Momento angular de una partícula

Se define momento angular de una partícula respecto de del punto O, como el producto vectorial del vector posición $\overrightarrow{r}$ por el vector momento lineal $m\overrightarrow{v}$

${\displaystyle \overrightarrow{L}=\overrightarrow{r}\times m\overrightarrow{v}}$

Momento angular de un sólido rígido

Las partículas de un sólido rígido en rotación alrededor de un eje fijo describen circunferencias centradas en el eje de rotación con una velocidad que es proporcional al radio de la circunferencia v_i=ω ·R_i

En la figura, se muestra el vector momento angular $\overrightarrow{L_i}$ de una partícula de masa m_i cuya posición está dada por el vector $\overrightarrow{r_i}$ y que describe una circunferencia de radio R_i con velocidad $\overrightarrow{v_i}$.

El módulo del vector momento angular vale L_i=r_im_iv_i

Su proyección sobre el eje de rotación Z es

L_iz=m_iv_ir_icos(90-θ_i), es decir,

${\displaystyle L_{iz}=m_i{R}_i^2\omega }$

El momento angular de todas las partículas del sólido es

${\displaystyle \overrightarrow{L}={\displaystyle \sum \overrightarrow{L_i}}}$

La proyección L_z del vector momento angular a lo largo del eje de rotación es

${\displaystyle L_z={\displaystyle \sum L_{iz}=\left({\displaystyle \sum m_i{R}_i^2}\right)}\omega }$

El término entre paréntesis se denomina momento de inercia

${\displaystyle I={\displaystyle \sum m_i{R}_i^2}}$

En general, el vector momento angular $\overrightarrow{L}$ no tiene la dirección del eje de rotación, es decir, el vector momento angular no coincide con su proyección L_z a lo largo del eje de rotación. Cuando coinciden se dice que el eje de rotación es un eje principal de inercia.

Para estos ejes existe una relación sencilla entre el momento angular y la velocidad angular, dos vectores que tienen la misma dirección, la del eje de rotación

${\displaystyle \overrightarrow{L}=I\overrightarrow{\omega }}$

El momento de inercia no es una cantidad característica como puede ser la masa o el volumen, sino que su valor depende de la posición del eje de rotación.

Teorema de Steiner

El teorema de Steiner es una fórmula que nos permite calcular el momento de inercia de un sólido rígido respecto de un eje de rotación que pasa por un punto O, cuando conocemos el momento de inercia respecto a un eje paralelo al anterior y que pasa por el centro de masas.

El momento de inercia del sólido respecto de un eje que pasa por O es

${\displaystyle I_O={\displaystyle \sum m_i{r}_i^2}}$

El momento de inercia respecto de un eje que pasa por C es

${\displaystyle I_{cm}={\displaystyle \sum m_i{R}_i^2}}$

Para relacionar I_O e I_cm hay que relacionar r_i y R_i.

En la figura, tenemos que

${\displaystyle \begin{array}{l}{r}_i^2=x_i^2+y_i^2={\left(x_{icm}+d\right)}^2+y_{icm}^2=R_i^2+2d{x}_{icm}+d^2\\ I_O={\displaystyle \sum m_i{R}_i^2+2d{\displaystyle \sum m_i{x}_{icm}+d^2{\displaystyle \sum m_i}}}\\ I_O=I_{cm}+d^{2}M\end{array}}$

El término intermedio en el segundo miembro es cero ya que obtenemos la posición x_cm del centro de masa desde el centro de masa.

Ejemplo

Sea una varilla de masa M y longitud l, que tiene dos esferas de masa m y radio r simétricamente dispuestas a una distancia d del eje de rotación que es perpendicular a la varilla y pasa por el punto medio de la misma.

${\displaystyle I=\frac{1}{12}M{l}^2+2\left(\frac{2}{5}m{r}^2+m{d}^2\right)}$

Un péndulo consiste en una varilla de masa M y longitud l y una lenteja de forma cilíndrica de masa m y radio r. El péndulo puede oscilar alrededor de un eje perpendicular a la varilla que pasa por su extremo O

${\displaystyle I=\left(\frac{1}{12}M{l}^2+M{\left(\frac{l}{2}\right)}^2\right)+\left(\frac{1}{2}m{r}^2+m{(L+r)}^2\right)}$

Energía cinética de rotación

Las partículas del sólido describen circunferencias centradas en el eje de rotación con una velocidad que es proporcional al radio de la circunferencia que describen v_i=ω·R_i . La energía cinética total es la suma de las energías cinéticas de cada una de las partículas. Esta suma se puede expresar de forma simple en términos del momento de inercia y la velocidad angular de rotación

