La catenaria

Consideremos un cable de longitud L sujeto por sus dos extremos que están situados a la misma altura y que distan a uno del otro. Sea ρ la densidad del cable (masa por unidad de longitud).

En la figura, se representa las fuerzas que actúan sobre una porción s de cable que tiene como extremo el punto más bajo A:

La condición de equilibrio se escribe

Tcosθ=T0
T
sinθ=ρgs

O bien,

tanθ= dy dx = ρgs T 0

Derivando con respecto de x, y teniendo en cuenta que la longitud del arco diferencial ds2=dx2+dy2

d 2 y d x 2 = ρg T 0 ds dx d 2 y d x 2 = ρg T 0 1+ ( dy dx ) 2   

Integrando esta ecuación, teniendo en cuenta que para x=a/2, (en el punto más bajo A de la curva) dy/dx=0.

A P dv 1+ v 2 = a/2 x ρg T 0 dx v= dy dx argsinh(v)= ρg 2 T 0 (2xa)v= dy dx =sinh( ρg 2 T 0 (2xa)  )

Integrando de nuevo, con la condición de que para x=a/2, y=-h.

y+h= T 0 ρg cosh( ρg 2 T 0 (2xa) ) T 0 ρg

Como la catenaria es simétrica para x=a, y=0, por lo que la flecha h vale.

h= T 0 ρg cosh( ρga 2 T 0 ) T 0 ρg

La ecuación de la catenaria es, finalmente

y= T 0 ρg [ cosh( ρg 2 T 0 (2xa) )cosh( ρga 2 T 0 ) ]

La longitud de la catenaria es

L= ds= 0 a 1+ ( dy dx ) 2 dx= 0 a cosh( ρg 2 T 0 (2xa) ) dx L= 2 T 0 ρg sinh( ρga 2 T 0 )

Para dibujar una catenaria catenaria simétrica de longitud L, cuya "luz" es a

  1. Se resuelve la ecuación trascendente, calculando el valor de γ
  2. L= 1 γ sinh(γa)γ= ρg 2 T 0

  3. Se representa la catenaria
  4. y= 1 2γ ( cosh( γ(2xa) )cosh(γa) )

  5. Se calcula el mínimo o la "flecha" h
  6. h= 1 2γ ( cosh(γa)1 )

L=1; %longitud de las catenarias
hold on
for a=[0.3,0.5,0.8] %luz de las catenarias
    f=@(x) sinh(a*x)-L*x;
    gamma=fzero(f,[0.1 100]);
    f=@(x) (cosh(gamma*(2*x-a))-cosh(gamma*a))/(2*gamma);
    fplot(f,[0,a]);
end
hold off
grid on
xlabel('x');
ylabel('y');
title('Catenarias')

Energía potencial mínima

Consideremos un cable flexible, de longitud L que cuelga de los puntos (-a,h) y (a,h) tal como se muestra en la figura.

La longitud L del cable es

L= a a ds = a a 1+ ( dx dy ) 2 dx L>2a

El cable está en una configuración de equilibrio estable, lo que significa que su energía potencial es mínima. La energía potencial de una porción de cable de densidad uniforme ρ y de longitud ds es (ρ·ds)gy, siendo y la altura del cable sobre el eje X.

E p = a a ( ρgds )y=ρg a a y 1+ ( dx dy ) 2 dx

Formamos la función F dependiente de un parámetro λ

F(x,y, y ˙ )=ρgy 1+ y ˙ 2 +λ 1+ y ˙ 2

Aplicando la ecuación de Euler-Lagrange a la función F que no depende de x

y ˙ F y ˙ F= C 1 ( ρgy+λ )( y ˙ 2 1+ y ˙ 2 1+ y ˙ 2 )= C 1 ( dy dx ) 2 = ( ρgy+λ ) 2 C 1 2 1

Llamando z=(ρgy+λ)/C1

dz z 2 1 = ρg C 1 dx dz z 2 1 = ρg C 1 dx + C 2

Haciendo el cambio z=coshu, dz=sinhu·du

du= ρg C 1 x+ C 2 cosh 1 z= ρg C 1 x+ C 2 z=cosh( ρg C 1 x+ C 2 ) y= λ ρg + C 1 ρg cosh( ρg C 1 x+ C 2 )

