Fluidoak

Fluidoen dinamika

Depositu bat hustu (I)

Depositu bat hustu (II)

Urak bultzatutako
kohetea

Oszilazioak, U
itxurako hodi batean 

Oszilazioak, ontzi
komunikatuetan

Fluido errealak
Poiseuille-ren legea

Gas baten
biskositatea

Likido baten
biskositatea

Fluido bat bi zilindro
ardazkideren tartean

Ontzi bat kapilar
batetik deskargatzen

Kapilardun ontzi baten
karga eta deskarga

Desintegrazio-kate
baten analogia

Erregimen laminarra
eta zurrunbilotsua

Magnus efektua

Saiakuntza

Aurreko kapituluan aztertu dugu depositu bat husten, baina gainetik irekita dagoela suposatuz.

Kapitulu honetan, berriz, depositua hustuko da baina gainetik estalki hermetiko batez itxita, eta gaineko aire horrek presio jakin bat izango du.

Kapitulu honetan oinarrituta, geroago, urak bultzatutako kohetea aztertu ahal izango dugu, eta problema horretan fisikaren hiru atal nagusi menperatu beharko dira: Fluidoen dinamika, Termodinamika eta partikula-multzoen dinamika.

Depositua husten doan heinean, gaineko airearen bolumena handituz doa, eta presioa gutxituz. Suposatuko dugu presio-jaitsiera hori tenperatura konstanteaz gertatzen dela alegia prozesu isotermikoa.

Oinarri fisikoak

Ondoko irudiak depositu bat erakusten du, H altueraduna eta S sekzioduna. Depositua, hasieran, h₀ altueraraino dago fluidoz beteta eta hondoan zulo bat dauka, S₂ sekzioduna. Fluidoaren gainean, hasieran airearen presioa p₀ da.

Zuloa ireki eta likidoa irteten hasten da. Likido-zutabearen h altuera kalkulatuko dugu t denboraren menpe.

Bernoulli-ren teorema aplikatuko dugu fluidoaren bi puntutan: 1 airea-ura gainazalean, eta 2 zulotxoaren erdian.

Dei diezaiogun p₁ eta v₁ fluidoak dituen presioari eta abiadurari 1 puntuan. Zuloko presioa ordea, p₂, atmosferikoa da, eta abiadura v₂.

Aplika ditzagun jarraitutasunaren ekuazioa eta Bernoulli-ren ekuazioa aukeratutako (1) eta (2) puntuetan:

1. Jarraitutasunaren ekuazioa

S₁·v₁=S₂·v₂

2. Bernoulli-ren ekuazioa

3. Likidoaren gaineko airea isotermikoki hedatzen da

p₀·S₁(H−h₀)=p₁·S₁(H−h)

Fluidoaren altuera oreka posizioan

Ekuazio horien emaitzarik nabarmenena da, likidoak jariotzeari uzten diola gainazala zuloraino iritsi baino lehen (v₁ =0 eta v₂=0 aplikatu behar dira).

Likidoaren gaineko presioa atmosferikoa baino txikiagoa izango da. Presio horren eta atmosferikoaren arteko diferentzia, izan ere, fluido zutabearen h altuera izango da.

Bernoulli-ren eta prozesu isotermikoaren ekuazioetatik:

p₁+r gh=p_at
p₀ (H−h₀)=p₁· (H−h)

Bigarren graduko ekuazioa lortzen da h-ren menpe:

Bi emaitza ateratzen dira, h₁ eta h₂ , baina emaitzok ez dira deposituaren S₁ sekzioaren ezta zuloaren S₂ sekzioaren menpekoak.

Adibidea:

• Deposituaren erradioa, r₁=10 cm
• Zuloaren erradioa, r₂=0.8 cm
• Deposituaren altuera, H=50 cm
• Urak hasieran daukan altuera, h₀=40 cm
• Aireak hasieran daukan presioa, p₀=4 atm

Hartzen baditugu presio atmosferikoa, p_at=101293 Pa, eta uraren dentsitatea, r =1000 kg/m³, bigarren graduko ekuazioa ebatz daiteke eta uraren amaierako altuera kalkulatu. Hona hemen emaitza biak: h₁=0.096 m=9.6 cm, eta h₂=10.740 m. Baina azken hori deposituaren altuera baino handiagoa atera da, H=0.5 m. Beraz, urak zuloaren gainetik 9.6 cm-ko altuera daukanean, irteteari uzten dio eta horrelaxe geldituko da. Kalkula dezagun airearen presioa amaieran:

p₁=101293-1000·9.8·0.09=100411 Pa

Presio atmosferikoa baino apur bat txikiagoa.

