Consideremos un elemento diferencial ds de cuerda. Dibujamos las fuerzas sobre dicho elemento.

• La fuerza aplicada dF(x)
• La tensión T(x), que ejerce la parte izquierda de la cuerda sobre dicho elemento
• La tensión T(x+dx), que ejerce la parte derecha de la cuerda sobre dicho elemento

Ecuaciones de equilibrio

• Equilibrio a lo largo del eje X

T(x+dx)·cosα(x+dx)-T(x)·cosα(x)=0

• Equlibrio a lo largo del eje Y

T(x+dx)·sinα(x+dx)-T(x)·cosα(x)-dF(x)=0

La primera ecuación es equivalente a d(T(x)·cosα(x))=0, o bien,

${\displaystyle T(x)\cos \left(\alpha (x)\right)=T_0}$

siendo T₀ es la tensión de la cuerda para α=0

Dividiendo la segunda entre la primera

${\displaystyle \begin{array}{l}\frac{T(x+dx)·\sin \left(\alpha (x+dx)\right)}{T(x+dx)·\cos \left(\alpha (x+dx)\right)}-\frac{T(x)·\sin \left(\alpha (x)\right)}{T(x)·\cos \left(\alpha (x)\right)}=\frac{dF(x)}{T_0}\\ T_0\left(\tan \left(\alpha (x+dx)\right)-\tan \left(\alpha (x)\right)\right)=dF(x)\end{array}}$

La pendiente de la recta tangente a la curva y=y(x) en x es

${\displaystyle \tan \alpha (x)={\left(\frac{dy}{dx}\right)}_x}$

La ecuaciones de equilibrio se escriben

${\displaystyle \begin{array}{l}{\left(\frac{dy}{dx}\right)}_{x+dx}-{\left(\frac{dy}{dx}\right)}_x=\frac{1}{T_0}dF\\ \frac{d}{dx}\left\{{\left(\frac{dy}{dx}\right)}_{x+dx}-{\left(\frac{dy}{dx}\right)}_x\right\}=\frac{1}{T_0}\frac{dF}{dx}\\ \frac{d^{2}y}{d{x}^2}=\frac{1}{T_0}\frac{dF}{dx}\end{array}}$

Dependiendo de la expresión de la fuerza externa dF/dx, obtenemos distintas ecuaciones diferenciales y así distintas soluciones para la forma de la curva

La catenaria

El peso de un elemento ds de cuerda es dF=λg·ds, siendo λ la densidad lineal y $ds=\sqrt{d{x}^2+d{y}^2}$, la longitud del elemento diferencial de cuerda

${\displaystyle \frac{dF}{dx}=\frac{dF}{ds}\frac{ds}{dx}=\lambda g\sqrt{1+{\left(\frac{dy}{dx}\right)}^2}}$

La ecuación diferencial de la catenaria que se ha estudiado en la página titulada La catenaria es

${\displaystyle \frac{d^{2}y}{d{x}^2}=\frac{\lambda g}{T_0}\sqrt{1+{\left(\frac{dy}{dx}\right)}^2}}$

Forma de la cuerda que gira

Supongamos que los extremos de la cuerda están atados a un eje (el X) que gira con velocidad angular constante ω. En el sistema de referencia en rotación los elementos de la cuerda experimentan una fuerza centrífuga proporcional al radio -y (en la figura y es negativo) de la circunferencia que describen. La fuerza centrífuga es similar al peso, es proporcional a la masa. La aceleración de dicho elemento es -ω²y. En la ecuación diferencial de la catenaria reemplazamos g por -ω²y

${\displaystyle \frac{d^{2}y}{d{x}^2}=-\frac{\lambda {\omega }^2}{T_0}y\sqrt{1+{\left(\frac{dy}{dx}\right)}^2}}$

Llamamos 1/L² a la constante de proporcionalidad, que tiene dimensión de longitud.

Resolvemos la ecuación diferencial con las condiciones en los extremos y(0)=0 e y(a)=0.