Llamando γ=ρga/C1, tenemos una ecuación más simple

y= λ ρg + a γ cosh( γ x a + C 2 )

Aplicamos las condiciones de contorno para determinar las constantes γ y C2. Para x1=-a y1=h y para para x2=a y2=h. Por simetría C2=0

La constante γ se calcula sabiendo que la longitud de la catenaria es L

L= a a 1+ ( dx dy ) 2 dx = a a ρgy+λ C 1 dx = a a cosh( ρg C 1 x )dx= 2a γ sinh( γ )

Resolvemos la ecuación trascendente para calcular γ

L 2a = 1 γ sinhγ

Sabiendo que para x=a, y=h, obtenemos el parámetro λ/(ρg)

h= λ ρg + a γ cosh( γ )

Finalmente, la ecuación de la catenaria es

y= a γ { cosh( γ x a )cosh( γ ) }+h

Conocidos la longitud L de la catenaria y la 'luz' 2a, se resuelve la ecuación trascendente para calcular γ. Conocido h que puede ser cero, se representa la catenaria

L=1; %longitud de las catenarias
h=0; %altura
a=0.4;
f=@(x) sinh(x)/x-L/(2*a);
gamma=fzero(f,[0.1 100]);
f=@(x) a*(cosh(gamma*x/a)-cosh(gamma))/gamma+h;
fplot(f,[-a,a])
ylim([0,h])
grid on
xlabel('x');
ylabel('y');
title('Catenaria')

Catenaria asimétrica

Partimos de la ecuación de la catenaria

y= λ ρg + a γ cosh( γ x a + C 2 )

Sea una catenaria asimétrica que cuelga de dos puntos (-a, 0) y (a, h)

0= λ ρg + a γ cosh( γ+ C 2 ) h= λ ρg + a γ cosh( γ+ C 2 )       (1)

Restando las ecuaciones (1), eliminamos el parámetro λ desconocido

h= a γ { cosh( γ+ C 2 )cosh( γ+ C 2 ) }= 2a γ sinhγsinh C 2

Se ha utilizado la relación

>> syms A B;
 >> expand(cosh(A+B)-cosh(-A+B))
ans =2*sinh(A)*sinh(B)

El parámetro λ se calcula sabiendo que la longitud de la catenaria es L

L= a a 1+ ( dx dy ) 2 dx = a a ρgy+λ C 1 dx = a a cosh( γ x a + C 2 )dx= a γ { sinh( γ+ C 2 )sinh( γ+ C 2 ) }= 2a γ sinhγcosh C 2

Se ha utilizado la relación

>>  expand(sinh(A+B)-sinh(-A+B))
 ans =2*cosh(B)*sinh(A)

Dividiendo estas dos relaciones se obtiene

tanh C 2 = h L

Se despeja C2 y luego, γ empleando cualesquiera de las dos relaciones anteriores, la correspondeinte a la longitud L o a la altura h

Sumando las ecuaciones (1)

h= 2λ ρg + a γ { cosh( γ+ C 2 )+cosh( γ+ C 2 ) } h= 2λ ρg + 2a γ coshγcosh C 2

La ecuación de la catenaria se escribe en términos de los parámetros conocidos C2 y γ

y= h 2 + a γ { cosh( γ x a + C 2 )cosh C 2 coshγ }

Dados los datos de la longitud de la cadena flexible L, la distancia 2a entre los puntos fijos y la altura h

L=1; %longitud de las catenaria
h=0.3; %altura
a=0.4; %2a es la 'luz'
C2=atanh(h/L);
f=@(x) sinh(x)-x*L/(2*a*cosh(C2));
gamma=fzero(f,[0.1 100]);
f=@(x) h/2+a*(cosh(gamma*x/a+C2)-cosh(gamma)*cosh(C2))/gamma;
fplot(f,[-a,a])
ylim([-0.15,h])
grid on
xlabel('x');
ylabel('y');
title('Catenaria')

Referencias

Beléndez, A., Beléndez, T. Neipp C. Estudio estático de un cable homogéneo bajo la acción de su propio peso: Catenaria. Revista Española de Física 15(4) 2001, págs. 38-42

Adler, C. Catenaries on the Computer: A Freshman Physics Assignment. The Physics Teacher, Vol 37, April 1999, pp. 254-255