Efecto Doppler acústico con eco
Estudiaremos especialmente dos situaciones:
- El observador en reposo en el origen
- El observador coincide con el emisor (caso de los murciélagos)
Vamos a deducir la relación entre la frecuencia del sonido emitido f0 y la frecuencia f del sonido escuchado por el observador.
El emisor produce un movimiento ondulatorio armónico de frecuencia f0 y longitud de onda λ0=vs/f0.
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En el instante t=0, el emisor se encuentra en el origen y emite la primera señal.
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En el instante t1 llega al reflector, se refleja y es captada por el observador en el instante t’1
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En el instante P=1/f0 se emite la segunda señal cuando el emisor se encuentra a una distancia vEP del origen, llega al reflector en el instante t2 y el captada por el observador en el instante t’2. El periodo del movimiento ondulatorio armónico medido por el observador es P’=t’2-t’1.
Primera señal
Supongamos el reflector en el instante inicial t=0, se encuentra a una distancia d del origen. Se emite la primera señal que viaja por el aire hasta que se encuentra con el reflector en el instante t1.
vs·t1=d+vR·t1
La señal se refleja en el instante t1 y se mueve hacia la izquierda con la misma velocidad vs, recorriendo un camino más pequeño debido a que el observador se ha desplazado. La señal es captada por el observador O en el instante t’1
d+vR·t1-vOt’1=vs(t’1-t1)
Despejamos t'1 en el sistema de dos ecuaciones
Segunda señal
La segunda señal, se emite en el instante P, el emisor se encuentra a una distancia vEP del origen. La señal viaja por el aire hasta que se encuentra con el reflector en el instante t2.
d-vEP+vR·t2=vs·(t2-P)
La señal se refleja y se mueve hacia la izquierda con la misma velocidad vs, hasta que es captada por el observador O en el instante t’2
d-v0t’2+vR·t2=vs·(t’2-t2)
Despejamos t'2 en el sistema de dos ecuaciones
Periodo P' medido por el observador
El periodo P’ del movimiento ondulatorio armónico medido por O es
Sabiendo que f=1/P’ y f0=1/P, La relación de frecuencias es
Ejemplo
La velocidad del sonido se ha fijado en vs=1.0.
Emisor en reposo
Cuando el emisor se encuentra en reposo vE=0, el movimiento ondulatorio armónico tiene un periodo P=1 y una longitud de onda λ=vs·P=1. La onda llega al reflector y cambia de frecuencia, aumentando si se acerca el emisor y disminuyendo si se aleja del emisor, tal como se aprecia en la figura
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Si la velocidad del reflector vR=0.2 (se aleja), el emisor se encuentra en reposo vE=0, y el observador se encuentra en reposo vO=0, entonces f=(1-0.2)/(1+0.2)=2/3. La longitud de onda es λ=vs/f=1.5 (figura inferior)
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Si la velocidad del reflector vR=-0.2 (se acerca), el emisor se encuentra en reposo vE=0, y el observador se encuentra en reposo vO=0, entonces f=(1+0.2)/(1-0.2)=3/2. La longitud de onda es λ=vs/f=2/3=0.67 (figura superior)
Emisor en movimiento
Cuando el emisor se mueve con velocidad vE=0.2, el movimiento ondulatorio armónico que llega al reflector tiene una frecuencia
y una longitud de onda λ’=4/5=0.8.
En la figura, se compara los sucesivos frentes de onda producidos por un emisor en reposo y los producidos por un emisor en movimiento
En esta figura, se compara los movimientos ondulatorios armónicos
La onda llega al reflector y cambia de frecuencia, aumentando si se acerca el emisor y disminuyendo si se aleja del emisor.
Observador en movimiento
Cuando el emisor y el observador coinciden vE=vO, la frecuencia f escuchada por el emisor es (este sería el caso del murciélago)
Como caso particular interesante, es aquel en el que la velocidad del emisor y del reflector coinciden vE=vR, entonces f=f0.
Actividades
Se introduce
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La velocidad del emisor vE (positiva), en el control titulado Velocidad emisor
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La velocidad del reflector vR (positiva o negativa), en el control titulado Velocidad reflector.
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La velocidad del sonido se ha fijado en vs=1.0
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La frecuencia se ha fijado en f0=1
Se pulsa el botón titulado Nuevo.
En la parte superior izquierda, se proporciona el dato de la frecuencia f del sonido escuchado por un observador en reposo vO=0.
Referencias
Perrine J. O., The Doppler and echo Doppler effect. Am. J. Phys. 12 (1944), pp. 23-28