Efecto Doppler acústico con eco

Estudiaremos especialmente dos situaciones:

Vamos a deducir la relación entre la frecuencia del sonido emitido f0 y la frecuencia f del sonido escuchado por el observador.

El emisor produce un movimiento ondulatorio armónico de frecuencia f0 y longitud de onda λ0=vs/f0.

Primera señal

Supongamos el reflector en el instante inicial t=0, se encuentra a una distancia d del origen. Se emite la primera señal que viaja por el aire hasta que se encuentra con el reflector en el instante t1.

vs·t1=d+vR·t1

La señal se refleja en el instante t1 y se mueve hacia la izquierda con la misma velocidad vs, recorriendo un camino más pequeño debido a que el observador se ha desplazado. La señal es captada por el observador O en el instante t’1

d+vR·t1-vOt’1=vs(t’1-t1)

Despejamos t'1 en el sistema de dos ecuaciones

t 1 ' = 2 v s d ( v s v R )( v O + v s )

Segunda señal

La segunda señal, se emite en el instante P, el emisor se encuentra a una distancia vEP del origen. La señal viaja por el aire hasta que se encuentra con el reflector en el instante t2.

d-vEP+vR·t2=vs·(t2-P)

La señal se refleja y se mueve hacia la izquierda con la misma velocidad vs, hasta que es captada por el observador O en el instante t’2

d-v0t’2+vR·t2=vs·(t’2-t2)

Despejamos t'2 en el sistema de dos ecuaciones

t 2 ' = 2 v s d ( v s + v O )( v s v R ) + ( v s v E )( v s + v R ) ( v s + v O )( v s v R ) P

Periodo P' medido por el observador

El periodo P’ del movimiento ondulatorio armónico medido por O es

P'= t 2 ' t 1 ' = ( v s + v R )( v s v E ) ( v s + v O )( v s v R ) P

Sabiendo que f=1/P’ y f0=1/P, La relación de frecuencias es

f= ( v s + v O ) ( v s v E ) ( v s v R ) ( v s + v R ) f 0

Ejemplo

La velocidad del sonido se ha fijado en vs=1.0.

Emisor en reposo

Cuando el emisor se encuentra en reposo vE=0, el movimiento ondulatorio armónico tiene un periodo P=1 y una longitud de onda λ=vs·P=1. La onda llega al reflector y cambia de frecuencia, aumentando si se acerca el emisor y disminuyendo si se aleja del emisor, tal como se aprecia en la figura

Emisor en movimiento

Cuando el emisor se mueve con velocidad vE=0.2, el movimiento ondulatorio armónico que llega al reflector tiene una frecuencia

f'= v s v s v E f 0  f'= 1.0 1.00.2 1.0= 5 4

y una longitud de onda λ’=4/5=0.8.

En la figura, se compara los sucesivos frentes de onda producidos por un emisor en reposo y los producidos por un emisor en movimiento

En esta figura, se compara los movimientos ondulatorios armónicos

La onda llega al reflector y cambia de frecuencia, aumentando si se acerca el emisor y disminuyendo si se aleja del emisor.

Observador en movimiento

Cuando el emisor y el observador coinciden vE=vO, la frecuencia f escuchada por el emisor es (este sería el caso del murciélago)

f= ( v s + v E ) ( v s v E ) ( v s v R ) ( v s + v R ) f 0

Como caso particular interesante, es aquel en el que la velocidad del emisor y del reflector coinciden vE=vR, entonces f=f0.

Actividades

Se introduce

Se pulsa el botón titulado Nuevo.

En la parte superior izquierda, se proporciona el dato de la frecuencia f del sonido escuchado por un observador en reposo vO=0.


Referencias

Perrine J. O., The Doppler and echo Doppler effect. Am. J. Phys.  12 (1944), pp. 23-28