${\displaystyle E_k={\displaystyle \sum \frac{1}{2}{m}_i{v}_i^2=}{\displaystyle \sum \frac{1}{2}{m}_i{\omega }^2{R}_i^2=}\frac{1}{2}\left({\displaystyle \sum m_i{R}_i^2}\right){\omega }^2=\frac{1}{2}I{\omega }^2}$

Ecuación de la dinámica de rotación

Consideremos un sistema de partículas. Sobre cada partícula actúan las fuerzas exteriores al sistema y las fuerzas de interacción mutua entre las partículas del sistema. Supongamos un sistema formado por dos partículas. Sobre la partícula 1 actúa la fuerza exterior $\overrightarrow{F_1}$ y la fuerza que ejerce la partícula 2, $\overrightarrow{F_{12}}$. Sobre la partícula 2 actúa la fuerza exterior $\overrightarrow{F_2}$ y la fuerza que ejerce la partícula 1, $\overrightarrow{F_{21}}$.

Por ejemplo, si el sistema de partículas fuese el formado por la Tierra y la Luna: las fuerzas exteriores serían las que ejerce el Sol ( y el resto de los planetas) sobre la Tierra y sobre la Luna. Las fuerzas interiores serían la atracción mutua entre estos dos cuerpos celestes.

Para cada unas de las partículas se cumple que la variación del momento angular con el tiempo es igual al momento de la resultante de las fuerzas que actúan sobre la partícula considerada.

${\displaystyle \begin{array}{l}\frac{d\overrightarrow{L_1}}{dt}=\overrightarrow{r_1}\times (\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_{12}})\hfill \\ \frac{d\overrightarrow{L_2}}{dt}=\overrightarrow{r_2}\times (\overrightarrow{F_2}+\overrightarrow{F_{21}})\hfill \end{array}}$

Sumando miembro a miembro, aplicando la propiedad distributiva del producto vectorial, y teniendo en cuanta la tercera Ley de Newton, $\overrightarrow{F_{12}}=-\overrightarrow{F_{21}}$ , tenemos que

${\displaystyle \frac{d(\overrightarrow{L_1}+\overrightarrow{L_2})}{dt}=\overrightarrow{r_1}\times \overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{r_2}\times \overrightarrow{F_2}+(\overrightarrow{r_1}-\overrightarrow{r_2})\times \overrightarrow{F_{12}}}$

Como los vectores $\overrightarrow{r_1}-\overrightarrow{r_2}$ y $\overrightarrow{F_{12}}$ son paralelos, su producto vectorial es cero. Por lo que nos queda

${\displaystyle \frac{d\overrightarrow{L}}{dt}=\overrightarrow{M_{ext}}}$

La derivada del momento angular total del sistema de partículas con respecto del tiempo es igual al momento de las fuerzas exteriores que actúan sobre las partículas del sistema.

Consideremos ahora que el sistema de partículas es un sólido rígido que está girando alrededor de un eje principal de inercia, entonces el momento angular $\overrightarrow{L}=I\overrightarrow{\omega }$. Escribimos la ecuación anterior

${\displaystyle \frac{d(I\overrightarrow{\omega })}{dt}=\overrightarrow{M}I\overrightarrow{\alpha }=\overrightarrow{M}}$

Principio de conservación del momento angular

El principio de conservación del momento angular afirma que si el momento de las fuerzas exteriores es cero (lo que no implica que las fuerzas exteriores sean cero, que sea un sistema aislado), el momento angular total se conserva, es decir, permanece constante.

${\displaystyle \frac{d\overrightarrow{L}}{dt}=\overrightarrow{M_{ext}}\overrightarrow{M_{ext}}=0\overrightarrow{L}=\text{cte}}$

Supongamos una partícula de masa m que puede deslizar a lo largo de una varilla horizontal de masa despreciable. La varilla y la partícula giran alrededor del eje Z tal como se muestra en la figura. Cuando la partícula se encuentra a una distancia r₀ del eje de rotación, la velocidad angular del conjunto es ω₀.

Cuando la partícula se encuentra a una distancia r del eje, la velocidad angular de rotación ha disminuido a ω al aumentar el momento de inercia, de acuerdo con el principio de conservación del momento angular.

