Extracción óptima del calor

En esta página, vamos a estudiar la transferencia de calor entre dos recipientes iguales, uno que contiene líquido caliente a temperatura T_H y otro líquido frío a temperatura T_C.

Para extraer el calor de forma óptima, se divide el recipiente frío en porciones iguales y se van poniendo en contacto sucesivamente, hasta alcanzar el equilibrio térmico, con el recipiente incialmente caliente

En la segunda parte de esta página, dividiremos en el mismo número de porciones el recipiente caliente, determinaremos la temperatura final de cada porción después de los contactos con las porciones del recipiente frío. Sorpendentemente, veremos que cuando el número de porciones N→∞ se intercambian las temperaturas, el líquido incialmente frío se convierte en caliente y viceversa.

Cuando una masa m₁ de agua a temperatura T₁ se pone en contacto con una masa m₂ a la temperatura T₂, la temperatura de equilibrio T_e es

$\begin{array}{l} m_{1} c (T_{e} - T_{1}) + m_{2} c (T_{e} - T_{2}) = 0 \\ T_{e} = \frac{m_{1} T_{1} + m_{2} T_{2}}{m_{1} + m_{2}} \end{array}$

donde c es el calor específico del agua supuesto constante (que no cambia con la temperatura)

N=1

Se supone que los dos recipientes contienen una masa m del mismo líquido, tienen masa despreciable y conducen perfectamente el calor. No hay pérdidas debidas a la radiación, evaporación o conducción del calor a los alrededores.

Si los recipientes contienen la misma masa m de líquido, la temperatura de equilibrio es

$T_{1} = \frac{T_{H} + T_{C}}{2}$

Sea T_H=80 °C y T_C=20 °C, la temperatura final es T₁=50 °C

N=2, porciones

Supongamos que el recipiente abierto se divide en dos recipientes de masa m/2 a la misma temperatura T_C

Se pone en contacto el recipiente cerrado de masa m a la temperatura T_H con el recipiente abierto de masa m/2 a la temperatura T_C. La temperatura T₁ de equilibrio es

$T_{1} = \frac{m T_{H} + \frac{m}{2} T_{C}}{m + \frac{m}{2}} = \frac{2}{3} T_{H} + \frac{1}{3} T_{C}$

Se pone en contacto el recipiente cerrado de masa m a la temperatura T₁ con el recipiente abierto de masa m/2 a la temperatura T_C. La temperatura final T₂ es

$T_{2} = \frac{m T_{1} + \frac{m}{2} T_{C}}{m + \frac{m}{2}} = \frac{2 T_{1} + T_{C}}{3} = \frac{2}{3} (\frac{2 T_{H} + T_{C}}{3}) + \frac{T_{C}}{3} = \frac{4}{9} T_{H} + \frac{5}{9} T_{C}$

Sea T_H=80 °C y T_C=20 °C. Las temperaturas T₁=60 °C y T₂=46.7 °C. La temperatura final del recipiente cerrado es más baja.

Comprobación

La conservación de la energía exige que

$m T_{2} + \frac{m}{2} T_{2} + \frac{m}{2} T_{1} = m T_{H} + m T_{C}$

Introduciendo las expresiones de T₁ y T₂

$(m + \frac{m}{2}) (\frac{4}{9} T_{H} + \frac{5}{9} T_{C}) + \frac{m}{2} (\frac{2}{3} T_{H} + \frac{1}{3} T_{C}) = m T_{H} + m T_{C}$

Las dos porciones de masa m/2 cada una, están a temperaturas T₁ y T₂. Si se juntan en un recipiente, la temperatura T_m de la mezcla es

$T_{m} = T_{H} + T_{C} - T_{2} = T_{H} + T_{C} - \frac{4}{9} T_{H} - \frac{5}{9} T_{C} = \frac{5}{9} T_{H} + \frac{4}{9} T_{C}$

Los dos porciones de distinto tamaño

Supongamos que las masas de los recipientes abiertos son distintas, una es m₁ y otra es m₂ a la temperatura inicial T_C, tal que m₁+m₂=m