Solución aproximada

Si la deformación de la cuerda no es muy grande, se cumple que la pendiente dy/dx en todos los puntos de la cuerda es pequeña

${\displaystyle {\left(\frac{dy}{dx}\right)}^2<<1}$

Por lo que la solución de la ecuación diferencial es sencilla, recuerda a la de un Movimiento Armónico Simple

${\displaystyle \begin{array}{l}\frac{d^{2}y}{d{x}^2}=-\frac{1}{L^2}y\\ y(x)=y_m\sin \left(\frac{x}{L}+\phi \right)\end{array}}$

y_m es la amplitud que tiene que ser pequeña, la frecuencia angular es 1/L y φ la fase inicial. La distancia entre los extremos de la cuerda sujetos al eje es medio periodo, Δx=π/(1/L)=πL, tal como se ve en la figura

L=1/pi;
g=@(x) sin(x/L-pi/2);
fplot(g,[-0.5,0.5])
grid on
xlabel('x')
ylabel('y')
title('Cuerda que gira')

Como vemos la cuerda está sujeta en los puntos x=-0.5 y x=0.5. Falta multiplicar la función seno por una amplitud y_m pequeña, para simular la deformación de la cuerda que gira con velocidad angular ω pequeña.

Solución analítica

${\displaystyle \begin{array}{l}\frac{d}{dx}\sqrt{1+{\left(\frac{dy}{dx}\right)}^2}=\frac{\frac{dy}{dx}\frac{d^{2}y}{d{x}^2}}{\sqrt{1+{\left(\frac{dy}{dx}\right)}^2}}\\ \frac{d}{dx}\sqrt{1+{\left(\frac{dy}{dx}\right)}^2}=-\frac{y}{L^2}\frac{dy}{dx}\\ \sqrt{1+{\left(\frac{dy}{dx}\right)}^2}=-\frac{1}{2L^2}{y}^2+C\end{array}}$

Escribimos esta ecuación de la forma equivalente

${\displaystyle \sqrt{1+{\left(\frac{dy}{dx}\right)}^2}=1+\frac{1}{2L^2}\left(y_m^2-y^2\right)}$

donde y_m es una constante a determinar. Elevamos al cuadrado y ordenamos los términos para que nos salga una ecuación diferencial del tipo

${\displaystyle {\left(\frac{dz}{du}\right)}^2=\left(1-z^2\right)\left(1-p^2{z}^2\right)}$

cuya solución es z=sn(u,p), véase Wikipedia, Jacobi elliptic functions o Integrales elípticas

${\displaystyle \begin{array}{l}u\left(z,p^2\right)={\displaystyle \underset{0}{\overset{z}{\int }}\frac{dz}{\sqrt{\left(1-p^2{z}^2\right)\left(z^2-1\right)}}}\\ z=\text{sn}\left(u,p\right)\end{array}}$

En este problema

${\displaystyle \begin{array}{l}{\left(\frac{dy}{dx}\right)}^2=\frac{1}{2L^2}\left(y_m^2-y^2\right)\left\{\left(1+\frac{y_m^2}{4L^2}\right)-\frac{y^2}{4L^2}\right\}\\ y_m^2{\left(\frac{d\left(y/y_m\right)}{dx}\right)}^2=\frac{y_m^2}{L^2}\left(1+\frac{y_m^2}{4L^2}\right)\left(1-{\left(\frac{y}{y_m}\right)}^2\right)\left\{1-\left(\frac{y_m^2}{4L^2+y_m^2}\right){\left(\frac{y}{y_m}\right)}^2\right\}\end{array}}$

con

${\displaystyle z=\frac{y}{y_m}u=\frac{x}{L}\sqrt{\left(1+\frac{y_m^2}{4L^2}\right)}{p}^2=\frac{y_m^2}{4L^2+y_m^2}}$

La solución z=sn(u, p) se transforma en

${\displaystyle y(x)=y_m\text{sn}\left(\frac{x}{L}\sqrt{\left(1+\frac{y_m^2}{4L^2}\right)}+\phi ,p\right)}$

Como se ha comprobado en la página titulada Integrales elípticas, medio periodo de la función sn(u,p) es Δu=2K(p) lo que corresponde a

