Fluidoak

Fluidoen dinamika

Depositu bat hustu (I)

Depositu bat hustu (II)

Urak bultzatutako
kohetea

Oszilazioak, U
itxurako hodi batean

Oszilazioak, ontzi
komunikatuetan

Fluido errealak
Poiseuille-ren legea

Gas baten
biskositatea

Likido baten
biskositatea

Fluido bat bi zilindro
ardazkideren tartean

Ontzi bat kapilar
batetik deskargatzen

Kapilardun ontzi baten
karga eta deskarga

Desintegrazio-kate
baten analogia

Erregimen laminarra
eta zurrunbilotsua

Magnus efektua

U itxurako hodiak bi muturrak irekita

Nola neurtu airearen indize adiabatikoa

Saiakuntza

Erreferentzia

U itxurako hodiak bi muturrak irekita

Har dezagun U itxurako hodi bat, S sekzio uniformeduna, likidoz erdi beteta. Likidoaren luzera totalari dei diezaiogun L, beraz, bolumena S·L da. Orekan, likidoaren altuera bi adarretan berdina da. Demagun, nolabait, bi adarretako likidoa desorekatzen dugula, eta askatu. Likidoa fluido idealtzat hartzen badugu, alegia, ez badauka marruskadurarik hodiaren hormekin, likidoa oszilatzen hasiko da, eta, ikusiko dugunez, periodoak soilik du menpekotasuna likido-zutabearen L luzerarekin.

Dinamikaren ekuazioetatik abiatuta, oszilazioen periodoaren formula deduzituko dugu.

Likidoa eskumarantz desplazatzen bada, esaterako x distantzia, orduan, hodiaren bi adarren arteko altuera-diferentzia 2x da, irudiak erakusten duen bezala. Fluidoak jasaten duen indar erresultantea F da, desplazamenduaren aurkakoa, eta modulua: 2x altueradun fluido-zutabearen pisua. F indarraren modulua ρS(2x)g da, eta noranzkoa x desplazamenduaren aurkakoa. Fluido osoaren masa ρSL da.

Higiduraren ekuazioa honela adieraz daiteke (indarra berdin masa bider azelerazioa):

Ekuazio diferentzial horrek HHS-ren ekuazio diferentzialaren forma dauka. Maiztasun angeluarra ω²=2g/L da, eta periodoa:

Ekuazio diferentzialaren soluzioa honelakoa da:

x=Asin(ωt+φ).

Eta fluido-zutabearen abiadura, t aldiunean:

v=dx/dt= Aωcos(ωt+φ).

A eta φ hasierako baldintzetatik kalkulatzen dira.

Bi adarren artean desoreka lortzeko, adibidez, kortxo bat ipintzen da adarretako batean, aire apur bat zurgatu eta, ondorioz, adar horretako likidoa igo egingo da (h₀) eta beste adarrean jaitsi. Kortxoa kendu eta oszilatzen hasiko da, beraz, denbora zenbatzen hasi (t=0, x=h₀ eta v=0).

Horrelako abiatze baldintzekin: φ=π/2, A=h_o, beraz, x=h₀cos(ωt), eta v=-ωh₀sin(ωt)

Energiaren balantzea

Energiaren balantzea egiteko, konpara ditzagun bi aldiune ezberdin, esaterako, hasierakoa t=0, eta ondorengo bat, t, amaierakoa, irudiak erakusten duena.

Likido-zutabeak S sekzioa, L luzera eta r dentsitatea ditu eta, amaieran, t aldiunean, v abiadura du, beraz, honako energia zinetikoa:

Kalkula dezagun likidoaren energia potentziala oreka posizioan (bi adarrek altuera berdina dutenean) eta bi adarrek 2x desoreka dutenean.

Adar horizontaleko likidoaren energia potentziala ez da aldatzen, eta adar bertikaletako masa-zentroak (goiko irudian puntu gorri batez markatu dira), zutabe horren altueraren erdian daude.

Oreka-posizioan energia potentziala hau da (zoruarekiko):

ρSd·g·d/2+ρSd·g·d/2=ρS·g·d²

Aldiz, t aldiunean, likidoaren desoreka 2x denean, energia potentziala hau da (zoruarekiko):

ρS(d-x)·g·(d-x)/2+ ρS(d+x)·g·(d+x)/2=ρS·g·(d²+x²)

Likidoaren energia potentziala, oreka posizioarekiko, bi energia potentzialen kenketa eginez lortzen da:

Eta, ikusten denez, energia potentzialaren gehi energia zinetikoaren batura konstantea da, izan ere hasierako energia potentziala (t=0, x=h₀, v=0):

U itxurako hodiak mutur bat itxita

Demagun U itxurako hodiaren mutur bat itxita dagoela, hermetikoki. Hasieran, adar horretan harrapatutako airearen luzera H da eta presio atmosferikoa du (p₀), irudiak erakusten duen bezala.