Se pone en contacto el recipiente cerrado de masa m a la temperatura T_H con el recipiente abierto de masa m₁ a la temperatura T_C. La temperatura T₁ de equilibrio es

$T_{1} = \frac{m T_{H} + m_{1} T_{C}}{m + m_{1}} = \frac{T_{H} + x T_{C}}{1 + x}, x = \frac{m_{1}}{m}$

Se pone en contacto el recipiente cerrado de masa m a la temperatura T₁ con el recipiente abierto de masa m₂ a la temperatura T_C. La temperatura T₂ de equilibrio es

$\begin{array}{l} T_{2} = \frac{m T_{1} + m_{2} T_{C}}{m + m_{2}} = \frac{m T_{1} + (m - m_{1}) T_{C}}{2 m - m_{1}} = \frac{1}{2 - x} (\frac{T_{H} + x T_{C}}{1 + x}) + \frac{1 - x}{2 - x} T_{C} \\ T_{2} = \frac{T_{H} + (1 + x - x^{2}) T_{C}}{(2 - x) (1 + x)} \end{array}$

Sea T_H=80 °C y T_C=20 °C. Representamos la temperatura final T₂ en función de x.

TH=80;
TC=20;
f=@(x) (TH+(1+x-x.^2)*TC)./((2-x).*(1+x));
fplot(f,[0,1])
grid on
xlabel('x')
ylabel('T')
title('Temperatura final')

El mínimo de T₂ se produce para x=1/2, cuando los dos recipientes abiertos tienen la misma masa. El valor del mínimo es

>> f(0.5)
ans =   46.6667

En una determinada escala de temperaturas, T_C=0. Determinamos el mínimo de T₂ o de la función

$\begin{array}{l} f (x) = \frac{1}{(2 - x) (1 + x)} \\ \frac{d f (x)}{d x} = \frac{- 1 + 2 x}{{(2 - x)}^{2} {(1 + x)}^{2}} = 0, x = \frac{1}{2} \end{array}$

N=3, porciones

Supongamos que el recipiente abierto se divide en tres recipientes de masa m/3 a la misma temperatura T_C

Se pone en contacto el recipiente cerrado de masa m a la temperatura T_H con el recipiente abierto de masa m/3 a la temperatura T_C. La temperatura T₁ de equilibrio es

$T_{1} = \frac{m T_{H} + \frac{m}{3} T_{C}}{m + \frac{m}{3}} = \frac{3}{4} T_{H} + \frac{1}{4} T_{C}$

Se pone en contacto el recipiente cerrado de masa m a la temperatura T₁ con el recipiente abierto de masa m/3 a la temperatura T_C. La temperatura T₂ de equilibrio es

$T_{2} = \frac{m T_{1} + \frac{m}{3} T_{C}}{m + \frac{m}{3}} = \frac{3}{4} (\frac{3}{4} T_{H} + \frac{1}{4} T_{C}) + \frac{T_{C}}{4} = \frac{9}{16} T_{H} + \frac{7}{16} T_{C}$

Se pone en contacto el recipiente cerrado de masa m a la temperatura T₂ con el recipiente abierto de masa m/3 a la temperatura T_C. La temperatura final T₃ es

$T_{3} = \frac{m T_{2} + \frac{m}{3} T_{C}}{m + \frac{m}{3}} = \frac{3}{4} (\frac{9}{16} T_{H} + \frac{7}{16} T_{C}) + \frac{T_{C}}{4} = \frac{27}{64} T_{H} + \frac{37}{64} T_{C}$

Sea T_H=80 °C y T_C=20 °C. Las temperaturas T₁=65 °C, T₂=53.75 °C y T₃=45.3 °C. La temperatura final del recipiente cerrado es algo más baja.

