Series
La función
>> symsum(k^2,1,5) ans =55
>> syms k N; >> symsum(k,0,N) ans =(N*(N + 1))/2 >> symsum(k^2,0,N) ans =(N*(2*N + 1)*(N + 1))/6
Dado que hay dos variables simbólicas
Probar los siguientes resultados
Progresión aritmética
Una progresión aritmética se define como aquella sucesión en la que el término n es la suma del término n-1 más un número r denominado razón de la progresión.
a0=a
a1=a+r
a2=a+2r
a3=a+3r
………..
an=a+n·r
Suma de n términos de una progresión aritmética
Sn=a0+(a0+r)+ (a0+2r)+(a0+3r)+…(a0+(n-1)·r)+(a0+n·r)
Sn=(an-n·r)+(an-(n-1)·r)+…+(an-3r)+(an-2r)+(an-r)+an
Sumando las dos formas de expresar la suma de n términos de una progresión aritmética, 2Sn=(n+1)(a0+an)
>> syms a k r n; >> symsum((a+k*r),k,0,n) ans =a*(n + 1) + (n*r*(n + 1))/2
Suma de la progresión aritmética, 2+(2+1·3)+(2+2·3)+(2+3·3)+(2+4·3)=2+5+8+11+14
>> symsum((2+k*3),k,0,4) ans =40
Progresión geométrica
Una progresión geométrica se define como aquella sucesión en la que el término n es el producto del término n-1 por un número r denominado razón de la progresión.
a0=a
a1=a·r
a2=a·r2
a3=a·r3
………..
an=a·rn
Suma de n términos de una progresión geométrica
Sn=a0+a0·r+ a0·r2+…+a0·rn
Sn+1=a0+a0·r+ a0·r2+…
+a0·rn+a0·rn+1
Multiplicamos la primera igualdad por r y restamos miembro a miembro la segunda menos la primera
Sn+1-r·Sn = a0
Teniendo en cuenta que Sn+1=Sn+a0·rn+1, despejamos la suma Sn de n términos de la progresión geométrica
>> syms r k; >> syms n integer positive; >> symsum(r^k,k,0,n) >> piecewise([r == 1, n + 1], [r ~= 1, (r^(n + 1) - 1)/(r - 1)])
Vamos a sumar, 2+2·5+2·52+2·53=2+10+50+250=312
>> symsum(2*5^k,k,0,3) ans =312
Aplicando la fórmula de la suma de una progresión geométrica
Calcular la suma de los términos de la progresión 1/2+1/4+1/8+1/16
>> symsum((1/2)^k/2,k,0,3) ans =15/16 >> format rat >> 1/2+1/4+1/8+1/16 ans = 15/16
Si r es menor que la unidad, la suma de los infinitos términos de una progresión geométrica se reduce a
Vamos a calcular la suma de los infinitos términos de la progresión 1/2+1/4+1/8+1/16+....
>> symsum((1/2)^k/2,k,0,inf) ans =1
La suma de los infinitos términos de la progresión 1/2-1/4+1/8-1/16+....
>> symsum((-1/2)^k/2,k,0,inf) ans =1/3
Producto de series
El factorial n!=1·2·3·....n
>> symprod(n) ans =factorial(n)
Queremos multiplicar 1·3·5·....(2n-1)
>> res=symprod(2*n-1) res =(1/2^(2*n)*2^(n + 1)*factorial(2*n))/(2*factorial(n)) >> simplify(res) ans =factorial(2*n)/(2^n*factorial(n))
El resultado es
Desarrollo en serie de Taylor
La fórmula general del desarrollo en serie de la función f(x) alrededor de x=a es
donde el numerador es la derivada k-ésima de f(x) evaluada en x=a.