${\displaystyle \begin{array}{l}\left(m{r}_0^2\right){\omega }_0=\left(m{r}^2\right)\omega \\ \omega ={\left(\frac{r_0}{r}\right)}^2{\omega }_0\end{array}}$

La variación de energía cinética es

${\displaystyle \Delta E_k=\frac{1}{2}\left(m{r}^2\right){\omega }^2-\frac{1}{2}\left(m{r}_0^2\right){\omega }_0^2=\frac{1}{2}m{\omega }_0^2{r}_0^4\left(\frac{1}{r^2}-\frac{1}{r_0^2}\right)}$

Dado que r>r₀, la energía inicial es mayor que la final, ΔE_k<0

Si la partícula se desplaza a lo largo de la varilla con una velocidad muy pequeña, en cada posición describe una circunferencia de radio r. La fuerza que actúa sobre la partícula es F=ma_n=mω²r, cuyo momento es cero

El trabajo de la fuerza F que hay que hacer para desplazar la partícula desde la posición inicial r₀ a la final r es

${\displaystyle W={\displaystyle \underset{r_0}{\overset{r}{\int }}-F·dr=}-{\displaystyle \underset{r_0}{\overset{r}{\int }}m{\omega }^{2}r·dr=}-{\displaystyle \underset{r_0}{\overset{r}{\int }}m{\omega }_0^2\frac{r_0^4}{r^3}·dr=}\frac{1}{2}m{\omega }_0^2{r}_0^4\left(\frac{1}{r^2}-\frac{1}{r_0^2}\right)}$

Trabajo y energía en el movimiento de rotación

En otra página relacionamos el trabajo de la resultante de las fuerzas que actúan sobre una partícula con la variación de energía cinética de dicha partícula.

Considérese un cuerpo rígido que puede girar alrededor de un eje fijo tal como se indica en la figura. Supongamos que se aplica una fuerza exterior F en el punto P. El trabajo realizado por dicha fuerza a medida que el cuerpo gira recorriendo una distancia infinitesimal ds=rdθ en el tiempo dt es

${\displaystyle dW=\overrightarrow{F}·\overrightarrow{dr}=F\cos \phi ·rd\theta }$

F·cosφ es la componente tangencial de la fuerza, la componente de la fuerza a lo largo del desplazamiento. La componente radial de la fuerza no realiza trabajo, ya que es perpendicular al desplazamiento.

El momento de la fuerza es el producto de la componente tangencial de la fuerza por el radio. Expresamos el trabajo de forma alternativa

${\displaystyle dW=Md\theta }$

El trabajo total cuando el sólido gira un ángulo θ es

${\displaystyle \begin{array}{l}W={\displaystyle \underset{0}{\overset{\theta }{\int }}Md\theta =}{\displaystyle \underset{0}{\overset{\theta }{\int }}I\alpha d\theta }={\displaystyle \underset{0}{\overset{\theta }{\int }}I\frac{d\omega }{dt}d\theta =}{\displaystyle \underset{0}{\overset{\theta }{\int }}I\frac{d\theta }{dt}d\omega =}\\ {\displaystyle \underset{0}{\overset{\theta }{\int }}I\omega d\omega =}\frac{1}{2}I{\omega }^2-\frac{1}{2}I{\omega }_0^2\end{array}}$

Se obtiene una ecuación análoga al teorema trabajo-energía para una partícula.

Impulso angular

En la dinámica de una partícula vimos el concepto de impulso lineal. Una fuerza aplicada durante un tiempo modifica el momento lineal (la velocidad de la partícula).

${\displaystyle {\displaystyle \underset{0}{\overset{t}{\int }}F·dt}=mv-m{v}_0}$

En el caso de un sólido en rotación la magnitud equivalente se denomina impulso angular.

El momento de las fuerzas que se aplican durante un tiempo t a un sólido rígido en movimiento de rotación alrededor de un eje fijo, modifica el momento angular del sólido en  rotación.

${\displaystyle {\displaystyle \underset{0}{\overset{t}{\int }}M·dt}=I\omega -I{\omega }_0}$

Cálculo de $\frac{d\overrightarrow{L_A}}{dt}$ relativa a un punto A

Calculamos el cambio del momento angular relativo a un punto A, con respecto del tiempo de un sistema de N partículas y lo relacionamos con el momento de las fuerzas exteriores respecto de dicho punto.

${\displaystyle \overrightarrow{L_A}={\displaystyle \sum _{i=1}^N{m}_i\left(\overrightarrow{r_i}-\overrightarrow{r_A}\right)}\times \left(\frac{d\overrightarrow{r_i}}{dt}-\frac{d\overrightarrow{r_A}}{dt}\right)}$

El primer término del producto vectorial, es la posición relativa de la partícula i de masa m_i respecto de A, el segundo término, es la velocidad relativa

