Dos discos que se acoplan.

Conservación del momento angular

Tenemos un sistema formado por dos discos que giran alrededor de un eje común. El momento de las fuerzas exteriores respecto del eje de rotación O es nulo, por lo que se conserva el momento angular

M ext = d L dt M ext =0 L =cte

El momento angular de un sólido en rotación alrededor de un eje fijo con velocidad angular ω es L =I ω

La fórmula del momento de inercia I0 de un disco respecto a un eje de rotación perpendicular al disco y que pase por su centro es I 0 = 1 2 m R 2

Momento angular antes del acoplamiento

El momento angular del sistema antes del acoplamiento es la suma de los momentos angulares de cada uno de los discos

L=I1ω1+ I2ω2

Donde ω1 y ω2 son las velocidades angulares iniciales antes del acoplamiento.

Momento angular después del acoplamiento

Después del acoplamiento ambos discos llevan una velocidad angular común ω .

L=I1ω + I2ω

Principio de conservación del momento angular

Despejando la velocidad angular ω , tenemos

ω= I 1 ω 1 + I 2 ω 2 I 1 + I 2

Esta fórmula es similar al choque entre una bala y un bloque, cuando la bala se incrusta en el bloque.

Balance energético

Energía antes del acoplamiento

E i = 1 2 I 1 ω 1 2 + 1 2 I 2 ω 2 2

Energía después del acoplamiento

E f = 1 2 ( I 1 + I 2 ) ω 2

El trabajo de la fuerza de rozamiento en el acoplamiento es W=Ef-Ei. Haciendo algunas simplificaciones llegamos a esta expresión final

W= 1 2 I 1 I 2 I 1 + I 2 ( ω 1 ω 2 ) 2

La energía final es siempre menor que la inicial Ef<Ei

El papel de las fuerza internas

La velocidad angular de los discos acoplados cambia desde las velocidades angulares iniciales ω1 y ω2 a la velocidad angular final ω a lo largo de un tiempo t.

Sobre los discos actúan fuerzas interiores de rozamiento entre las superficies en contacto de modo que, uno de los discos se acelera y el otro se decelera hasta que adquieren la misma velocidad angular final ω.

Estas fuerza interiores ejercen un momento Mr. Imaginemos que ω1 > ω2, el momento Mr se opone a ω1 decelerando el disco inferior y acelerando el disco superior tal como se muestra en la figura.

Imaginemos que ambos discos tienen momentos de inercia iguales I1=I2 y velocidades angulares iguales y de sentido contrario ω1 =- ω2, el momento Mr hace disminuir ambas velocidades, hasta que la velocidad angular final del conjunto es cero, tal como predice el principio de conservación del momento angular.

Ecuación de la dinámica de rotación

Formulamos la ecuación de la dinámica de rotación para cada uno de los discos

-Mr=I1·α1
Mr=I2·α2

Suponiendo que Mr es constante, las aceleraciones angulares son constantes, las velocidades angulares valdrán

ω110 1t
ω2202t

donde ω10 y ω20 son las velocidades angulares iniciales en el instante t=0.

A partir de estas ecuaciones se puede calcular el tiempo t que tardan los discos en adquirir la misma velocidad angular ω12.

t= ω 10 ω 20 α 2 α 1 = M r I 1 I 2 I 1 + I 2 ( ω 10 ω 20 )

Calculamos el desplazamiento de cada uno de los discos durante el intervalo de tiempo t.

θ 1 = ω 10 t+ 1 2 α 1 t 2 θ 2 = ω 20 t+ 1 2 α 2 t 2

Trabajo de las fuerzas internas

El trabajo del momento de la fuerza de rozamiento es

W=-Mr·θ1+Mr·θ2

Como vemos por las flechas en la figura, Mr es opuesto al desplazamiento θ1 (trabajo negativo), y es del mismo sentido que el desplazamiento θ2 (trabajo positivo).

Haciendo algunas operaciones llegamos en pocos pasos a la misma expresión para W que la que obtuvimos a partir del balance energético después de aplicar el principio de conservación del momento angular. Pero ahora, interpretamos mejor el origen de la disipación de la energía durante el tiempo t que dura el acoplamiento (hasta que los discos alcanzan la misma velocidad angular final).

W= 1 2 I 1 I 2 I 1 + I 2 ( ω 10 ω 20 ) 2

Ejemplos

Ejemplo 1º:

  1. Principio de conservación del momento angular

    0.1·2+0.1·0=(0.1+0.1)·ω , por lo que ω =1 rad/s

  2. Fuerzas internas
  3. Sea el momento de las fuerza se rozamiento Mr=0.1 N·m. Calculamos las aceleraciones angulares de cada disco

    -0.1=0.1·α1
    0.1=0.1·α2

    Ahora las velocidades angulares finales

    ω1=2-1·t
    ω2=
    0+1·t

    Las velocidades angulares ω1 2 se hacen iguales en el instante t=1 s después de haberse acoplado. En este instante la velocidad angular común es 1 rad/s

    Obtenemos el mismo valor que en el apartado 1º

Ejemplo 2º

Un caso interesante se produce cuando ambos discos tienen el mismo momento de inercia, y velocidades angulares iguales y de sentido contrario

  1. Principio de conservación del momento angular
  2. 0.1·4-0.1·4=(0.1+0.1)·ω , por lo que ω=0 rad/s

    Los discos se paran después de acoplarse

  3. Fuerzas internas
  4. Sea el momento de las fuerza se rozamiento Mr=0.1 N·m. Calculamos las aceleraciones angulares de cada disco

    -0.1=0.1·α1
    0.1=0.1·α2

    Ahora las velocidades angulares finales

    ω1=4-1·t
    ω2=
    -4+1·t

    Las velocidades angulares ω1 2 se hacen iguales en el instante t=4 s después de haberse acoplado. En este instante la velocidad angular final común es cero

Actividades

Se introduce:

Se pulsa el botón titulado Nuevo y a continuación, .

Los discos empiezan a girar primero uno independientemente del otro. En la parte izquierda, tenemos un diagrama de dos barras, una para la energía y otra para el momento angular.

Se pulsa el botón titulado Acopla

Se activa un mecanismo que hace que el disco superior se acople con el inferior. Cuando están acoplados empieza a actuar el momento de las fuerzas de rozamiento.

En la parte derecha, observamos la evolución de la velocidad angular de cada disco en función del tiempo. Comprobamos que la magnitud del momento de la fuerza de rozamiento no afecta a la velocidad angular final común de ambos discos. Tan sólo, al tiempo que tardan en alcanzar dicho estado final.

Se muestra la energía y el momento angular de cada uno de los discos. La conservación del momento angular no implica la conservación de la energía. El efecto del acoplamiento es la disminución de la energía inicial que se pierde en forma de calor debido al rozamiento entre ambos discos, mientras que el momento angular permanece constante. El momento angular de un disco aumenta, el del otro disminuye pero la suma es constante.



Práctica de laboratorio

Fómulas de los momentos de inercia de los cuerpos utilizados en esta página, respecto de un eje que pasa por el centro de masas

I c = 1 2 M R 2 I c = M 12 ( b 2 + c 2 ) I C = 1 2 m( R 1 2 + R 2 2 )

Experiencia 1

Disponemos de un disco de masa 1.422 kg y diámetro 23 cm, de momento de inercia I1=1.422·0.1152/2=0.00940 kg m2 que hacemos girar con velocidad angular ω1=8.38 rad/s

Situamos encima un anillo de masa 1.418 kg, diámetro interior 10.7 cm y diámetro exterior 12.7 cm, de momento de inercia I2=1.418·(0.06352+0.05352)/2=0.00489 kg m2

Aplicamos el principio de conservación del momento angular para calcular la velocidad angular final ω2

I 1 ω 1 =( I 1 + I 2 ) ω 2

El resultado es ω2=5.51 rad/s. La medida efectuada en el laboratorio es de 5.22 rad/s

Experiencia 2

Sobre una barra soporte de momento de inercia I=0.0133 kgm2 que hemos medido utilizando la dinámica de rotación, colocamos dos piezas prismáticas iguales de 4.4 cm de lado y 276 g de masa a una distancia d1=20 cm del eje de rotación. El momento de inercia inicial es

I 1 =0.0133+2{ 0.276 12 ( 0.044 2 + 0.044 2 )+0.276· 0.2 2 }=0.0356 kgm 2

Hacemos girar el soporte con las dos masas con una velocidad angular inicial ω1=2.11 rad/s

Mediante una cuerda desplazamos una de las masas hacia el eje de rotación a una distancia de d2=3 cm del eje de rotación, el momento de inercia final es

I 2 =0.0133+{ 0.276 12 ( 0.044 2 + 0.044 2 )+0.276· 0.2 2 }+ { 0.276 12 ( 0.044 2 + 0.044 2 )+0.276· 0.03 2 }=0.0248 kgm 2

Al tirar de la cuerda estamos aplicando una fuerza que tiene dirección radial y por tanto su momento es nulo, el momento angular del sistema formado por el soporte y las dos masas se conserva

Al disminuir el momento de inercia la velocidad angular aumenta, de mod que se cumple I1ω1=I2ω2

Despejamos ω2=3.03 rad/s. La medida efectuada en el laboratorio fué de ω2=2.95 rad/s

Balance energético

Vamos a comprobar que el trabajo de la fuerza necesaria para desplazar hacia el eje la pieza rectangular es igual a la variación de la energía cinética de rotación

Cuando la pieza rectangular de masa m está a una distancia x del eje, la tensión T de la cuerda, es igual a la fuerza necesaria para que describa un movimiento circular de radio x con velocidad angular ω.

T=mω2x

Calculamos la velocidad angular de rotación ω mediante el principio de conservación del momento angular

I1ω1=I·ω

I 1 = I 0 +2( I b +m d 1 2 )= I 0 +2 I b +2m d 1 2 I= I 0 +( I b +m d 1 2 )+( I b +m x 2 )= I 0 +2 I b +m d 1 2 +m x 2 = I 1 m d 1 2 +m x 2 I 2 = I 0 +2 I b +m d 1 2 +m d 2 2 = I 1 m d 1 2 +m d 2 2

I0 es el momento de inercia del soporte, e Ib es el momento de inercia de la pieza rectangular

T=m ( I 1 ω 1 I 1 m d 1 2 +m x 2 ) 2 x W= d 1 d 2 T·dx= I 1 2 ω 1 2 2 ( 1 I 2 1 I 1 )= 1 2 I 1 I 2 ( I 1 I 2 ) ω 1 2 Δ E k = 1 2 I 2 ω 2 2 1 2 I 1 ω 1 2 = 1 2 I 1 I 2 ( I 1 I 2 ) ω 1 2

Con los datos de esta experiencia, obtenemos ΔEk=0.0345 J