Cuerda que gira alrededor de un eje

Consideremos un elemento diferencial ds de cuerda. Dibujamos las fuerzas sobre dicho elemento.

Ecuaciones de equilibrio

La primera ecuación es equivalente a d(T(x)·cosα(x))=0, o bien,

T(x)cos( α(x) )= T 0

siendo T0 es la tensión de la cuerda para α=0

Dividiendo la segunda entre la primera

T(x+dx)·sin( α(x+dx) ) T(x+dx)·cos( α(x+dx) ) T(x)·sin( α(x) ) T(x)·cos( α(x) ) = dF(x) T 0 T 0 ( tan( α(x+dx) )tan( α(x) ) )=dF(x)

La pendiente de la recta tangente a la curva y=y(x) en x es

tanα(x)= ( dy dx ) x

La ecuaciones de equilibrio se escriben

( dy dx ) x+dx ( dy dx ) x = 1 T 0 dF d dx { ( dy dx ) x+dx ( dy dx ) x }= 1 T 0 dF dx d 2 y d x 2 = 1 T 0 dF dx

Dependiendo de la expresión de la fuerza externa dF/dx, obtenemos distintas ecuaciones diferenciales y así distintas soluciones para la forma de la curva

La catenaria

El peso de un elemento ds de cuerda es dF=λg·ds, siendo λ la densidad lineal y ds= d x 2 +d y 2 , la longitud del elemento diferencial de cuerda

dF dx = dF ds ds dx =λg 1+ ( dy dx ) 2

La ecuación diferencial de la catenaria que se ha estudiado en la página titulada La catenaria es

d 2 y d x 2 = λg T 0 1+ ( dy dx ) 2

Forma de la cuerda que gira

Supongamos que los extremos de la cuerda están atados a un eje (el X) que gira con velocidad angular constante ω. En el sistema de referencia en rotación los elementos de la cuerda experimentan una fuerza centrífuga proporcional al radio -y (en la figura y es negativo) de la circunferencia que describen. La fuerza centrífuga es similar al peso, es proporcional a la masa. La aceleración de dicho elemento es -ω2y. En la ecuación diferencial de la catenaria reemplazamos g por -ω2y

d 2 y d x 2 = λ ω 2 T 0 y 1+ ( dy dx ) 2

Llamamos 1/L2 a la constante de proporcionalidad, que tiene dimensión de longitud.

Resolvemos la ecuación diferencial con las condiciones en los extremos y(0)=0 e y(a)=0.

Solución aproximada

Si la deformación de la cuerda no es muy grande, se cumple que la pendiente dy/dx en todos los puntos de la cuerda es pequeña

( dy dx ) 2 <<1

Por lo que la solución de la ecuación diferencial es sencilla, recuerda a la de un Movimiento Armónico Simple

d 2 y d x 2 = 1 L 2 y y(x)= y m sin( x L +φ )

ym es la amplitud que tiene que ser pequeña, la frecuencia angular es 1/L y φ la fase inicial. La distancia entre los extremos de la cuerda sujetos al eje es medio periodo, Δx=π/(1/L)=πL, tal como se ve en la figura

L=1/pi;
g=@(x) sin(x/L-pi/2);
fplot(g,[-0.5,0.5])
grid on
xlabel('x')
ylabel('y')
title('Cuerda que gira')

Como vemos la cuerda está sujeta en los puntos x=-0.5 y x=0.5. Falta multiplicar la función seno por una amplitud ym pequeña, para simular la deformación de la cuerda que gira con velocidad angular ω pequeña.

Solución analítica

d dx 1+ ( dy dx ) 2 = dy dx d 2 y d x 2 1+ ( dy dx ) 2 d dx 1+ ( dy dx ) 2 = y L 2 dy dx 1+ ( dy dx ) 2 = 1 2 L 2 y 2 +C

Escribimos esta ecuación de la forma equivalente

1+ ( dy dx ) 2 =1+ 1 2 L 2 ( y m 2 y 2 )

donde ym es una constante a determinar. Elevamos al cuadrado y ordenamos los términos para que nos salga una ecuación diferencial del tipo