Derivamos con respecto del tiempo

${\displaystyle \begin{array}{l}\frac{d\overrightarrow{L_A}}{dt}={\displaystyle \sum _{i=1}^N{m}_i\left\{\left(\frac{d\overrightarrow{r_i}}{dt}-\frac{d\overrightarrow{r_A}}{dt}\right)\times \left(\frac{d\overrightarrow{r_i}}{dt}-\frac{d\overrightarrow{r_A}}{dt}\right)+\left(\overrightarrow{r_i}-\overrightarrow{r_A}\right)\times \left(\frac{d^2\overrightarrow{r_i}}{d{t}^2}-\frac{d^2\overrightarrow{r_A}}{d{t}^2}\right)\right\}}=\\ {\displaystyle \sum _{i=1}^N{m}_i\left(\overrightarrow{r_i}-\overrightarrow{r_A}\right)}\times \left(\frac{d^2\overrightarrow{r_i}}{d{t}^2}-\frac{d^2\overrightarrow{r_A}}{d{t}^2}\right)={\displaystyle \sum _{i=1}^N\left(\overrightarrow{r_i}-\overrightarrow{r_A}\right)\times m_i\frac{d^2\overrightarrow{r_i}}{d{t}^2}}-\left({\displaystyle \sum _{i=1}^N{m}_i\overrightarrow{r_i}}-\left({\displaystyle \sum _{i=1}^N{m}_i}\right)\overrightarrow{r_A}\right)\times \frac{d^2\overrightarrow{r_A}}{d{t}^2}\end{array}}$

Utilizamos la definición de centro de masa

${\displaystyle \overrightarrow{r_{cm}}=\frac{{\displaystyle \sum _{i=1}^N{m}_i\overrightarrow{r_i}}}{{\displaystyle \sum _{i=1}^N{m}_i}},{\displaystyle \sum _{i=1}^N{m}_i\overrightarrow{r_i}}=m\overrightarrow{r_{cm}}}$

donde m (sin subíndice) es la masa del sistema de partículas. De la ecuación de la dinámica de un sistema de partículas

${\displaystyle m_i\frac{d^2\overrightarrow{r_i}}{d{t}^2}=\overrightarrow{F_i^{ext}}+\overrightarrow{F_i^{\mathrm{int}}}}$

El primer término, es la resultante de las fuerzas externas sobre la partícula i. El segundo término de la suma vectorial, es la resultante de las fuerzas de interacción de las N-1 partículas del sistema sobre la partícula considerada i.

${\displaystyle \begin{array}{l}\frac{d\overrightarrow{L_A}}{dt}={\displaystyle \sum _{i=1}^N\left(\overrightarrow{r_i}-\overrightarrow{r_A}\right)\times \left(\overrightarrow{F_i^{ext}}+\overrightarrow{F_i^{\mathrm{int}}}\right)}-m\left(\overrightarrow{r_{cm}}-\overrightarrow{r_A}\right)\times \frac{d^2\overrightarrow{r_A}}{d{t}^2}\\ \frac{d\overrightarrow{L_A}}{dt}={\displaystyle \sum _{i=1}^N\left(\overrightarrow{r_i}-\overrightarrow{r_A}\right)\times \overrightarrow{F_i^{ext}}}+{\displaystyle \sum _{i=1}^N\left(\overrightarrow{r_i}-\overrightarrow{r_A}\right)\times \overrightarrow{F_i^{\mathrm{int}}}}-m\left(\overrightarrow{r_{cm}}-\overrightarrow{r_A}\right)\times \frac{d^2\overrightarrow{r_A}}{d{t}^2}\\ \frac{d\overrightarrow{L_A}}{dt}=\overrightarrow{M_A}-m\left(\overrightarrow{r_{cm}}-\overrightarrow{r_A}\right)\times \frac{d^2\overrightarrow{r_A}}{d{t}^2}\end{array}}$

Comprobamos con un ejemplo, que el momento de las fuerzas internas es nulo. Sea un sistema de tres partículas. Representamos mediante flechas las fuerzas de interacción mutua. Las direcciones de las fuerzas son las del vector diferencia. Por ejempo, la dirección de la fuerza $\overrightarrow{F_{23}}$ es paralela al vector $\overrightarrow{r_2}-\overrightarrow{r_3}$, su producto vectorial es cero. Debido a que las fuerzas de interacción mutua son iguales y de sentido contrario, $\overrightarrow{F_{23}}=-\overrightarrow{F_{32}}$, la suma de todas las fuerzas internas es cero

El momento de las fuerzas internas del sistema de tres partículas relativo al punto A es cero