Fluidoa desplazatzen  bada, esaterako, x distantzia oreka posiziotik eskumara, likido osoak (ρSL) hiru indar jasaten ditu:

• 2x altueradun likido-zutabearen pisua, desplazamenduaren aurkakoa.

• Itxita dagoen adarreko aire konprimituak likidoari egiten dion presio-indarra, desplazamenduaren aurkakoa.

• Irekita dagoen adarreko aireak likidoari egiten dion presio indarra, desplazamenduaren aldekoa.

Indar erresultantea hau da:

−ρS(2x)g−pS+p₀·S

Aurreko atalean, hodiaren bi adarrak irekita zeudenez, p eta p₀ berdinak ziren, eta baliogabetzen ziren.

Oszilazioak bizkorrak direla suposatzen badugu, itxita dagoen adarreko aireak prozesu adiabatikoa jasaten du.

Gainera, oszilazioen anplitudea txikia dela suposatuko dugu, alegia, x<<H. Orduan itxita dagoen muturreko airearen presioa honela adieraz daiteke x-rekiko:

Beraz, hodian dagoen likido osoaren higidura-ekuazioa honela idatziko da:

Ekuazio diferentzial hori H.H.S-aren ekuazioa da, eta oszilazio harmonikoen periodoa, honakoa:

Abiatze baldintzak honelakoak badira, t=0, x=0, eta v=v₀,  orduan, A=v_o/w eta j=0: oszilazioen ekuazioa honela idazten da:

x=(v₀/ω)sin(ωt)
v=dx/dt=v₀cos(ωt)

Energiaren balantzea

Oraingoan ere, energiaren balantzea egiteko, konpara ditzagun bi aldiune, hasierakoa, likidoa orekan dagoenean, t=0 eta amaierakoa, t, likidoaren desoreka 2x denean, irudiak erakusten duen bezala:

Hasierako egoeran, t=0, energia osoa zinetikoa da:

Eta energia potentziala, oreka egonkorreko posizioarekiko, nulua da:

E_p=0

t aldiunean, likido zutabeak v abiadura dauka (eta S sekzioa eta L luzera), beraz, energia zinetikoa hau da:

Energia potentzialaren adierazpena (oreka posizioarekiko) aurreko ataleko bera da:

Oraingo honetan, energia zinetikoa eta energia potentziala gehitzen baditugu, ez du konstante ematen, badagoelako beste kanpo-indar bat lana egiten ari dena: likidoaren inguruetako airea. Itxita dagoen adarreko airea hedatu-konprimitu egiten da adiabatikoki, eta irekita dagoen adarreko airea hedatu-konprimitu egiten da presio konstanteaz (isobarikoki).

Energia-aldakuntza, amaierakoa ken hasierakoa da:

Energia aldakuntza hori negatiboa da oreka posiziotik x posiziora, alegia, amaierako energia, E_f , hasierakoa baino txikiagoa da, E_i, eta bien arteko diferentzia, izan ere, kanpo indarraren lana izan behar da, W_kan, adarretako aireak egiten duena. Kalkula dezagun W_kan:

Kanpo indarrek egindako lana

Har dezagun berriz ere irudiko egoera:

Ezkerreko adarrean, atmosferako aireak egiten duen lana hau da: presio konstantea (p₀) bider bolumen-gehikuntza (S·x).

W₁=p₀(S·x)

Aldiz, itxita dagoen adarreko airea adiabatikoki konprimitzen da, eta egindako lana hau da:

Hemen presioa ordezkatu da, baina oszilazio txikien limitean, x<<H, atal honen hasieran kalkulatu den bezala.

Bi adarren ekarpenak batuz, honako lan netoa ematen du:

Kanpo indarraren lan netoaren adierazpena (W_kan) eta lehen kalkulatu dugun energia-aldakuntzarena (E_f−E_i) berdinak dira.

Kanpo indarrak lana egiten badu partikula-multzoaren energia aldatzen da, alegia, lana eta sistemaren energia-aldakuntza berdinak dira (amaierakoa ken hasierakoa). Teorema hori erabili genuen, halaber, Bernoulli-ren ekuazioa frogatzeko.