( dz du ) 2 =( 1 z 2 )( 1 p 2 z 2 )

cuya solución es z=sn(u,p), véase Wikipedia, Jacobi elliptic functions o Integrales elípticas

u( z, p 2 )= 0 z dz ( 1 p 2 z 2 )( z 2 1 ) z=sn( u,p )

En este problema

( dy dx ) 2 = 1 2 L 2 ( y m 2 y 2 ){ ( 1+ y m 2 4 L 2 ) y 2 4 L 2 } y m 2 ( d( y/ y m ) dx ) 2 = y m 2 L 2 ( 1+ y m 2 4 L 2 )( 1 ( y y m ) 2 ){ 1( y m 2 4 L 2 + y m 2 ) ( y y m ) 2 }

con

z= y y m u= x L ( 1+ y m 2 4 L 2 ) p 2 = y m 2 4 L 2 + y m 2

La solución z=sn(u, p) se transforma en

y(x)= y m sn( x L ( 1+ y m 2 4 L 2 ) +φ,p )

Como se ha comprobado en la página titulada Integrales elípticas, medio periodo de la función sn(u,p) es Δu=2K(p) lo que corresponde a

u= Δx L ( 1+ y m 2 4 L 2 ) Δx=Δu L ( 1+ y m 2 4 L 2 ) =2K(p) L ( 1+ y m 2 4 L 2 )

Siendo K(p) la integral elíptica completa de primera especie. Δx es la distancia entre los extremos de la cuerda e ym es la amplitud

Sea

  • L=1/π con L=T0/(ωλ)
  • ym=1, es la amplitud
  • L=1/pi;
    ym=1;
    p=sqrt(ym^2/(4*L^2+ym^2));
    K=ellipke(p^2); 
    Dx=2*K*L/(sqrt(1+ym^2/(4*L^2))); %distancia entre los extremos
    alfa=sqrt(1+ym^2/(4*L^2))/L;
    f=@(x) -ellipj(alfa*x+K,p^2);
    hold on
    fplot(f,[-Dx/2,Dx/2])
    g=@(x) ym*sin(x/L-pi/2);
    fplot(g,[-pi*L/2,pi*L])
    hold off
    ylim([-1,0])
    legend('exacta','aproximada', 'location','best')
    grid on
    xlabel('x')
    ylabel('y')
    title('Cuerda que gira')

    La solución exacta y aproximada difieren

    Cuando L=1, la solución exacta y aproximada casi coinciden

    Procedimiento numérico

    Este problema nos da la oportunidad de resolver una ecuación diferencial con condiciones en los extremos y comparar la solución numérica aplicando el procedimiento bvp4c de MATLAB y la solución analítica

    d 2 y d x 2 = y L 2 1+ ( dy dx ) 2 y(x)= y m sn( x L ( 1+ y m 2 4 L 2 ) +K(p),p )

    Los pasos para aplicar el procedimiento bvp4c son

    Representamos la función exacta y la función calculada mediante el procedimiento bvp4c de MATLAB. No hay diferencias apreciables entre ambas

    L=1/pi;
    ym=1;
    p=sqrt(ym^2/(4*L^2+ym^2));
    K=ellipke(p^2); 
    Dx=2*K*L/(sqrt(1+ym^2/(4*L^2))); %distancia entre los extremos
    alfa=sqrt(1+ym^2/(4*L^2))/L;
    fe=@(x) -ellipj(alfa*x+K,p^2); %exacta
    %aproximada
    f=@(~,x) [x(2), -x(1)*sqrt(1+x(2)^2)/L^2];
    g=@(xa,xb) [xa(1), xb(1)];
    xIni=linspace(-Dx/2, Dx/2,100);
    aprox=@(x) [ym*sin(x/L-pi/2), ym*cos(x/L-pi/2)/L];
    solinit = bvpinit(xIni, aprox); %primera aproximación
    sol1 = bvp4c(f, g, solinit); 
    y = deval(sol1,xIni);
    hold on
    fplot(fe,[-Dx/2, Dx/2])
    plot(xIni,y(1,:));
    hold off
    grid on
    xlabel('x')
    ylabel('y')
    title('Cuerda que gira'

    Cambiamos el parámetro L=1

    Referencias

    Arne Nordmark, Hanno Essén. The skipping rope curve. Eur. J. Phys. 28 (2007) 241-247