${\displaystyle \begin{array}{l}{\displaystyle \sum _{i=1}^3\left(\overrightarrow{r_i}-\overrightarrow{r_A}\right)\times F_i^{\mathrm{int}}=}\\ \left(\overrightarrow{r_1}-\overrightarrow{r_A}\right)\times \left(\overrightarrow{F_{13}}+\overrightarrow{F_{12}}\right)+\left(\overrightarrow{r_2}-\overrightarrow{r_A}\right)\times \left(\overrightarrow{F_{23}}+\overrightarrow{F_{21}}\right)+\left(\overrightarrow{r_3}-\overrightarrow{r_A}\right)\times \left(\overrightarrow{F_{31}}+\overrightarrow{F_{32}}\right)=\\ \left(\overrightarrow{r_1}-\overrightarrow{r_A}\right)\times \left(\overrightarrow{F_{13}}+\overrightarrow{F_{12}}\right)+\left(\overrightarrow{r_2}-\overrightarrow{r_A}\right)\times \left(\overrightarrow{F_{23}}-\overrightarrow{F_{12}}\right)+\left(\overrightarrow{r_3}-\overrightarrow{r_A}\right)\times \left(-\overrightarrow{F_{13}}-\overrightarrow{F_{23}}\right)=\\ \left(\overrightarrow{r_1}-\overrightarrow{r_2}\right)\times \overrightarrow{F_{12}}+\left(\overrightarrow{r_1}-\overrightarrow{r_3}\right)\times \overrightarrow{F_{13}}+\left(\overrightarrow{r_2}-\overrightarrow{r_3}\right)\times \overrightarrow{F_{23}}-\overrightarrow{r_A}\left(\overrightarrow{F_{13}}+\overrightarrow{F_{12}}+\overrightarrow{F_{23}}-\overrightarrow{F_{12}}-\overrightarrow{F_{13}}-\overrightarrow{F_{23}}\right)=0\end{array}}$

Llegamos a la siguiente relación que puede ser últil para resolver problemas de dinamica del sólido rígido, como vamos a ver en los ejemplos.

${\displaystyle \begin{array}{l}\frac{d\overrightarrow{L_A}}{dt}=\overrightarrow{M_A}-m\left(\overrightarrow{r_{cm}}-\overrightarrow{r_A}\right)\times \frac{d^2\overrightarrow{r_A}}{d{t}^2}\\ \{\begin{array}{l}\overrightarrow{L_A}={\displaystyle \sum _{i=1}^N{m}_i\left(\overrightarrow{r_i}-\overrightarrow{r_A}\right)}\times \left(\frac{d\overrightarrow{r_i}}{dt}-\frac{d\overrightarrow{r_A}}{dt}\right)\\ \overrightarrow{M_A}={\displaystyle \sum _{i=1}^N\left(\overrightarrow{r_i}-\overrightarrow{r_A}\right)\times \overrightarrow{F_i^{ext}}}\end{array}\end{array}}$

El segundo término es nulo cuando

1. La aceleración del punto A es nula
2. El punto A coincide con el centro de masas, c.m.
3. Los vectores $\overrightarrow{r_A}$ y $\overrightarrow{r_{cm}}$ son paralelos

El segundo caso es el más importante y es el que se utilizará preferentemente en la resolución de problemas, aunque implique un aumento significativo de operaciones algebraicas

${\displaystyle \frac{d\overrightarrow{L_{cm}}}{dt}=\overrightarrow{M_{cm}}}$

El momento de las fuerzas y el momento angular se evalúan respecto del centro de masas.

La expresión general es últil cuando conocemos la aceleración del punto A

Péndulo cuyo punto de suspensión oscila horizontalmente

Un ejemplo similar se estudia en la página titulada Oscilaciones forzadas de un péndulo

Sea una varilla delgada de masa m y longitud l cuyo punto de suspensión se desplaza a lo largo del eje X de acuerdo a x=asin(ωt)

Calculamos los términos que intervienen en la fórmula general

• Aceleración del punto A

${\displaystyle \begin{array}{l}\overrightarrow{r_A}=a\sin (\omega t)\widehat{i}\\ \frac{d\overrightarrow{r_A}}{dt}=a\omega \cos (\omega t)\widehat{i}\\ \frac{d^2\overrightarrow{r_A}}{d{t}^2}=-a{\omega }^2\sin (\omega t)\widehat{i}\end{array}}$

• Posición del centro de masas respecto de A

${\displaystyle \begin{array}{l}\overrightarrow{r_{cm}}=\left(a\sin (\omega t)+\frac{l}{2}\sin \theta \right)\widehat{i}-\frac{l}{2}\cos \theta \widehat{j}\\ \overrightarrow{r_{cm}}-\overrightarrow{r_A}=\frac{l}{2}\sin \theta \widehat{i}-\frac{l}{2}\cos \theta \widehat{j}\end{array}}$

• Momento de las fuerzas respecto de A. No se precisa conocer las fuerzas en el punto de suspensión, cuyo momento respecto de A es cero. El eje Z es perpendicular al plano de la pantalla dirigido hacia el lector

${\displaystyle \overrightarrow{M_A}=-mg\frac{l}{2}\sin \theta \widehat{k}}$

• Derivada del del momento angular respecto del tiempo. Conocido el momento de inercia de la varilla respecto a un eje perpendicular que pasa por el c.m., aplicamos el teorema de Steiner para calcular el momento de inercia de la varilla repecto a un eje paralelo que pasa por A y que dista l/2