${\displaystyle \begin{array}{l}u=\frac{\Delta x}{L}\sqrt{\left(1+\frac{y_m^2}{4L^2}\right)}\\ \Delta x=\Delta u\frac{L}{\sqrt{\left(1+\frac{y_m^2}{4L^2}\right)}}=2K(p)\frac{L}{\sqrt{\left(1+\frac{y_m^2}{4L^2}\right)}}\end{array}}$

Siendo K(p) la integral elíptica completa de primera especie. Δx es la distancia entre los extremos de la cuerda e y_m es la amplitud

Sea

L=1/pi;
ym=1;
p=sqrt(ym^2/(4*L^2+ym^2));
K=ellipke(p^2); 
Dx=2*K*L/(sqrt(1+ym^2/(4*L^2))); %distancia entre los extremos
alfa=sqrt(1+ym^2/(4*L^2))/L;
f=@(x) -ellipj(alfa*x+K,p^2);
hold on
fplot(f,[-Dx/2,Dx/2])
g=@(x) ym*sin(x/L-pi/2);
fplot(g,[-pi*L/2,pi*L])
hold off
ylim([-1,0])
legend('exacta','aproximada', 'location','best')
grid on
xlabel('x')
ylabel('y')
title('Cuerda que gira')

La solución exacta y aproximada difieren

Cuando L=1, la solución exacta y aproximada casi coinciden

Procedimiento numérico

Este problema nos da la oportunidad de resolver una ecuación diferencial con condiciones en los extremos y comparar la solución numérica aplicando el procedimiento bvp4c de MATLAB y la solución analítica

${\displaystyle \begin{array}{l}\frac{d^{2}y}{d{x}^2}=-\frac{y}{L^2}\sqrt{1+{\left(\frac{dy}{dx}\right)}^2}\\ y(x)=y_m\text{sn}\left(\frac{x}{L}\sqrt{\left(1+\frac{y_m^2}{4L^2}\right)}+K(p),p\right)\end{array}}$

Los pasos para aplicar el procedimiento bvp4c son

• Una funcion que define la ecuación diferencial, lo mismo que en el procedimiento ode45

f=@(~,x) [x(2), -x(1)*sqrt(1+x(2)^2)/L^2];

• Una función que especifica las condiciones en los extremos

Para -Δx/2, y=0 (extremo izquierdo de la cuerda), para Δx/2, y=0 (extremo derecho de la cuerda)

g=@(xa,xb) [xa(1), xb(1)];

• La aproximación inicial, que va a consistir en la función ym*sin(x/L-pi/2) y su derivada la función coseno

xIni=linspace(-Dx/2, Dx/2,100);
aprox=@(x) [ym*sin(x/L-pi/2), ym*cos(x/L-pi/2)/L];
solinit = bvpinit(xIni, aprox); %primera aproximación

Representamos la función exacta y la función calculada mediante el procedimiento bvp4c de MATLAB. No hay diferencias apreciables entre ambas

L=1/pi;
ym=1;
p=sqrt(ym^2/(4*L^2+ym^2));
K=ellipke(p^2); 
Dx=2*K*L/(sqrt(1+ym^2/(4*L^2))); %distancia entre los extremos
alfa=sqrt(1+ym^2/(4*L^2))/L;
fe=@(x) -ellipj(alfa*x+K,p^2); %exacta
%aproximada
f=@(~,x) [x(2), -x(1)*sqrt(1+x(2)^2)/L^2];
g=@(xa,xb) [xa(1), xb(1)];
xIni=linspace(-Dx/2, Dx/2,100);
aprox=@(x) [ym*sin(x/L-pi/2), ym*cos(x/L-pi/2)/L];
solinit = bvpinit(xIni, aprox); %primera aproximación
sol1 = bvp4c(f, g, solinit); 
y = deval(sol1,xIni);
hold on
fplot(fe,[-Dx/2, Dx/2])
plot(xIni,y(1,:));
hold off
grid on
xlabel('x')
ylabel('y')
title('Cuerda que gira'

Cambiamos el parámetro L=1

Referencias

Arne Nordmark, Hanno Essén. The skipping rope curve. Eur. J. Phys. 28 (2007) 241-247