Modos de vibración en tubos abiertos o cerrados

Los tubos de caña o de otras plantas de tronco hueco, constituyeron los primeros instrumentos musicales. Emitían sonido soplando por un extremo. El aire contenido en el tubo entraba en vibración emitiendo un sonido.

Las versiones modernas de estos instrumentos de viento son las flautas, las trompetas y los clarinetes, todos ellos desarrollados de forma que el intérprete produzca muchas notas dentro de una amplia gama de frecuencias acústicas.

El órgano es un instrumento formado por muchos tubos en los que cada tubo da una sola nota. El órgano de la sala de conciertos de La Sydney Opera House terminado en 1979 tiene 10500 tubos controlados por la acción mecánica de 5 teclados y un pedalero.

El tubo de órgano es excitado por el aire que entra por el extremo inferior. El aire se transforma en un chorro en la hendidura entre el alma (una placa transversal al tubo) y el labio inferior. El chorro de aire interacciona con la columna de aire contenida en el tubo. Las ondas que se propagan a lo largo de la corriente turbulenta mantienen una oscilación uniforme en la columna de aire haciendo que el tubo suene.

Veremos los modos de vibración que se producen en los tubos abiertos o cerrados por un extremo.

Tubos abiertos

Si un tubo es abierto, el aire vibra con su máxima amplitud en los extremos. En la figura, se representan los tres primeros modos de vibración

Como la distancia entre dos nodos o entre dos vientres es media longitud de onda. Si la longitud del tubo es L, tenemos que

L=λ /2, L=λ, L=3λ /2, ... en general L=nλ /2, n=1, 2, 3... es un número entero

Considerando que λ=vs/f (velocidad del sonido dividido la frecuencia)

Las frecuencias de los distintos modos de vibración responden a la fórmula

f= n 2 v s L n=1, 2, 3...

Tubos cerrados

Si el tubo es cerrado se origina un vientre en el extremo por donde penetra el aire y un nodo en el extremo cerrado. Como la distancia entre un vientre y un nodo consecutivo es λ/4. La longitud L del tubo es en las figuras representadas es L/4, L=3λ/4, L=5λ/4...

En general L=(2n+1)λ/4 con n=0, 1, 2, 3, ...

Las frecuencias de los distintos modos de vibración responden a la fórmula

f= 2n+1 4 v s L n=0,1 , 2, 3...

Leyes de Bernoulli

Las fórmulas obtenidas explican las denominadas leyes de Bernoulli:

La frecuencia del sonido en un tubo es:

  1. Directamente proporcional a la velocidad del sonido vs en el gas que contiene el tubo
  2. Inversamente proporcional a la longitud del tubo L
  3. En un tubo abierto, se puede producir el sonido que corresponde a la frecuencia fundamental (n=1) y sus armónicos (n=2, 3, 4, ..)
  4. En un tubo cerrado, se puede producir el sonido que corresponde a la frecuencia fundamental y los armónicos impares (2n+1=3, 5, 7, ...).
  5. En dos tubos idénticos y con el mismo gas, uno abierto y otro cerrado, el abierto produce un sonido cuya frecuencia (fundamental) es el doble que la del cerrado.

Actividades

Tubo abierto por ambos extremos:

Se activa la casilla titulada Abierto por ambos extremos.

Comprobamos que si la longitud del tubo L=1 m, y la velocidad del sonido vs=340 m/s la frecuencia del modo fundamental es f0=170 Hz.

Se pulsa el botón titulado >>, comprobamos que las frecuencias de los armónicos son múltiplos de la frecuencia fundamental: 340 Hz, 510 Hz, etc.

Tubo abierto por un extremo

Se activa la casilla titulada Abierto por un extremos.

Comprobamos que si la longitud del tubo L=1 m, y la velocidad del sonido vs=340 m/s la frecuencia del modo fundamental es f0=85 Hz (la mitad que en el tubo abierto)

Se pulsa el botón titulado titulado >>, comprobamos que las frecuencias de los armónicos son múltiplos impares de la frecuencia fundamental: 255 Hz, 425 Hz, etc.

Medida de la velocidad del sonido

Un diapasón es una varilla metálica en forma de U. El sonido emitido por el diapasón contiene una sola frecuencia que viene grabada en este dispositivo.

Conocida la frecuencia del diapasón se puede determinar la velocidad de propagación del sonido en el aire, mediante el dispositivo esquematizado en la figura. Disponemos de un recipiente de agua cuyo nivel podemos graduar. Situamos el diapasón muy cerca del recipiente y lo hacemos vibrar.

Hacemos descender el nivel del agua hasta que se perciba resonancia, es decir, una intensidad del sonido máxima.

Medimos la longitud L de la parte vacía y con estos datos se puede calcular la velocidad de propagación del sonido en el aire.

Como hemos visto, las frecuencias de los distintos modos de vibración de un tubo cerrado responden a la fórmula

f= 2n+1 4 v s L n=0,1 , 2, 3...

Actividades

Se pulsa el botón titulado Nuevo

Para cambiar el nivel de agua en el recipiente, se sitúa el puntero del ratón en la barra de desplazamiento, con las teclas del cursor (flecha derecha, flecha izquierda), se mueve el dedo en la barra de desplazamiento y por tanto, el nivel del agua en el depósito

Ejemplo

Se ha seleccionado un diapasón que emite en la frecuencia de f =440 Hz. A continuación, se pulsa el botón titulado Nuevo. Cuando se ha vaciado el recipiente hasta el nivel que marca L=58 cm, se observa el segundo modo de vibración n=1. Introducimos los datos en la fórmula y despejamos la velocidad del sonido vs.

440= 21+1 4 v s 0.58 v s =340.3m/s