${\displaystyle \frac{d\overrightarrow{L_A}}{dt}=I_A\frac{d^2\theta }{d{t}^2}\widehat{k}=\left(I_{cm}+m{\left(\frac{l}{2}\right)}^2\right)\frac{d^2\theta }{d{t}^2}\widehat{k}=\frac{1}{3}m{l}^2\frac{d^2\theta }{d{t}^2}\widehat{k}}$

Juntamos todos los términos, para deducir la ecuación diferencial del movimiento de la varilla. Téngase en cuenta el valor de los productos vectoriales de los vectores unitarios

${\displaystyle \widehat{i}\times \widehat{i}=\mathrm{0,}\widehat{j}\times \widehat{j}=\mathrm{0,}\widehat{i}\times \widehat{j}=\widehat{k},\widehat{j}\times \widehat{i}=-\widehat{k}}$

El resultado es

${\displaystyle \begin{array}{l}\frac{1}{3}m{l}^2\frac{d^2\theta }{d{t}^2}\widehat{k}=-mg\frac{l}{2}\sin \theta \widehat{k}-m\left(\frac{l}{2}\sin \theta \widehat{i}-\frac{l}{2}\cos \theta \widehat{j}\right)\times \left(-a{\omega }^2\sin (\omega t)\widehat{i}\right)\\ \frac{1}{3}l\frac{d^2\theta }{d{t}^2}=-\frac{g}{2}\sin \theta +\frac{a{\omega }^2}{2}\cos \theta \sin (\omega t)\end{array}}$

Péndulo cuyo punto de suspensión describe un movimiento circular uniforme

Un ejemplo similar se estudia en la página titulada Oscilaciones forzadas de un péndulo

Sea una varilla delgada de masa m y longitud l cuyo punto de suspensión describe un movimiento circular uniforme de radio R con velocidad angular ω. El péndulo se ha desplazado un ángulo θ respecto de la vertical cuando la posición angular del punto de suspensión A es ωt

Calculamos los términos que intervienen en la fórmula general

• Aceleración del punto A.

${\displaystyle \begin{array}{l}\overrightarrow{r_A}=R\cos (\omega t)\widehat{i}+R\sin (\omega t)\widehat{j}\\ \frac{d\overrightarrow{r_A}}{dt}=\omega R\left(-\sin (\omega t)\widehat{i}+\cos (\omega t)\widehat{j}\right)\\ \frac{d^2\overrightarrow{r_A}}{d{t}^2}=-{\omega }^{2}R\left(\cos (\omega t)\widehat{i}+\sin (\omega t)\widehat{j}\right)\end{array}}$

• Posición del centro de masas respecto de A

${\displaystyle \begin{array}{l}\overrightarrow{r_{cm}}=\left(R\cos (\omega t)+\frac{l}{2}\sin \theta \right)\widehat{i}+\left(R\sin (\omega t)-\frac{l}{2}\sin \theta \right)\widehat{j}\\ \overrightarrow{r_{cm}}-\overrightarrow{r_A}=\frac{l}{2}\sin \theta \widehat{i}-\frac{l}{2}\cos \theta \widehat{j}\end{array}}$

• Momento de las fuerzas respecto de A. No se precisa conocer las fuerzas en el punto de suspensión, cuyo momento respecto de A es cero.

${\displaystyle \overrightarrow{M_A}=-mg\frac{l}{2}\sin \theta \widehat{k}}$

• Derivada del del momento angular respecto del tiempo.

${\displaystyle \frac{d\overrightarrow{L_A}}{dt}=I_A\frac{d^2\theta }{d{t}^2}\widehat{k}=\left(I_{cm}+m{\left(\frac{l}{2}\right)}^2\right)\frac{d^2\theta }{d{t}^2}\widehat{k}=\frac{1}{3}m{l}^2\frac{d^2\theta }{d{t}^2}\widehat{k}}$

Juntamos todos los términos, para deducir la ecuación diferencial del movimiento de la varilla

${\displaystyle \begin{array}{l}\frac{1}{3}m{l}^2\frac{d^2\theta }{d{t}^2}\widehat{k}=-mg\frac{l}{2}\sin \theta \widehat{k}-m\left(\frac{l}{2}\sin \theta \widehat{i}-\frac{l}{2}\cos \theta \widehat{j}\right)\times \left(-{\omega }^{2}R\left(\cos (\omega t)\widehat{i}+\sin (\omega t)\widehat{j}\right)\right)\\ \frac{1}{3}l\frac{d^2\theta }{d{t}^2}=-\frac{g}{2}\sin \theta +\frac{{\omega }^{2}R}{2}\cos \left(\omega t-\theta \right)\end{array}}$

Una rueda excéntrica sobre una plataforma que oscila

Consideremos un disco de masa m y radio R que no es homogéneo por lo que su centro de masas no coicide con el centro de la rueda, dista h del centro. El disco puede rodar sin deslizar sobre una plataforma que oscila horizontalmente, x=asin(ωt)

