnetikoa badagoela, B, orriaren perpendikularra eta irakurlerantz, irudiak erakusten duen bezala. Hagatxoa t aldiunean x posizioan dago:

Hagatxoak eta habeek zirkuitu itxi bat osatzen dute eta eremu magnetikoak zirkuitu horretan fluxua eragiten du:

Ф=B·S=B·l·(d+x)·cos0º

Indar elektroeragile induzitua hau da:

Eta beraz kondentsadorearen karga:

q=C·Vє= - CBlv

Eta korrontearen intentsitatea zirkuituan:

Korronte horren eraginez, eremu magnetikoak hagatxoari indarra eragiten dio, ondoko biderketa bektorialak adierazten duena:

Indarraren modulua hau da:  Fm=iBl  eta noranzkoa irudiak erakusten duena:

Hagatxoari hiru indarrek bultzatzen diote:

  • Pisua, mg

  • Malgukiak egiten dion indarra, x luzapenaren arabera,  kx

  • Eremu magnetikoak hagatxoan zirkulatzen ari den i korronteari eragiten diona:  Fm=iBl

Hagatxoaren higiduraren ekuazioa hau da:

edo bestela:

Eta lehenagoko aldagai-aldaketa errepikatuz:  y=x+mg/k,

Ekuazio diferentzial horren soluzioa aurreko atalean aztertu duguna bezalakoa da, alegia, higidura harmoniko sinplea, gorputz batek malguki elastiko batean lotuta dagoenean daukana, baina maiztasun angeluarra ezberdina da:

y=Asin(ωt+φ)
x
= - mg/k+Asin(ωt+φ)
v=dx/dt
=cos(ωt+φ)

A eta φ konstanteak hasierako baldintzen arabera kalkulatzen dira:  t=0 unean, posizioa x0 da, eta abiadura nulua.

x= - mg/k+(x0+mg/k)cos(ωt)
v=dx/dt
= - (x0+mg/kωsin(ωt

  • Indar elektroeragilearen adierazpena denboraren menpe:

  • Intentsitatea:

Intentsitatea aurreratuta dago 90º indar elektroeragilearekiko.

  • Kondentsadorearen karga:

Energiaren analisia

Sistemaren energia kalkulatzeko hasierako aldiunean, kontutan izan behar da, t=0 unean hagatxoaren posizioa x0 dela, abiadura nulua v=0, eta kondentsadorea deskargatuta dagoela. Beraz, hasierako energia bi energien batura da:

  • Energia potentzial grabitatorioa

  • Energia potentzial elastikoa

Eta sistema osoaren energia, baina edozein t aldiunetan, hagatxoaren posizioa x denean eta bere abiadura v, sistemaren energia osoa lau energien batura da:

  • Energia potentzial grabitatorioa

  • Energia potentzial elastikoa

  • Hagatxoaren energia zinetikoa

  • Kondentsadore kargatuaren energia

Ekuazio horretan ordezkatzen badira hagatxoaren posizioa eta abiadura x eta v, eta kondentsadorearen karga, q-ren adierazpenak denboraren menpe, eta zenbait sinplifikazio eginez, egiaztatzen da sistemaren energia t aldiunean eta hasieran berdinak direla.

 

Saiakuntza

Berria botoia sakatu.

  • Saguarekin gezi gorria mugituz hagatxoaren hasierako posizioa kontrola daiteke, 5 eta -20 cm tartean.

Idatzi:

  • Eremu magnetikoa, B, dagokion laukian idatziz edo desplazamendu-barra mugitzen.

  • Kondentsadorearen C kapazitatea  milifarad-etan (10-3 F), dagokion laukian idatziz edo desplazamendu-barra mugitzen.

  • Hagatxoaren masa finkoa hartu da: m=0.001 kg.

  • Malgukiaren konstante elastikoa ere finkoa hartu da: k=0.1 N/m

  • Hagatxoaren luzera l=25 cm=0.25 m

Hasi botoia sakatu.

Hagatxoaren mugimendua behatzen da, habe paralelo eta bertikal bien gainean.

Korrontea adierazteko puntu gorriek karga-eramaile positiboak adierazten dituzte.