>> syms x; >> taylor(1/(1-x)) ans =x^5 + x^4 + x^3 + x^2 + x + 1
Comprobamos el término general,
>> syms x n; >> symsum(x^n,n,0,inf) ans =-1/(x - 1)
>> syms x; >> taylor(1/(1+x)) ans =- x^5 + x^4 - x^3 + x^2 - x + 1
Comprobamos el término general,
>> syms x n; >> symsum((-x)^n,n,0,inf) ans =1/(x + 1)
>> syms x; >> taylor(log(1+x)) ans = x^5/5 - x^4/4 + x^3/3 - x^2/2 + x >> taylor(log(x),x,1,'order',7) ans =x - (x - 1)^2/2 + (x - 1)^3/3 - (x - 1)^4/4 + (x - 1)^5/5 - 1
Comprobamos el término general, x no puede ser -1, y el valor absoluto de x tiene que ser menor que 1
>> syms x n; >> assume (x ~= -1 & abs(x) <= 1) >> symsum((-1)^(n+1)*x^n/n,n,1,inf) ans =log(x + 1)
>> syms x; >> taylor(exp(x)) ans =x^5/120 + x^4/24 + x^3/6 + x^2/2 + x + 1
Comprobamos el término general,
>> syms x n; >> symsum(x^n/sym('n!'),n,0,inf) ans =exp(x)
Aproximamos la función exponencial por su desarrollo en serie alrededor del punto x=0
hold on fplot(@(x) exp(x),[-2,2],'color','k', 'lineWidth',1.5) line([-2,2],[1,1]) fplot(@(x) 1+x,[-2,2]) fplot(@(x) 1+x+x.^2/2,[-2,2]) fplot(@(x) 1+x+x.^2/2+x.^3/6,[-2,2]) fplot(@(x) 1+x+x.^2/2+x.^3/6+x.^4/24,[-2,2]) hold off xlabel('x') ylabel('y') grid on title('Aproximación de la función e^x en x=0')
Como apreciamos en la figura, el polinomio de cuarto grado se aproxima bastante bien a la función exponencial en el intervalo [-2,2]
>> syms x; >> taylor(sin(x)) ans =x^5/120 - x^3/6 + x
Comprobamos el término general,
>> syms n x; >> f=(-1)^n*x^(2*n+1)/sym('(2*n+1)!'); >> symsum(f,n,0,inf) ans =sin(x)
>> syms x; >> taylor(cos(x)) ans =x^4/24 - x^2/2 + 1
Comprobamos el término general,
>> syms x n; >> f=(-1)^n*x^(2*n)/sym('(2*n)!'); >> symsum(f,n,0,inf) ans =cos(x)
>> syms x; >> taylor(sinh(x)) ans =x^5/120 + x^3/6 + x
Comprobamos el término general,
>> syms x n; >> symsum(x^(2*n+1)/sym('(2*n+1)!'),n,0,inf) ans =sinh(x)
>> syms x; >> taylor(cosh(x)) ans =x^4/24 + x^2/2 + 1
Comprobamos el término general,
>> syms x n; >> symsum(x^(2*n)/sym('(2*n)!'),n,0,inf) ans =cosh(x)
>> syms x; >> taylor(atan(x),'order',10) ans =x^9/9 - x^7/7 + x^5/5 - x^3/3 + x
Comprobamos el término general,
>> syms x n; >> assume(abs(x)<1) >> symsum((-1)^n*x^(2*n+1)/(2*n+1),n,0,inf) ans =atan(x)
Fórmula de Euler
Comprobamos que exp(ix)=cos(x)+i·sin(x)
>> syms x; >> assume(x,'real') >> y=taylor(exp(1i*x),x,0,'Order',6); >> real(y) ans =x^4/24 - x^2/2 + 1 >> imag(y) ans =x^5/120 - x^3/6 + x >> taylor(cos(x)) ans =x^4/24 - x^2/2 + 1 >> taylor(sin(x)) ans =x^5/120 - x^3/6 + x
Aproximación de una función
Representamos gráficamente la función exp(-2·x2) en color rojo y los primeros términos de su desarrollo en serie en color azul.
syms x; y=exp(-2*x^2); y1=taylor(y) %desarrollo en serie hold on g1=ezplot(y,[-1 1]); set(g1,'color','red') g2=ezplot(y1,[-1 1]); set(g2,'color','blue') legend('exp(-2*x^2)','desarrollo en serie','Location','South') title('Serie de Taylor') grid on hold off
y1 =2*x^4 - 2*x^2 + 1
Ejemplos en el curso de Física
Sucesivos rebotes en el plano horizontal