Nola aldatzen den deposituko uraren altuera denboraren menpe

Hiru ekuazioko multzotik v₁ bakan daiteke, eta hauxe ateratzen da:

Deposituko uraren h altuera denboraren menpe nola aldatzen den kalkulatzeko, honakoa eduki behar da kontutan:

Beraz, honako integral mugatua ebatzi behar da:

Adierazpen analitiko sinple bat lortzea ezinezkoa da, h(t), eta horregatik, programak numerikoki kalkulatzen du lehen ordenako ekuazio diferentziala Runge-Kutta metodoaz. Hasierako baldintzak ezagunak dira eta amaierakoak, ondoren ikusiko dugunez, orekako altuera atzematen den arte edo deposituko ura agortzen den arte (bietatik lehenengo gertatzen dena).

Kasu berezia: airearen presioa altua denean

Gerta daiteke, deposituko airearen presioa presio atmosferikoa baino askoz altuagoa denean, ezin dela orekako altuera atzeman, eta deposituko ur guztia ateratzen dela hori baino lehenago. Kasu horretan bereziki, ekuazioak nahikotxo sinplifikatzen dira eta soluzio analitiko bat aurki daiteke. Soluzio hori ez da horren sinplea baina kalkulu integrala praktikatzeko balio du.

Deposituaren S₁ sekzioa oso handia bada zuloaren S₂-ren aldean, goiko puntuko v₁ abiadura txikia da. Gainera deposituaren gaineko airearen presioa oso handia bada, p=p₁, orduan fluido-zutabearen altuera arbuia daiteke (rgh) eta ekuazioak nabarmen sinplifikatzen dira:

1. Bernoulli-ren ekuazioa:

2. Ura zulotik irtetean (S₂), deposituko airearen V bolumena honela handituz doa:

3. Airearen bolumena handitzean presioa jaisten da (isotermikoki gertatzen bada):

p₀V₀= p·V

Hemen p₀ eta V₀ dira aireak hasieran dituen presioa eta bolumena.

Hiru ekuazio horien artean, airearen p presioa eta V bolumena kalkula daitezke t denboraren menpe, eta halaber, uraren bolumena: S₁·H−V (edo h altuera).

Esaterako, has gaitezen presioarekin. Deposituaren barruko airearen p presioak betetzen duen ekuazioa, denboraren menpe, hau da:

Integratuz,

Aldagaia alda daiteke: x²=p−p_at , eta lehen integrala honela berridazten da:

Lehenengoa berehalakoa da eta bigarrena zatika ebatzi behar da. Bigarrenaren integrakizuna honela berridatz daiteke:

Aldagai-aldaketa desegitea soilik geratzen zaigu eta integral mugatuaren muturrak ordezkatzea:  p₀ eta p.

Ekuazio hori inplizitua da, baina p presioaren funtzioa da t denboraren menpe.

Saiakuntza

Ondorengo programa interaktiboak aztertzen du nola husten den depositu bat azpian egindako zulo batetik. Depositua gainetik hermetikoki itxita dago eta 50 cm-ko altuera du.

Aukeran idatz daitezke:

• Deposituaren erradioa, r₁, desplazamendu-barrari saguaz eragiten.
• Zuloaren erradioa, r₂ , desplazamendu-barrari saguaz eragiten.
• Deposituaren gaineko airearen hasierako Presioa (atm), laukian idatziz, p₀.
• Urak deposituan hasieran daukan altuera aldatzeko, h₀ , saguaz gezi gorria desplazatu behar da gora eta behera.

Hasi botoian klik egin.

Leihatilaren ezkerraldean, depositua husten ikusten da: ura urdinez eta airea horiz.

Eskumako aldean, berriz, grafikoki adierazten da uraren h altuera t denboraren menpe.

Urak irteten du oreka posizioa atzeman arte, eta une horretan gelditu egiten da. Amaieran, depositua guztiz hustu daiteke edo ez, alegia, urak ez du zertan altuera nulua izan, presio-oreka baizik. Kontuan izan, uraren gaineko airearen presioa gutxituz doala, eta atmosferikoa baino txikiagoa izan daitekeela. Alegia, gelditzen den ur-zutabearen h altuerak presio-diferentzia orekatzen du, kanpoko eta barneko presio-diferentzia.

Ikusten denez, h altuera horrek ez dauka menpekotasunik deposituaren r₁ erradioarekin ezta zuloaren r₂ erradioarekin.

Ura zulotik irten ahala, uneoro, leihatilaren goiko eta eskumako erpinean, programak zenbakiz erakusten ditu presio atmosferikoa (101 293 Pa) eta deposituaren gaineko p₁ presioa.