Christian Doppler. Salzburgo (Austria), 27-07-2017

En primer lugar, vamos a observar el fenómeno y después obtendremos la fórmula que relaciona la frecuencia de las ondas observadas con la frecuencia de las ondas emitidas, la velocidad de propagación de las ondas v_s, la velocidad del emisor v_E y la velocidad del observador v_O.

Consideraremos que el emisor produce ondas de forma continua, pero solamente representaremos los sucesivos frentes de ondas, circunferencias centradas en el emisor, separados por un periodo, de un modo semejante a lo que se puede observar en la experiencia en el laboratorio con la cubeta de ondas. En la simulación más abajo, fijaremos la velocidad de propagación del sonido en una unidad v_s=1, el periodo de las ondas sea también la unidad, P=1, de modo que los sucesivos frentes de onda se desplazan una unidad de longitud en el tiempo de un periodo, es decir, la longitud de las ondas emitidas es una unidad, λ=v_sP.

El observador en reposo

Empezamos por el caso más sencillo, el observador está en reposo, a la izquierda o a la derecha del emisor de ondas. Vamos a estudiar diversas situaciones dependiendo de la velocidad del emisor.

La relación entre longitud de onda y periodo, λ=v_sP.

El emisor está en reposo (v_E=0)

Se dibujan los sucesivos frentes de ondas que son circunferencias separadas una longitud de onda, centradas en el emisor. El radio de cada circunferencia es igual al producto de la velocidad de propagación por el tiempo transcurrido desde que fue emitido. La separación entre dos frentes de onda es una longitud de onda, λ=v_sP, siendo P el periodo o tiempo que tarda en pasar dos frentes de onda consecutivos por la posición del observador.

• La longitud de onda medida por el emisor y por el observador es la misma, una unidad, λ_E=λ_O=1.

Cuando el emisor está en movimiento (v_E<v_s)

Consideramos primero el caso de que la velocidad del emisor v_E sea menor que la velocidad de propagación de las ondas en el medio v_s (v_E<1).

Si el movimiento del emisor va de izquierda a derecha (velocidades positivas), la longitud de onda medida por el observador situado a la derecha es más pequeña que la unidad, y la longitud de onda medida por el observador situado a la izquierda del emisor es mayor que la unidad.

• Observador situado a la derecha del emisor λ_O<λ_E
• Observador situado a la izquierda del emisor λ_O>λ_E

Como λ=vP, o bien λ=v/f , hay una relación inversa entre longitud de onda λ y la frecuencia f.

• Observador situado a la derecha del emisor f_O>f_E
• Observador situado a la izquierda del emisor f_O<f_E

Si el emisor emite ondas sonoras, el sonido escuchado por el observador situado a la derecha del emisor, será más agudo y el sonido escuchado por el observador situado a la izquierda será más grave. En otras palabras, cuando el emisor se acerca al observador, éste escucha un sonido más agudo, cuando el emisor se aleja del observador, éste escucha un sonido más grave.

Cuando el emisor está en movimiento (v_E=v_s)

Cuando la velocidad del emisor v_E sea igual que la velocidad de propagación de las ondas en el medio v_s (v_E=1), la longitud de onda medida por el observador situado a la derecha del emisor es cero. Si el emisor es un avión que va a la velocidad del sonido, los sucesivos frentes de las ondas emitidas se agrupan en la punta o morro del avión.

Cuando el emisor está en movimiento (v_E>v_s)

Cuando la velocidad del emisor v_E sea mayor que la velocidad de propagación de las ondas en el medio v_s (v_E>1), el movimiento ondulatorio resultante es entonces una onda cónica (la envolvente de los sucesivos frentes de onda es un cono con el vértice en el emisor), esta onda se llama onda de Mach u onda de choque, no es más que el sonido repentino y violento que oímos cuando un avión supersónico pasa cerca de nosotros. Estas ondas se observan también en la estela que dejan los botes que se mueven con mayor velocidad que las ondas superficiales sobre el agua.

La envolvente, es la recta tangente común a todas las circunferencias. En el espacio, los frentes de onda son esferas y la envolvente es una superficie cónica.

En el instante t=0, el emisor se encuentra en B, emite una onda que se propaga por el espacio con velocidad v_s. En el instante t el emisor se encuentra en O y se ha desplazado v_E·t, En este instante, el frente de onda centrado en B tiene una radio v_s·t.

En el triángulo rectángulo OAB el ángulo del vértice es sin θ=v_s/v_E. El cociente v_E/v_s se denomina número de Mach.

