Ecuación de la dinámica de rotación

Momento angular de una partícula

Se define momento angular de una partícula respecto de del punto O, como el producto vectorial del vector posición r por el vector momento lineal mv

L=r×mv

Momento angular de un sólido rígido

Las partículas de un sólido rígido en rotación alrededor de un eje fijo describen circunferencias centradas en el eje de rotación con una velocidad que es proporcional al radio de la circunferencia vi=ω ·Ri

En la figura, se muestra el vector momento angular Li de una partícula de masa mi cuya posición está dada por el vector ri y que describe una circunferencia de radio Ri con velocidad vi.

El módulo del vector momento angular vale Li=rimivi

Su proyección sobre el eje de rotación Z es

Liz=miviricos(90i), es decir,

L iz = m i R i 2 ω

El momento angular de todas las partículas del sólido es

L= L i

La proyección Lz del vector momento angular a lo largo del eje de rotación es

L z = L iz =( m i R i 2 ) ω

El término entre paréntesis se denomina momento de inercia

I= m i R i 2

En general, el vector momento angular L no tiene la dirección del eje de rotación, es decir, el vector momento angular no coincide con su proyección Lz a lo largo del eje de rotación. Cuando coinciden se dice que el eje de rotación es un eje principal de inercia.

Para estos ejes existe una relación sencilla entre el momento angular y la velocidad angular, dos vectores que tienen la misma dirección, la del eje de rotación

L=Iω

El momento de inercia no es una cantidad característica como puede ser la masa o el volumen, sino que su valor depende de la posición del eje de rotación.

Cuerpo Momento de inercia Ic
Varilla delgada de longitud L 1 12 m L 2
Disco y cilindro de radio R 1 2 m R 2
Esfera de radio R 2 5 m R 2
Aro de radio R mR2

Teorema de Steiner

El teorema de Steiner es una fórmula que nos permite calcular el momento de inercia de un sólido rígido respecto de un eje de rotación que pasa por un punto O, cuando conocemos el momento de inercia respecto a un eje paralelo al anterior y que pasa por el centro de masas.

El momento de inercia del sólido respecto de un eje que pasa por O es

I O = m i r i 2

El momento de inercia respecto de un eje que pasa por C es

I C = m i R i 2

Para relacionar IO e IC hay que relacionar ri y Ri.

En la figura, tenemos que

r i 2 = x i 2 + y i 2 = ( x ic +d ) 2 + y ic 2 = R i 2 +2d x ic + d 2 I O = m i R i 2 +2d m i x ic + d 2 m i I O = I C + d 2 M

El término intermedio en el segundo miembro es cero ya que obtenemos la posición xC del centro de masa desde el centro de masa.

Ejemplo

Sea una varilla de masa M y longitud L, que tiene dos esferas de masa m y radio r simétricamente dispuestas a una distancia d del eje de rotación que es perpendicular a la varilla y pasa por el punto medio de la misma.

I= 1 12 M L 2 +2( 2 5 m r 2 +m d 2 )

Un péndulo consiste en una varilla de masa M y longitud L y una lenteja de forma cilíndrica de masa m y radio r. El péndulo puede oscilar alrededor de un eje perpendicular a la varilla que pasa por su extremo O

I=( 1 12 M L 2 +M ( L 2 ) 2 )+( 1 2 m r 2 +m (L+r) 2 )

Energía cinética de rotación

Las partículas del sólido describen circunferencias centradas en el eje de rotación con una velocidad que es proporcional al radio de la circunferencia que describen vi=ω·Ri . La energía cinética total es la suma de las energías cinéticas de cada una de las partículas. Esta suma se puede expresar de forma simple en términos del momento de inercia y la velocidad angular de rotación

E k = 1 2 m i v i 2 = 1 2 m i ω 2 R i 2 = 1 2 ( m i R i 2 ) ω 2 = 1 2 I ω 2

Ecuación de la dinámica de rotación

Consideremos un sistema de partículas. Sobre cada partícula actúan las fuerzas exteriores al sistema y las fuerzas de interacción mutua entre las partículas del sistema. Supongamos un sistema formado por dos partículas. Sobre la partícula 1 actúa la fuerza exterior F1 y la fuerza que ejerce la partícula 2, F12. Sobre la partícula 2 actúa la fuerza exterior F2 y la fuerza que ejerce la partícula 1, F21.

