Series

La función symsum(f,a,b) suma la expresión f a medida que la variable simbólica varía de a a b.

s= k=1 5 k 2 = 1 2 + 2 2 + 3 2 + 4 2 + 5 2 =55

>> symsum(k^2,1,5)
ans =55

k=0 N k= N(N+1) 2 k=0 N k 2 = N(N+1)(2N+1) 6

>> syms k N;
>> symsum(k,0,N)
ans =(N*(N + 1))/2
>> symsum(k^2,0,N)
ans =(N*(2*N + 1)*(N + 1))/6

Dado que hay dos variables simbólicas x y k, especificamos en el segundo parámetro de la función sysmsum que la suma se refiere a k

Probar los siguientes resultados

k=1 1 k 2 = π 2 6 k=0 k(k+1)= N(N+1)(N+2) 3 k=0 (1) k 2k+1 = π 4

Progresión aritmética

Una progresión aritmética se define como aquella sucesión en la que el término n es la suma del término n-1 más un número r denominado razón de la progresión.

a0=a
a1=a+r
a2=a+2r
a3=a+3r
………..
an=a+n·r

Suma de n términos de una progresión aritmética

Sn=a0+(a0+r)+ (a0+2r)+(a0+3r)+…(a0+(n-1)·r)+(a0+n·r)
Sn=(an-n·r)+(an-(n-1)·r)+…+(an-3r)+(an-2r)+(an-r)+an

Sumando las dos formas de expresar la suma de n términos de una progresión aritmética, 2Sn=(n+1)(a0+an)

S n = n+1 2 ( a 0 + a n )=(n+1)( a 0 + 1 2 nr )

>> syms a k r n;
>> symsum((a+k*r),k,0,n)
ans =a*(n + 1) + (n*r*(n + 1))/2 

Suma de la progresión aritmética, 2+(2+1·3)+(2+2·3)+(2+3·3)+(2+4·3)=2+5+8+11+14

S 4 =(4+1)( 2+ 1 2 4·3 )=40

>> symsum((2+k*3),k,0,4)
ans =40

Progresión geométrica

Una progresión geométrica se define como aquella sucesión en la que el término n es el producto del término n-1 por un número r denominado razón de la progresión.

a0=a
a1=a·r
a2=a·r2
a3=a·r3
………..
an=a·rn

Suma de n términos de una progresión geométrica

Sn=a0+a0·r+ a0·r2+…+a0·rn
Sn+1=a0+a0·r+ a0·r2+… +a0·rn+a0·rn+1

Multiplicamos la primera igualdad por r y restamos miembro a miembro la segunda menos la primera

Sn+1-r·Sn = a0

Teniendo en cuenta que  Sn+1=Sn+a0·rn+1, despejamos la suma Sn de n términos de la progresión geométrica

S n = a 0 1 r n+1 1r

>> syms r k;
>> syms n integer positive;
>> symsum(r^k,k,0,n)
>> piecewise([r == 1, n + 1], [r ~= 1, (r^(n + 1) - 1)/(r - 1)])

Vamos a sumar, 2+2·5+2·52+2·53=2+10+50+250=312

>> symsum(2*5^k,k,0,3)
ans =312

Aplicando la fórmula de la suma de una progresión geométrica

S 3 =2 1 5 4 15 =312

Calcular la suma de los términos de la progresión 1/2+1/4+1/8+1/16

S 3 = 1 2 1 ( 1 2 ) 4 1 1 2 = 15 16

>> symsum((1/2)^k/2,k,0,3)
ans =15/16
>> format rat
>> 1/2+1/4+1/8+1/16
ans =      15/16   

Si r es menor que la unidad, la suma de los infinitos términos de una progresión geométrica se reduce a

S = a 0 1r

Vamos a calcular la suma de los infinitos términos de la progresión 1/2+1/4+1/8+1/16+....

>> symsum((1/2)^k/2,k,0,inf)
ans =1

S = 1 2 1 2 1 1 2 =1

La suma de los infinitos términos de la progresión 1/2-1/4+1/8-1/16+....

>>  symsum((-1/2)^k/2,k,0,inf)
ans =1/3

S = 1 2 1 2 1( 1 2 ) = 1 3

Desarrollo en serie de Taylor

La fórmula general del desarrollo en serie de la función f(x) alrededor de x=a es

k=0 f 'k (a) k! (xa) k

donde el numerador es la derivada k-ésima de f(x) evaluada en x=a.

taylor(f,n+1,a), proporciona los primeros términos del desarrollo en serie de Taylor de la función f alrededor del punto x=a. Si se omite a se toma x=0, por defecto

Fórmula de Euler

Comprobamos que exp(ix)=cos(x)+i·sin(x)

e ix =1 1 2! x 2 + 1 4! x 4 1 6! x 6 +...+i( x 1 3! x 3 + 1 5! x 5 1 7! x 7 +... ) =cos(x)+isin(x)

>> syms x;
>> assume(x,'real')
>> y=taylor(exp(1i*x),x,0,'Order',6);
>> real(y)
ans =x^4/24 - x^2/2 + 1
>> imag(y)
ans =x^5/120 - x^3/6 + x
>> taylor(cos(x))
ans =x^4/24 - x^2/2 + 1
>> taylor(sin(x))
ans =x^5/120 - x^3/6 + x

Aproximación de una función

Representamos gráficamente la función exp(-2·x2) en color rojo y los primeros términos de su desarrollo en serie en color azul.

syms x;
y=exp(-2*x^2);
y1=taylor(y) %desarrollo en serie
hold on
g1=ezplot(y,[-1 1]);
set(g1,'color','red')
g2=ezplot(y1,[-1 1]);
set(g2,'color','blue')
legend('exp(-2*x^2)','desarrollo en serie','Location','South')
title('Serie de Taylor')
grid on
hold off
y1 =2*x^4 - 2*x^2 + 1

Ejemplos en el curso de Física

Sucesivos rebotes en el plano horizontal

Sucesivos rebotes en un plano inclinado