Calculamos los términos que intervienen en la fórmula general

• Aceleración del punto A. La aceleración tiene dos componentes, la horizontal, la de la plataforma (el punto A no desliza sobre la plataforma) y la vertical, R(dθ/dt)²

${\displaystyle \frac{d^2\overrightarrow{r_A}}{d{t}^2}=-a{\omega }^2\sin (\omega t)\widehat{i}+R{\left(\frac{d\theta }{dt}\right)}^2\widehat{j}}$

• Posición del centro de masas respecto de A

${\displaystyle \overrightarrow{r_{cm}}-\overrightarrow{r_A}=h\sin \theta \widehat{i}+(R-h\cos \theta )\widehat{j}}$

• Momento de las fuerzas respecto de A. No se precisa conocer las fuerzas en el punto de contacto, cuyo momento respecto de A es cero.

${\displaystyle \overrightarrow{M_A}=-mgh\sin \theta \widehat{k}}$

• Derivada del del momento angular respecto del tiempo.

${\displaystyle \frac{d\overrightarrow{L_A}}{dt}=I_A\frac{d^2\theta }{d{t}^2}\widehat{k}}$

Por el teorema de Steiner I_A=I_cm+md². Siendo d la distancia entre A y C

${\displaystyle d^2={\left(h\sin \theta \right)}^2+{\left(R-h\cos \theta \right)}^2=R^2+h^2-2Rh\cos \theta }$

Juntamos todos los términos, para deducir la ecuación diferencial del movimiento del disco

${\displaystyle \begin{array}{l}\left(I_{cm}+m{d}^2\right)\frac{d^2\theta }{d{t}^2}\widehat{k}=-mgh\sin \theta \widehat{k}-m\left(h\sin \theta \widehat{i}+(R-h\cos \theta )\widehat{j}\right)\times \left(-a{\omega }^2\sin (\omega t)\widehat{i}+R{\left(\frac{d\theta }{dt}\right)}^2\widehat{j}\right)\\ \left(I_{cm}+m{d}^2\right)\frac{d^2\theta }{d{t}^2}=-mgh\sin \theta -mhR\sin \theta {\left(\frac{d\theta }{dt}\right)}^2-ma{\omega }^2(R-h\cos \theta )\sin (\omega t)\end{array}}$

Para un disco homogéneo, h=0

${\displaystyle \left(I_{cm}+m{R}^2\right)\frac{d^2\theta }{d{t}^2}=-ma{\omega }^{2}R\sin (\omega t)}$

Caída de un lápiz en posición casi vertical

En la página titulada Caída de un lápiz en posición vertical, estudiamos esta situación evaluando el momento angular y el momento de las fuerzas respecto del centro de masas.

Sea un lápiz de masa m y longitud l. La punta del lápiz, A, desliza sobre el plano horizontal. Como no hay fuerzas horizontales el centro de masas se mueve a lo largo del eje Y

Calculamos los términos que intervienen en la fórmula general

• Aceleración del punto A.

${\displaystyle \begin{array}{l}\overrightarrow{r_A}=-\frac{l}{2}\sin \theta ·\widehat{i}\\ \frac{d\overrightarrow{r_A}}{dt}=-\frac{l}{2}\cos \theta ·\frac{d\theta }{dt}·\widehat{i}\\ \frac{d^2\overrightarrow{r_A}}{d{t}^2}=\frac{l}{2}\left(\sin \theta ·{\left(\frac{d\theta }{dt}\right)}^2-\cos \theta ·\frac{d^2\theta }{d{t}^2}\right)·\widehat{i}\end{array}}$

• Posición del centro de masas respecto de A

${\displaystyle \begin{array}{l}\overrightarrow{r_{cm}}=\frac{l}{2}\cos \theta \widehat{j}\\ \overrightarrow{r_{cm}}-\overrightarrow{r_A}=\frac{l}{2}\sin \theta ·\widehat{i}+\frac{l}{2}\cos \theta \widehat{j}\end{array}}$

• Momento de las fuerzas respecto de A.