Kondentsadorearen karga adierazteko urdinez eta gorriz erakusten da xafla positiboa eta negatiboa hurrenez hurren. Behatzen denez, oszilatzen dihardu.

Appletaren erdiko aldean barra-diagrama batek sistemaren energia adierazten du, eta nola bilakatzen den:

  • Kolore urdinez, malgukiaren energia potentzial elastikoa adierazten da, kx2/2.

  • Kolore gorriz, kondentsadorean metatutako energia eremu elektrostatiko gisa, q2/(2C).

  • Kolore gris argiaz, hagatxoaren energia zinetikoa, mv2/2

  • Kolore gris ilunaz, hagatxoaren energia potentzial grabitatorioa, mgx. Azken energia-mota hori positiboa zein negatiboa ere izan daiteke, hagatxoaren posizioaren arabera. Erreferentziazko altueratik gora, x>0 edo behera,  x<0.

Azkenik, eta denboraren menpeko grafikoan, adierazten dira, Vє indar elektroeragilea eta korrontearen i intentsitatea. Ikusten denez, korrontea aurreratuta dago indar elektroeragilearekiko 90º.

Ondorengo simulazioan aukeratu diren balioak, bai kapazitaterako eta baita eremu magnetikorako ohikoak baino altuagoak dira:

C 10-3 F ingurukoak eta B 1 T ingurukoak.

Adibidea:

C=2·10-3 F
B
=3 T, (irakurlerantz)
k
=0.1 N/m
m
=0.001 kg
l
=0.25 m
Saguarekin hagatxoaren hasierako posizioa ezartzen da:  x0=0.05 m.

Eremu magnetikorik ezean, sistema osoak (malgukia + hagatxoa) oszilatu egingo du, ondoko maiztasun angeluarraz:

Periodoa P=2π/ω=0.63 s

Eta eremu magnetiko uniforme baten presentzian, oszilazioen maiztasun angeluarra hau izango da:

Beraz periodoa P=0.92 s

Esate baterako aldiune honetan:  t=P/4=0.23 s

  • Hagatxoaren posizioa:

x=-mg/k+(x0+mg/k)cos(ωt)

  • Eta hagatxoaren abiadura:

v=dx/dt=-(x0+mg/kωsin(ωt)

  • Zirkuituan sortutako indar elektroeragilea:

Indar elektroeragilearen anplitudea 0.76 V

  • Korrontearen intentsitatea:

Intentsitatearen anplitudea 0.01 A

  • Kondentsadorearen karga

Energiaren analisia

Hagatxoa hasierako aldiunean, t=0 unean, x=0.05 m posizioa du, eta abiadura nulua v=0. Sistemaren energia hasieran:

  • Energia potentzial elastikoa

Ee=kx2/2=0.1·0.052/2=1.25·10-4 J

  • Energia potentzial grabitatorioa

Eg=mgx=0.001·9.8·0.05=4.9·10-4 J

Hasierako energia osoa:

E=Ee+Eg=6.15·10-4 J

Eta sistemaren energia baina lehen kalkulatutako aldiune berean:  t=P/4=0.23 s, ondoko energia guztien batura da:

  • Malgukiaren luzapenari dagokion energia potentzial elastikoa:

Ee=kx2/2=0.1·(-0.098)2/2=4.8·10-4 J

  • Energia potentzial grabitatorioa

Eg=mgx=0.001·9.8·(-0.098)=-9.6·10-4 J

  • Hagatxoaren energia zinetikoa

Ek=mv2/2=0.001·(-1.015)2=5.15·10-4 J

  • Kondentsadorean eremu elektriko gisa metatutako energia:

Ec=q2/(2C)=(1.52·10-3)2/(2·2·10-3)=5.80·10-4 J

Energia totala hau da:

E=Ee+Eg+Ek+Ec=6.15·10-4 J           hasierako berbera

 
SolenoideApplet aparecerá en un explorador compatible JDK 1.1

Saguarekin gezi gorria mugituz, hagatxoaren hasierako posizioa kontrola daiteke

 

Erreferentzia

Awesome oscillations. Physics challenges for teachers and students. The Physics Teacher, Vol. 42, May 2004, pp 2