Nola neurtu airearen indize adiabatikoa

Dei diezaiogun P₁ likidoaren oszilazioen periodoari, bi adarrak irekita dituenean, eta dei diezaiogun P₂ likido beraren oszilazioen periodoari adar bat itxita duenean. Bi periodoen karratuen arteko erlazioa honela idatz daiteke:

Eta erlazio horretatik airearen γ indize adiabatikoa bakan daiteke:

U itxurako hodiko likidoa, ura izan beharrean, merkurioa bada, presio atmosferikoa honela adieraz daiteke: p₀=ρgH₀, non H₀=0.76 m= 760mm, izan ere, Torricelli-ren esperimentuko merkurio-zutabearen altuera.

Orduan indize adiabatikoaren formula berridatz daiteke:

Erreferentzietan aipatzen den artikuluan, laborategiko esperimentu bat diseinatu dute honako datuak erabilita:

• Likidoa merkurioa da, eta beirazko hodiaren sekzioa 19 mm².

• Likido zutabearen luzera, L=75 cm.

• Hodiak mutur bat itxita duenean, aire-zutabearen altuera H=84 cm.

• Egun horretako presio atmosferikoak, p₀ , merkurio zutabearen altuera hau ematen zuen: H₀=75.4 cm.

Balio horiek formulan ordezkatuz, hauxe ateratzen da airearen indize adiabatikoa: γ=1.38

Saiakuntza

Saguarekin, gezi gorria gora eta behera desplaza dezakegu likidoaren L luzera totala finkatzeko (merkurioa). Aldi berean, itxita dagoen muturreko airearen luzera ere finkatzen dugu, kasu horretan. Adar horizontaleko luzera finkoa da, 20 cm.

Berria botoia sakatu.

1. Lehenik aktiba dezagun muturrak irekita botoia.

• Hasi botoian klik egin. Ezkerraldean hodia ikusten da, likidoak oszilatzen duela, eta eskuin aldean, grafikoki adierazten da likidoaren desplazamendua denboraren menpe.

• Grafikoan, likidoaren oszilazioen periodoa neurtu: P₁ .

2. Bigarrenik, aktiba dezagun mutur bat itxita botoia.

• Hasi botoian klik egin. Likidoak oszilatzen du eta itxita dagoen adarreko airea (horiz margotua) konprimitu eta hedatu egiten da, adiabatikoki.

• Grafikoan, likido-zutabearen oszilazioen periodoa neurtu: P₂. Horretaz gain, presio atmosferikoaren datua behar dugu, edo bestela, presio atmosferikoa berdintzen duen merkurio-zutabearen altuera: H₀=0.76 m

Bi kasuetan, oszilazioen anplitudea finkotzat hartu da, A=v_o/w=0.05=5 cm, horrela, x desplazamendua beti da txikia aire-zutabearen H altueraren aldean.

Azpiko aldean, barra horizontal batek, koloreen arabera, unean uneko energia motak erakusten ditu.

Bi muturrak irekita daudenean, energia zinetikoaren eta potentzialaren batura konstante mantentzen da, alegia, energia zinetikoa potentzial bilakatzen da eta alderantziz, partikula  bat malguki elastiko batean mugitzen denean bezalaxe edo pendulu sinple batean.

Mutur bat itxita dagoenean, berriz, energia zinetikoaren eta potentzialaren batura ez da konstantea, kanpo indarren lana ere kontutan hartu behar delako (airearena). Lan hori negatiboa da oreka-posiziotik x desplazamenduraino, baina alderantzizko bidean positiboa da, alegia, ziklo oso batean, kanpo indarraren lana nulua da.

Adibidea:

• Saguarekin, gezi gorria desplazatu dugu, d=0.40 m izan arte.

1. Bi muturrak irekita, hodiaren barruko likidoak oszilatu egiten du. Neurtu dugu periodoa: P₁=1.42 s.

• Mutur bat itxita, adar horretako aire-zutabearen luzera hau geratu da: H=0.6 m

2. Likidoak oszilatzen du, eta periodoa neurtu dugu: P₂=1.03 s

3. Bi datu horiekin aurreko ataleko formulan ordezkatu eta airearen γ indize adiabatikoa kalkulatzen da:

Egiaztapena:

Merkurio zutabearen luzera hau da: L=2·0.4+0.2=1.0 m, (adar horizontaleko luzera ere kontutan hartuta, 20 cm).

Bi muturrak irekita hauxe da oszilazioen periodoa:

Mutur bat itxita, adar horretako aire-zutabearen luzera hau da: H=1.0−0.4=0.6 m

Airearen indize adiabatikoa ezagututa (gas diatomikoa dela onartuz) γ=1.4, eta presio atmosferikoa berdintzen duen merkurio-zutabearen altuera H₀=0.76 m, P₂ periodoaren formulan ordezka daiteke:

Horiexek dira esperimentuan neurtutako P₁ eta P₂ periodoak.