${\displaystyle \overrightarrow{M_A}=-mg\frac{l}{2}\sin \theta \widehat{k}}$

• Derivada del del momento angular respecto del tiempo. Por el teorema de Steiner I_A=I_cm+m(l/2)²=ml²/12+ml²/4=ml²/3

${\displaystyle \frac{d\overrightarrow{L_A}}{dt}=-I_A\frac{d^2\theta }{d{t}^2}\widehat{k}=-\left(\frac{1}{3}m{l}^2\right)\frac{d^2\theta }{d{t}^2}\widehat{k}}$

Juntamos todos los términos, para deducir la ecuación diferencial del movimiento de la varilla

${\displaystyle \begin{array}{l}-\left(\frac{1}{3}m{l}^2\right)\frac{d^2\theta }{d{t}^2}\widehat{k}=-mg\frac{l}{2}\sin \theta \widehat{k}-m\left(\frac{l}{2}\sin \theta ·\widehat{i}+\frac{l}{2}\cos \theta \widehat{j}\right)\times \frac{l}{2}\left(\sin \theta ·{\left(\frac{d\theta }{dt}\right)}^2-\cos \theta ·\frac{d^2\theta }{d{t}^2}\right)·\widehat{i}\\ -\left(\frac{1}{3}m{l}^2\right)\frac{d^2\theta }{d{t}^2}\widehat{k}=-mg\frac{l}{2}\sin \theta \widehat{k}+m\frac{l}{2}\cos \theta \frac{l}{2}\left(\sin \theta ·{\left(\frac{d\theta }{dt}\right)}^2-\cos \theta ·\frac{d^2\theta }{d{t}^2}\right)·\widehat{k}\\ \left(\frac{1}{3}+{\sin }^2\theta \right)\frac{d^2\theta }{d{t}^2}=2\frac{g}{l}\sin \theta -\cos \theta \sin \theta ·{\left(\frac{d\theta }{dt}\right)}^2\end{array}}$

Oscilaciones de un semicilindro

En la página titulada Oscilaciones de un semicilindro, estudiamos esta situación evaluando el momento angular y el momento de las fuerzas respecto del centro de masas.

Sea un semicilindro de masa m y radio R que rueda sin deslizar sobre el plano horizontal. Establecemos el origen y el sistema de coordenadas tal como se indica en la figura de color azul.

Calculamos los términos que intervienen en la fórmula general, cuando el centro del cilindro se ha desplazado Rθ y ha girado un ángulo θ, tal como se indica en la figura de color rojo

• Aceleración del punto A. El punto A está en contacto con el plano horizontal, su velocidad es nula, pero su componente vertical de la aceleración vertical no es cero

${\displaystyle \begin{array}{l}\overrightarrow{r_A}=-R\theta \widehat{i}-R\widehat{j}\\ \frac{d\overrightarrow{r_A}}{dt}=0\\ \frac{d^2\overrightarrow{r_A}}{d{t}^2}=R{\left(\frac{d\theta }{dt}\right)}^2\widehat{j}\end{array}}$

• Posición del centro de masas respecto de A

${\displaystyle \begin{array}{l}\overrightarrow{r_{cm}}=\left(-R\theta +r_c\sin \theta \right)\widehat{i}-r_c\cos \theta \widehat{j}\\ \overrightarrow{r_{cm}}-\overrightarrow{r_A}=r_c\sin \theta ·\widehat{i}+\left(R-r_c\cos \theta \right)\widehat{j}\end{array}}$

• Momento de las fuerzas respecto de A.

${\displaystyle \overrightarrow{M_A}=-mg{r}_c\sin \theta \widehat{k}}$

• Derivada del del momento angular respecto del tiempo.

${\displaystyle \frac{d\overrightarrow{L_A}}{dt}=I_A\frac{d^2\theta }{d{t}^2}\widehat{k}}$

Por el teorema de Steiner I_A=I_cm+md². Siendo d la distancia entre A y C

${\displaystyle d^2={\left(r_c\sin \theta \right)}^2+{\left(R-r_c\cos \theta \right)}^2=r_c^2+R^2-2R{r}_c\cos \theta }$

Juntamos todos los términos, para deducir la ecuación diferencial del movimiento del semicilindro

${\displaystyle \begin{array}{l}{I}_A\frac{d^2\theta }{d{t}^2}\widehat{k}=-mg{r}_c\sin \theta ·\widehat{k}-m\left(r_c\sin \theta ·\widehat{i}+\left(R-r_c\cos \theta \right)\widehat{j}\right)\times \left(R{\left(\frac{d\theta }{dt}\right)}^2\widehat{j}\right)\\ \left(I_{cm}+m\left(r_c^2+R^2-2R{r}_c\cos \theta \right)\right)\frac{d^2\theta }{d{t}^2}=-mg{r}_c\sin \theta -mR{r}_c\sin \theta {\left(\frac{d\theta }{dt}\right)}^2\end{array}}$

Referencias

Keith R. Symon. Mechanics. Addison-Wesley Publishing Company, Second edition, pp. 158-160

Luis Rodríguez V. Torque and the rate of change of angular momentum at an arbitrary point. Am. J. Phys. 71 (11) November 2003, pp. 1201-1203

Fredy R. Zypman. Moments to remember. -The conditions for equating torque and rate of change of angular momentum. Am. J. Phys. 58 (1) January 1990. pp. 41-43