Por ejemplo, si el sistema de partículas fuese el formado por la Tierra y la Luna: las fuerzas exteriores serían las que ejerce el Sol ( y el resto de los planetas) sobre la Tierra y sobre la Luna. Las fuerzas interiores serían la atracción mutua entre estos dos cuerpos celestes.

Para cada unas de las partículas se cumple que la variación del momento angular con el tiempo es igual al momento de la resultante de las fuerzas que actúan sobre la partícula considerada.

d L 1 dt = r 1 ×( F 1 + F 12 ) d L 2 dt = r 2 ×( F 2 + F 21 )

Sumando miembro a miembro, aplicando la propiedad distributiva del producto vectorial, y teniendo en cuanta la tercera Ley de Newton, F12=-F21, tenemos que

d( L 1 + L 2 ) dt = r 1 × F 1 + r 2 × F 2 +( r 1 - r 2 )× F 12

Como los vectores r1-r2 y F12 son paralelos su producto vectorial es cero. Por lo que nos queda

dL dt = M ext

La derivada del momento angular total del sistema de partículas con respecto del tiempo es igual al momento de las fuerzas exteriores que actúan sobre las partículas del sistema.

Consideremos ahora que el sistema de partículas es un sólido rígido que está girando alrededor de un eje principal de inercia, entonces el momento angular L=ω, la ecuación anterior la escribimos

d(Iω) dt =MIα=M

Principio de conservación del momento angular

El principio de conservación del momento angular afirma que si el momento de las fuerzas exteriores es cero (lo que no implica que las fuerzas exteriores sean cero, que sea un sistema aislado), el momento angular total se conserva, es decir, permanece constante.

dL dt = M ext M ext =0L=cte

Trabajo y energía en el movimiento de rotación

En otra página relacionamos el trabajo de la resultante de las fuerzas que actúan sobre una partícula con la variación de energía cinética de dicha partícula.

Considérese un cuerpo rígido que puede girar alrededor de un eje fijo tal como se indica en la figura. Supongamos que se aplica una fuerza exterior F en el punto P. El trabajo realizado por dicha fuerza a medida que el cuerpo gira recorriendo una distancia infinitesimal ds=rdθ en el tiempo dt es

dW=F·dr=Fcosφrdθ

cosφ es la componente tangencial de la fuerza, la componente de la fuerza a lo largo del desplazamiento. La componente radial de la fuerza no realiza trabajo, ya que es perpendicular al desplazamiento.

El momento de la fuerza es el producto de la componente tangencial de la fuerza por el radio. Expresamos el trabajo de forma alternativa

dW=Mdθ

El trabajo total cuando el sólido gira un ángulo θ es

W= 0 θ Mdθ= 0 θ Iαdθ = 0 θ I dω dt dθ= 0 θ I dθ dt dω= 0 θ Iωdω= 1 2 I ω 2 1 2 I ω 0 2

Se obtiene una ecuación análoga al teorema trabajo-energía para una partícula.

Impulso angular

En la dinámica de una partícula vimos el concepto de impulso lineal. Una fuerza aplicada durante un tiempo modifica el momento lineal (la velocidad de la partícula).

0 t F·dt =mvm v 0

En el caso de un sólido en rotación la magnitud equivalente se denomina impulso angular.

El momento de las fuerzas que se aplican durante un tiempo t a un sólido rígido en movimiento de rotación alrededor de un eje fijo, modifica el momento angular del sólido en  rotación.

0 t M·dt =IωI ω 0