Comprobación

La conservación de la energía exige que

$\begin{array}{l} m T_{3} + \frac{m}{3} T_{3} + \frac{m}{3} T_{2} + \frac{m}{3} T_{1} = m T_{H} + m T_{C} \\ \frac{4}{3} (\frac{27}{64} T_{H} + \frac{37}{64} T_{C}) + \frac{1}{3} (\frac{9}{16} T_{H} + \frac{7}{16} T_{C}) + \frac{1}{3} (\frac{3}{4} T_{H} + \frac{1}{4} T_{C}) = T_{H} + T_{C} \end{array}$

Las tres porciones de masa m/3 cada una, están a temperaturas T₁, T₂ y T₃. Si se juntan en un recipiente, la temperatura T_m de la mezcla es

$T_{m} = T_{H} + T_{C} - T_{3} = T_{H} + T_{C} - \frac{27}{64} T_{H} - \frac{37}{64} T_{C} = \frac{37}{64} T_{H} + \frac{27}{64} T_{C}$

Los tres porciones de distinto tamaño

Supongamos que las masas de los recipientes abiertos son distintas, una es m₁, otra es m₂ y la tercera m₃ a la temperatura inicial T_C, tal que m₁+m₂+m₃=m

Se pone en contacto el recipiente cerrado de masa m a la temperatura T_H con el recipiente abierto de masa m₁ a la temperatura T_C. La temperatura T₁ de equilibrio es

$T_{1} = \frac{m T_{H} + m_{1} T_{C}}{m + m_{1}} = \frac{T_{H} + x T_{C}}{1 + x}, x = \frac{m_{1}}{m}$

Se pone en contacto el recipiente cerrado de masa m a la temperatura T₁ con el recipiente abierto de masa m₂ a la temperatura T_C. La temperatura T₂ de equilibrio es

$\begin{array}{l} T_{2} = \frac{m T_{1} + m_{2} T_{C}}{m + m_{2}} = \frac{T_{1} + y T_{c}}{1 + y} = \frac{1}{1 + y} (\frac{T_{H} + x T_{C}}{1 + x}) + \frac{y T_{C}}{1 + y} \\ T_{2} = \frac{T_{H} + (x + y + x y) T_{C}}{(1 + y) (1 + x)}, y = \frac{m_{2}}{m} \end{array}$

Se pone en contacto el recipiente cerrado de masa m a la temperatura T₂ con el recipiente abierto de masa m₃ a la temperatura T_C. La temperatura final T₃ es

$\begin{array}{l} T_{3} = \frac{m T_{2} + m_{3} T_{C}}{m + m_{3}} = \frac{m T_{2} + (m - m_{1} - m_{2}) T_{C}}{2 m - m_{1} - m_{2}} = \frac{T_{2} + (1 - x - y) T_{C}}{2 - x - y} = \\ \frac{1}{2 - x - y} (\frac{T_{H} + (x + y + x y) T_{C}}{(1 + y) (1 + x)}) + \frac{(1 - x - y)}{2 - x - y} T_{C} = \frac{T_{H} + {(x + y + x y) + (1 + y) (1 + x) (1 - x - y)} T_{C}}{(2 - x - y) (1 + y) (1 + x)} \end{array}$

Sea T_H=80 °C y T_C=20 °C. Representamos T₃ en función de x e y.

TH=80;
TC=20;
f=@(x,y) (TH+TC*(x+y+x.*y+(1-x-y).*(1+x).*(1+y)))./((1+y).*(1+x).*(2-x-y));
[x,y]=meshgrid(0:0.01:0.5,0:0.01:0.5);
z=f(x,y);
hold on
mesh(x,y,z);
plot3(1/3,1/3,f(1/3,1/3),'ro','markersize',3,'markerfacecolor','r')
hold off
grid on
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('T')
title('Temperatura final')
view(-34,46)

El mínimo de T₃ se produce para x=1/3, cuando los tres recipientes abiertos tienen la misma masa. El valor del mínimo es

>> f(1/3,1/3)
ans =    45.3

En una determinada escala de temperaturas, T_C=0. Determinamos el mínimo de T₃ o de la función de dos variables

