Composición de movimientos: traslación y rotación

Movimiento general de un sólido rígido

Un sólido fijo se caracteriza por ser indeformable, las posiciones relativas de los puntos del sólido se mantienen fijas aunque se apliquen fuerzas al mismo.

En la figura vemos que la posición del punto P del sólido es

rP=rc+R

Donde C se refiere al centro de masas del sólido. El vector R que va del centro de masas al punto P es un vector cuyo módulo es constante. 

Derivando la expresión anterior respecto del tiempo obtenemos

d r P dt = d r C dt + dR dt v P = v C +ω×R

El primer término es la velocidad del punto P, el segundo la velocidad del centro de masas y el tercero es la velocidad del punto P respecto del centro de masas.

Dado que el vector R tiene módulo constante, el único movimiento posible de P respecto de C es una rotación con velocidad angular ω alrededor de un eje instantáneo que pase por C, tal como vemos en la figura.

El movimiento de un punto P del sólido es la suma de un movimiento de traslación del centro de masa más una rotación alrededor de un eje instantáneo que pasa por el centro de masa.

Movimiento de rodar sin deslizar

En el movimiento de rodar sin deslizar, la rueda se traslada a la vez que gira.

En el movimiento de rodar sin deslizar, existe una relación entre el movimiento de rotación y traslación. El punto de la rueda que está en contacto en un instante dado con el suelo tiene velocidad nula. Por tanto, se debe de cumplir que

vc=ω·R

Calculamos la velocidad de cualquier punto P, que dista r del centro de una rueda de radio R y que forma un ángulo φ, con la horizontal. Los ángulos se miden en sentido de las agujas del reloj, que es el sentido del movimiento de rotación de la rueda.

v x = v C ωrsinφ= v C ( 1 r R sinφ ) v y =ωrcosφ= v C r R cosφ

El módulo y el ángulo que forman con el eje horizontal X son, respectivamente

v= v C 1+ r 2 R 2 2 r R sinφ tanθ= rcosφ Rrsinφ

Ejemplo:

Sea r=R=1;

Sea r=0.5

Composición de movimientos

En este programa interactivo se trata de comprobar que el movimiento general de un sólido rígido es la composición de un movimiento de traslación del centro de masas y de un movimiento de rotación alrededor de un eje que pasa por el centro de masas.

Por otra parte, se trata de establecer la relación que debe de existir entre las velocidades de traslación y de rotación para producir un movimiento de rodar sin deslizar.

Se introduce:

Se pulsa el botón titulado Nuevo

Se representa el perfil de velocidades de diversos puntos de la rueda y en particular, los situados en su diámetro vertical, que son los más importantes para la resolución de los problemas. Observamos, que las velocidades de dichos puntos (en color rojo en la figura de abajo) son la suma vectorial de su velocidad de traslación (en color azul en la figura intermedia) y de su velocidad de rotación (en color azul en la figura de arriba).

En el movimiento de rodar sin deslizar, la velocidad del punto de la rueda que está en contacto con el plano horizontal debe de ser cero. Por tanto, la relación entre las velocidades angular de rotación ω  y traslación vc deberá ser vc=ω·R. Observar que:

Velocidad y trayectoria de un punto de una rueda.

En este programa interactivo, observamos el vector velocidad y la trayectoria que describe un punto de la rueda.

En la parte superior, observamos la posición del punto relativa al centro de la rueda cuyo radio está fijado por el programa interactivo y es de un metro

Se introduce:

Se pulsa el botón titulado Nuevo.

Observamos la trayectoria de un punto de la rueda y su vector velocidad, tangente a la trayectoria. El vector velocidad de un punto de la rueda es la suma de

Se considerará aquellas situaciones en las que el disco rueda sin deslizar, (cuando la velocidad de rotación y de traslación coinciden: 1 rad/s y 1 m/s, respectivamente, ya que el radio es de un metro). Se observará, en esta situación, el movimiento de: