Un peso cuelga de una cable sujeto por ambos extremos
Consideremos un cable flexible de longitud l, densidad λ por unidad de longitud, sujeto por ambos extremos a una barra rígida horizontal a una distancia x0 del eje Y. Hemos demostrado que la forma que adopta el cable bajo la acción de su propio peso es una catenaria
En el punto más bajo de la catenaria, se engancha un peso mg, vamos a determinar la forma que adopta el cable
La forma que adopta el cable será la que haga mínima su energía potencial.
donde C1, C2 son constantes de integración a determinar, k es un parámetro a determinar
Utilizando la relación
Expresamos dicha ecuación de forma más conveniente
Llamando a=λg/C1, b=exp(C2), K=k/(λg), la ecuación se transforma en
Ahora tenemos que determinar las constantes a, b y el parámetro K
Parámetro K
El parámetro K se determina sabiendo que y(x0)=0. El cable está sujeto en este extremo.
La forma del cable está descrita por la ecuación
Esta ecuación describe la forma del cable para x>0. Dado que la forma del cable es simétrica, f(x)=f(-x). para x<0, hay que hacer los cambios
tal como se aprecia en el código MATLAB al final de esta página
La función que describe la forma del cable, es continua en x=0, pero su derivada (pendiente) no lo es
Constantes a y b
La longitud de la porción derecha x>0, del cable es
Teniendo en cuenta que
El resultado es
La ordenada y0 del punto medio x=0 es
Combinamos estas dos ecuaciones para obtener una ecuación trascendente cuya raíz es la constante a
Conocido y0, resolvemos esta ecuación trascendente para calcular la constante a, y luego, cualquiera de las dos ecuaciones para determinar la constante b
Centro de masa del cable homogéneo
Supondremos que la densidad λ del cable es constante
Como el cable es simétrico, el centro de masa se encuentra en el eje Y, xcm=0, por lo que solamente es necesario calcular la ordenada ycm
Es una integral que requiere de cierto trabajo para simplificar suficientemente el resultado
Comprobamos que los dos primeros sumandos son proporcionales al producto y0l
El resultado es
Fuerza necesaria para deformar la catenaria
El cable sujeto por ambos extremos, adopta la forma de catenaria bajo la acción de su propio peso. Supongamos que ejercemos una fuerza F en la posición x=0, como consecuencia, dicha posición se desplaza a y0
Cuando dicho punto se desplaza de y0 a y0+dy0 bajo la acción de una fuerza F hacia abajo, se realiza un trabajo -F·dy0, mientras que la energía potencial cambia en Mg·dycm, siendo M la masa del cable.
Dada la energía potencial, Ep(x), la fuerza se obtiene derivando con respecto a x y cambiando de signo, F=-dEp(x)/dx
Ahora bien, ycm depende de dos variables y0 y a
Obtenemos las expresiones de las derivadas y de las derivadas parciales
El resultado es
Teniendo en cuenta las relaciones
La fracción se simplifica notablemente
La fuerza F vale
Caso particular: la catenaria
Partimos de la ecuación que describe la forma del cable para x>0
Si ahora hacemos que y(-x0)=0
La ecuación que obtenemos es
que es la ecuación de la catenaria
La ordenada y0 del punto medio x=0 es
La constante a se calcula a partir de la longitud del cable con b=1
Sea un cable de longitud l=4, se cuelga de una barra rígida horizontal, estando los extremos separados 2x0=2. Calculamos la constante a=2.1773, resolviendo la ecuación trascendente, y la flecha y0=-1.5928. Representamos la catenaria y la posición de su centro de masas mediante un punto de color rojo
x0=1; %extremo derecho l=4; %longitud f=@(a) sinh(a*x0)/a-l/2; a=fzero(f,[0.01,5]); y0=(1-cosh(a*x0))/a; %flecha y_cm=y0/2+(x0*a-sinh(x0*a))/(a^2*l); %centro de masas hold on f=@(x) (cosh(a*x)-cosh(a*x0))/a; fplot(f,[-x0,x0]) plot(0,y_cm,'ro','markersize',3,'markerfacecolor','r') hold off grid on xlabel('x') ylabel('f(x)') title('Catenaria')
a = 2.1773 y0 = -1.5928
Caso general
Las ecuaciones que describen la foma del cable son
Dada la flecha y0 se calcula la constante a resolviendo la ecuación trascendente
Con cualquiera de las otras dos ecuaciones calculamos la constante b

Cuando aplicamos una fuerza infinita, la cuerda adopta la forma de un triángulo isósceles.
El máximo valor de y0 es
Con los datos l=4 y x0=1, obtenemos . Recordamos que para la catenaria y0=-1.5928.
Vamos a representar la forma del cable para y0=-1.7. La fuerza que se aplica es F=0.3337Mg. Como vemos el cable adopta una forma casi triangular. El punto de color rojo marca la posición del centro de masas
x0=1; l=4; y0=-1.7; f=@(a) (cosh(a*x0)-1)*2/a^2+y0^2-l^2/4; a=fzero(f,[0.01,5]); b=(a*l+sqrt(a^2*l^2+4*(exp(a*x0)-1)*(exp(-a*x0)-1)))/(2*(exp(a*x0)-1)); % y_0=(b*(1-exp(a*x0))+(1-exp(-a*x0))/b)/(2*a); y_cm=y0/2+(x0*a-sinh(x0*a))/(a^2*l); %centro de masas F=1/2+y0*cosh(a*x0/2)/(l*sinh(a*x0/2)); %fuerza disp(-F) f=@(x) (b*(exp(a*x)-exp(a*x0))+(exp(-a*x)-exp(-a*x0))/b)/(2*a); hold on fplot(f,[0,x0]) f=@(x) ((exp(a*x)-exp(-a*x0))/b+b*(exp(-a*x)-exp(a*x0)))/(2*a); fplot(f,[-x0,0]) plot(0,y_cm,'ro','markersize',3,'markerfacecolor','r') hold off grid on xlabel('x') ylabel('f(x)') title('Catenaria con un peso que cuelga')
0.3337 >> a,b a = 1.1249 b = 2.0011
Cambiamos y0=-1.0. La fuerza que se aplica es hacia arriba F=-0.2389Mg
-0.2389 >> a,b a = 3.8266 b = 0.2556
Cuando y0=0. La fuerza que se aplica es hacia arriba F=-0.5Mg
-0.5000 >> >> a,b a = 4.3546 b = 0.1133
Referencias
Harold S. Zapolsky. A simple solution of the center loaded catenary. Am. J. Phys. 58 (11) November 1990. pp. 1110-1112