$\begin{array}{l} f (x, y) = \frac{1}{(2 - x - y) (1 + y) (1 + x)} \\ {\begin{cases} \frac{\partial f (x, y)}{\partial x} = 0, 2 x + y = 1 \\ \frac{\partial f (x, y)}{\partial y} = 0, x + 2 y = 1 \end{cases} \\ x = \frac{1}{3}, y = \frac{1}{3} \end{array}$

Las porciones han de ser iguales a m/3 para que T₃ sea mínima

N porciones del mismo tamaño

Supongamos que el recipiente abierto se divide en N recipientes de masa m/N a la misma temperatura T_C

Se pone en contacto el recipiente cerrado de masa m a la temperatura T_H con el recipiente abierto de masa m/N a la temperatura T_C. La temperatura T₁ de equilibrio es

$T_{1} = \frac{m T_{H} + \frac{m}{N} T_{C}}{m + \frac{m}{N}} = \frac{N}{N + 1} T_{H} + \frac{T_{C}}{N + 1}$

Se pone en contacto el recipiente cerrado de masa m a la temperatura T₁ con el recipiente abierto de masa m/N a la temperatura T_C. La temperatura T₂ de equilibrio es

$T_{2} = \frac{N T_{1} + T_{C}}{N + 1} = \frac{N}{N + 1} (\frac{N}{N + 1} T_{H} + \frac{T_{C}}{N + 1}) + \frac{1}{N + 1} T_{C} = {(\frac{N}{N + 1})}^{2} T_{H} + (\frac{N}{N + 1} + 1) \frac{T_{C}}{N + 1}$

Se pone en contacto el recipiente cerrado de masa m a la temperatura T₂ con el recipiente abierto de masa m/N a la temperatura T_C. La temperatura T₃ de equilibrio es

$T_{3} = \frac{N T_{2} + T_{C}}{N + 1} = \frac{N}{N + 1} ({(\frac{N}{N + 1})}^{2} T_{H} + (\frac{N}{N + 1} + 1) \frac{T_{C}}{N + 1}) + \frac{1}{N + 1} T_{C} = {(\frac{N}{N + 1})}^{3} T_{H} + ({(\frac{N}{N + 1})}^{2} + \frac{N}{N + 1} + 1) \frac{T_{C}}{N + 1}$

Se pone en contacto el recipiente cerrado de masa m a la temperatura T_i con el recipiente abierto de masa m/N a la temperatura T_C. La temperatura T_i+1 de equilibrio es

$T_{i + 1} = \frac{N T_{i} + T_{C}}{N + 1} = {(\frac{N}{N + 1})}^{i} T_{H} + ({(\frac{N}{N + 1})}^{i - 1} + {(\frac{N}{N + 1})}^{i - 2} ... + \frac{N}{N + 1} + 1) \frac{T_{C}}{N + 1}$

Se pone en contacto el recipiente cerrado de masa m a la temperatura T_N-1 con el recipiente abierto de masa m/N a la temperatura T_C. La temperatura final T_N de equilibrio es

$T_{N} = \frac{N T_{N - 1} + T_{C}}{N + 1} = {(\frac{N}{N + 1})}^{N} T_{H} + ({(\frac{N}{N + 1})}^{N - 1} + {(\frac{N}{N + 1})}^{N - 2} ... + \frac{N}{N + 1} + 1) \frac{T_{C}}{N + 1}$

Multiplicando a T_C/(N+1) tenemos la suma de N términos de una progresión geométrica cuyo primer término es 1, la razón es N/(N+1)

$S = 1 \frac{1 - {(\frac{N}{N + 1})}^{N}}{1 - \frac{N}{N + 1}} = (N + 1) (1 - {(\frac{N}{N + 1})}^{N})$

>> syms k N;
>> symsum((N/(N+1))^k,0, N-1)
ans =N - (N^N*(N + 1))/(N + 1)^N + 1

La temperatura final T_N del recipiente cerrado será

$\begin{array}{l} T_{N} = {(\frac{N}{N + 1})}^{N} T_{H} + ((N + 1) (1 - {(\frac{N}{N + 1})}^{N})) \frac{T_{C}}{N + 1} \\ T_{N} = T_{C} + (T_{H} - T_{C}) {(\frac{N}{N + 1})}^{N} \end{array}$