Actividades

Se introduce

• La velocidad del emisor, en el control titulado Velocidad del emisor
• La velocidad de propagación del sonido se ha fijado en v_s=1.0

Se pulsa el botón titulado Nuevo

El observador está en movimiento (v_E<v_s y v_O<v_s)

Consideramos solamente el caso en el que la velocidad del emisor y la velocidad del observador es menor que la velocidad de propagación de las ondas en el medio.

Actividades

Se introduce

• La velocidad del emisor (positiva), en el control titulado Velocidad emisor
• La velocidad del observador (positiva o negativa), en el control titulado Velocidad observador
• La velocidad de propagación del sonido se ha fijado en v_s=1.0

Se pulsa el botón titulado Nuevo.

Comprobamos que el efecto Doppler se debe al movimiento relativo del observador con respecto al emisor, haciendo que el observador y el emisor se muevan con la misma velocidad y en la misma dirección. Medimos el tiempo que tarda en pasar por el emisor, dos frentes de ondas consecutivos, y lo comparamos con el periodo de las ondas emitidas (una unidad de tiempo). ¿Coinciden ambas cantidades?.

Deducción de la fórmula del efecto Doppler

A partir de la observación del movimiento del emisor, del observador y de los sucesivos frentes de onda, vamos a obtener la fórmula que describe el efecto Doppler.

En la parte superior de la figura, tenemos dos señales, que pueden corresponder a dos picos consecutivos de una onda armónica, separados un periodo P. En la parte inferior, los dos puntos coloreados representan las posiciones del emisor (en rojo) y del observador (en azul). En el instante inicial t=0 en el que se emite la primera señal, el emisor y el observador están separados una distancia d desconocida, que no afecta al fenómeno en cuestión.

La primera señal es recibida por el observador en el instante t. La señal se desplaza el camino marcado en trazo grueso negro en la parte superior de la figura, desde que se emite hasta que se recibe.

v_s·t=d+v_O·t

La segunda señal se emite en el instante P y se recibe en el instante t’. En el intervalo de tiempo entre la primera y la segunda señal, el emisor se desplaza v_EP. La segunda señal recorre desde que se emite hasta que se recibe, el camino señalado en trazo grueso negro en la parte inferior de la figura.

d-v_E·P+v_O·t’=v_s·(t’-P)

Eliminando la cantidad desconocida d entre las dos ecuaciones, relacionamos el periodo P’=t’-t, de las ondas recibidas, con el periodo P de las ondas emitidas.

${\displaystyle P\text{'}=t\text{'}-t=\frac{v_s-v_E}{v_s-v_O}P}$

Teniendo en cuenta que la frecuencia es la inversa del periodo, obtenemos la relación entre frecuencias, o fórmula del efecto Doppler.

${\displaystyle f\text{'}=\frac{v_s-v_O}{v_s-v_E}f}$

Ejercicio:

Un silbato emite sonido de frecuencia 500 Hz se mueve con una máquina de tren a velocidad de 90 km/h. Un conductor se mueve  en la misma dirección pero en sentido contrario en un vehículo con una velocidad de 144 km/h acercándose al tren. Calcular la frecuencia del sonido escuchado por el conductor

v_E=25 m/s
v_s=340 m/s
v_O=-40 m/s

La frecuencia del sonido escuchado es f'=603 Hz

v_E=-25 m/s
v_s=-340 m/s
v_O=40 m/s

La frecuencia del sonido escuchado es f'=603 Hz

Procedimiento geométrico para dibujar los sucesivos frentes de onda

En la figura, se muestra el procedimiento geométrico para dibujar con la regla y el compás los sucesivos frentes de onda, del sonido emitido por un vehículo en movimiento.

• Se dibuja una línea horizontal proporcional a la velocidad v_E del emisor.
• Con el mismo origen, se dibuja una línea vertical proporcional a la velocidad del sonido v_s
• Se unen los extremos de ambas líneas, formando un triángulo rectángulo
• Se divide la línea horizontal en varias partes iguales, poniendo una marca en cada una de las divisiones
• Se traza una línea vertical desde la marca hasta su intersección con la hipotenusa del triángulo rectángulo.
• Con centro en la marca y radio igual a la longitud de dicha línea vertical, se traza una circunferencia
• Se procede de la misma manera con todas las marcas de la línea horizontal.

Nota: Cuando v_E>v_s la hipotenusa del triángulo no es la envolvente de los sucesivos frentes de onda.

Referencias

Alt R., Wiley S., A generalized wave diagram for moving sources. The Physics Teacher Vol 42, December 2004, pp. 526-527