Comprobación. Temperaturas finales

$\begin{array}{l} N = 1, T_{1} = T_{C} + (T_{H} - T_{C}) {(\frac{1}{2})}^{1} = \frac{1}{2} T_{H} + \frac{1}{2} T_{C} \\ N = 2, T_{2} = T_{C} + (T_{H} - T_{C}) {(\frac{2}{3})}^{2} = \frac{4}{9} T_{H} + \frac{5}{9} T_{C} \\ N = 3, T_{3} = T_{C} + (T_{H} - T_{C}) {(\frac{3}{4})}^{3} = \frac{27}{64} T_{H} + \frac{37}{64} T_{C} \end{array}$

Las N porciones de masa m/N cada una, están a temperaturas T₁, T₂,... T_N. Si se juntan en un recipiente, la temperatura T_m de la mezcla es

$T_{m} = T_{H} - (T_{H} - T_{C}) {(\frac{N}{N + 1})}^{N}$

Las N porciones de distinto tamaño

Para que T_N sea mínima, las porciones han de ser iguales a m/N. Para demostrarlo, hay que minimizar una función de N-1 variables

$\begin{array}{l} f (x_{1}, x_{2,} ... x_{N - 1}) = \frac{1}{(2 - x_{1} - x_{2} - .... x_{N - 1}) (1 + x_{1}) (1 + x_{2}) .... (1 + x_{N - 1})} \\ {\begin{cases} \frac{\partial f (x_{1}, x_{2,} ... x_{N - 1})}{\partial x_{1}} = 0 \\ \frac{\partial f (x_{1}, x_{2,} ... x_{N - 1})}{\partial x_{2}} = 0 \\ ..... \\ \frac{\partial f (x_{1}, x_{2,} ... x_{N - 1})}{\partial x_{N - 1}} = 0 \end{cases} \end{array}$

Tenemos que resolver un sistema de N-1 ecuaciones con N-1 incógnitas cuya solución es x_i=1/N (i=1,2,3...N-1). Por ejemplo, para N=4

$\begin{array}{l} f (x, y, z) = \frac{1}{(2 - x - y - z) (1 + z) (1 + y) (1 + x)} \\ {\begin{cases} \frac{\partial f (x, y, z)}{\partial x} = 0, 2 x + y + z = 1 \\ \frac{\partial f (x, y, z)}{\partial y} = 0, x + 2 y + z = 1 \\ \frac{\partial f (x, y, z)}{\partial z} = 0, x + y + 2 z = 1 \end{cases} \\ x = \frac{1}{4}, y = \frac{1}{4}, z = \frac{1}{4} \end{array}$

es la solución del sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas

Infinitas porciones del mismo tamaño

Calculamos la temperatura final T_∞ cuando N→∞

La definición de número e es

$\lim_{N \to \infty} {(1 + \frac{1}{N})}^{N} = e$

>> syms n;
>> limit((1+1/n)^n,n,inf)
ans =exp(1)

La temperatura final es

$T_{\infty} = T_{C} + \frac{1}{e} (T_{H} - T_{C})$

Sea T_H=80 °C y T_C=20 °C. Representamos la temperatura final T_N en función de N=1, 2, 3, 4.... ∞

TH=80;
TC=20;
f=@(N) TC+(TH-TC)*(N./(N+1)).^N;
nn=1:50;
plot(nn,f(nn),'ro','markersize',3,'markerfacecolor','r')
T_inf=TC+(TH-TC)/exp(1);
line([0,50],[T_inf, T_inf])
grid on
xlabel('N')
ylabel('T')
title('Temperatura final')

La temperatura final mínima T_∞=42.07 °C, es la asíntota horizontal (recta de color azul)

Se divide el recipiente inicialmente caliente en el mismo número de porciones

Vamos a dividir el recipiente inicialmente caliente en el mismo número de porciones iguales y las vamos a poner en contacto con las porciones frías. Como dos trenes iguales que se mueven en vías paralelas pero en sentido contrario. Los vagones representan las porciones de líquido que cuando coinciden entran en contacto intercambiado calor hasta alcanzar el equilibrio térmico a la misma temperatura.

Supondremos que el recipiente caliente de masa m está al temperatura T_H=1. El recipiente frío de la misma masa está a la temperatura T_C=0

N=2, porciones iguales

Dividimos el recipiente caliente y el frío en dos porciones de masa m/2

Las porciones de agua caliente se identifican mediante el índice j, se mueven de derecha a izquierda. Las porciones de agua fría se identifican con el índice i, se mueven de izquierda a derecha.

Estado inicial. Entran en contacto las porciones i=1, j=1

La temperatura de equilibrio es T_1,1=1/2

Entran en contacto las porciones i=1, j=2, e i=2, j=1

Las temperaturas de equilibrio son T_2,1=1/4, T_1,2=3/4

Entran en contacto las porciones i=2, j=2

La temperatura de equilibrio es T_2,2=1/2

Estado final

Las temperaturas finales de las cuatro porciones son

La temperatura media de las dos porciones de agua caliente es T_caliente=(1/4+1/2)/2=0.375

La temperatura media de las dos porciones de agua fría es T_fría=(1/2+3/4)/2=0.625

N=3, porciones iguales

Dividimos el recipiente caliente y el frío en tres porciones de masa m/3

Estado inicial. Entran en contacto las porciones i=1, j=1

La temperatura de equilibrio es T_1,1=1/2

Entran en contacto las porciones i=1, j=2, e i=2, j=1

Las temperaturas de equilibrio son T_2,1=1/4, T_1,2=3/4

Entran en contacto las porciones i=3, j=1; i=2, j=2 e i=1, j=3

Las temperaturas de equilibrio son T_3,1=1/8, T_2,2=1/2 y T_1,3=7/8

Entran en contacto las porciones i=3, j=2; i=2, j=3

Las temperaturas de equilibrio son T_3,2=5/16 y T_2,3=11/16

Entran en contacto las porciones i=3, j=3

La temperatura de equilibrio es T_3,3=1/2

Estado final

Las temperaturas finales de las seis porciones son

Expresamos las temperaturas mediante una matriz

La primera columna T_i,0=0, corresponde a la temperatura inicial de las porciones del recipiente frío. La última columna, T_{i, N} (i=1,2,3) corresponde a sus temperaturas finales. La temperatura media final <T_fría>=(7/8+11/16+1/2)/3=0.6875 (algo más alta que para N=2). En general

$< T_{frío} > = \frac{1}{N} \sum_{i = 1}^{N} T_{i, N}$

La primera fila T_0,j=0, corresponde a la temperatura inicial de las porciones del recipiente caliente. La última fila, T_{N, j} (j=1,2,3) corresponde a sus temperaturas finales. La temperatura media final <T_caliente>=(1/8+5/16+1/2)/3=0.3125 (algo más baja que para N=2). En general

$< T_{caliente} > = \frac{1}{N} \sum_{j = 1}^{N} T_{N, j}$

Los elementos de la matriz se generan mediante un proceso iterativo

$T_{i, j} = \frac{1}{2} (T_{i - 1, j} + T_{i, j - 1}), {\begin{cases} T_{i,0} = 0 \\ T_{0, j} = 1 \end{cases}$

Los elementos de la matriz tienen las siguientes propiedades

$\begin{array}{l} T_{i, i} = \frac{1}{2}, i = 1,2,... N \\ T_{i, j} + T_{j, i} = 1 \end{array}$

N=3;
T=zeros(N+1,N+1);
T(1,2:N+1)=1;
T(2:N+1,1)=0;
format rat
for i=2:N+1
    for j=2:N+1
        T(i,j)=(T(i-1,j)+T(i,j-1))/2;
    end
end
disp(T)
%medias
format short
T_c=sum(T(N+1,2:N+1))/N;
T_f=sum(T(2:N+1,N+1))/N;
fprintf('Media fría %1.3f, Media caliente %1.3f\n', T_f, T_c)

       0              1              1              1       
       0              1/2            3/4            7/8     
       0              1/4            1/2           11/16    
       0              1/8            5/16           1/2     

Media fría 0.688, Media caliente 0.312

N=6 porciones iguales

Dividimos el recipiente caliente y el frío en seis porciones de masa m/6

N=6;
T=zeros(N+1,N+1);
T(1,2:N+1)=1;
T(2:N+1,1)=0;
format rat %para operar con fracciones
for i=2:N+1
    for j=2:N+1
        T(i,j)=(T(i-1,j)+T(i,j-1))/2;
    end
end
disp(T)
%medias
format short %por defecto
T_c=sum(T(N+1,2:N+1))/N;
T_f=sum(T(2:N+1,N+1))/N;
fprintf('Media fría %1.3f, Media caliente %1.3f\n', T_f, T_c)
hold on
plot(1:N, T(N+1,2:N+1),'-ro','markersize',3,'markerfacecolor','r')
plot(1:N, T(2:N+1, N+1),'-bo','markersize',3,'markerfacecolor','b')
line([0,N],[T_c,T_c],'color','r','lineStyle','--')
line([0,N],[T_f,T_f],'color','b','lineStyle','--')
hold off
grid on
xlabel('i,j')
ylabel('T')
title('Temperaturas finales')

0       1         1            1            1             1           1       
0       1/2       3/4          7/8          15/16         31/32       63/64 
0       1/4       1/2          11/16        13/16         57/64       15/16  
0       1/8       5/16         1/2          21/32         99/128      219/256  
0       1/16      3/16         11/32        1/2           163/256     191/256  
0       1/32      7/64         29/128       93/256        1/2         319/512 
0       1/64      1/16         37/256       65/256        193/512     1/2  

Media fría 0.774, Media caliente 0.226

Representamos gráficamente las temperaturas finales de las porciones de líquido caliente (en rojo) y del líquido frío (en azul)

Temperaturas medias

Representamos las temperaturas medias <T_fría> y <T_cliente> en función del número de porciones N

function termico_2
     nn=2:50;
     tc=zeros(1,length(nn));
     tf=zeros(1,length(nn));
     k=1;
     for n=nn
        [Tc,Tf]=matriz(n);
        tc(k)=Tc;
        tf(k)=Tf;
        k=k+1;
     end
    hold on
    plot([1,nn], [1,tc],'-ro','markersize',3,'markerfacecolor','r')
    plot([1,nn], [0,tf],'-bo','markersize',3,'markerfacecolor','b')
    hold off
    grid on
    xlabel('N')
    ylabel('T')
    title('Temperaturas medias')

    function [T_c,T_f]=matriz(N)
        T=zeros(N+1,N+1);
        T(1,2:N+1)=1;
        T(2:N+1,1)=0;
        format rat
        for i=2:N+1
            for j=2:N+1
                T(i,j)=(T(i-1,j)+T(i,j-1))/2;
            end
        end
        %medias
        T_c=sum(T(N+1,2:N+1))/N;
        T_f=sum(T(2:N+1,N+1))/N;
    end

end

Las temperatura media del agua caliente tiende a cero en el límite cuando N→∞, pero lo hace muy lentamente. En el estado final cuando N→∞, vemos que las temperaturas del líquido inicialmente caliente se intercambia con la temperatura del líquido inicialmente frío

Referencias

Jayanth Vyasanakere P, Rajaram Nityananda Optimal Extraction of Heat: An Instructive Problem. Resonance – Journal of Science Education. Volume 27, February 2022, pp. 273-282

Eugene G. Mishchenko, Paul F. Pshenichka. Reversible temperature exchange upon thermal contact. Am. J. Phys. 85 (1), January 2017, pp. 23-29