Zeruko gorputzen dinamika

P puntua esferaren barnealdean

Energia potentziala

Presioa Lurraren zentroan

M masa puntual batek bere inguruko P puntuan sortzen duen "eremu grabitatorioa" honela definitzen da: puntu horretan kokatutako masa unitate batek jasango lukeen indarra. Magnitude hori bektorea da, hona hemen bere modulua:

Norabide erradiala eta noranzkoa, masa puntualerantz, irudiak erakusten duena.

Orri honetan eremu grabitatorioa kalkulatuko dugu, baina esfera trinko eta homogeneo baten inguruko P puntu batean, bere zentrotik r distantziara. Esaterako, efera hori planeta bat izan daiteke.

P puntua esferaren kanpoaldean

Demagun esferaren erradioa R dela eta P puntua esferaren zentrotik r distantziara dagoela, esferaren kanpoaldean (r>R). Goiko irudian P puntua Z ardatzean kokatu da. Zatika dezagun esfera hori diskotan (kolore urdin argiko xerrak): diskoak horizontalak dira, euren lodiera dz da eta bere erradioa y aldakorra. Kalkula dezagun lehen-lehenik horrelako disko batek P puntuan sortzen duen eremu grabitatorioa. Horretarako zatika dezagun diskoa eraztunetan (kolore horiko eraztunak): eraztunak horizontalak dira, x erradioa dute, dx zabalera eta dz lodiera.

Eraztuna ere zatika dezagun masa puntualetan (irudian gorriz adierazi dira zati simetriko bi). Masa horiek sortzen dituzten eremuek hasieran emandako definizioa betetzen dute (puntualak direla), beraz, irudian gorriz marraztutako norabideak dituzte. Eremu grabitatorio horiek simetrikoak dira, hortaz osagai horizontalak binaka deuseztatuko dira (X norabidean eta Y norabidean), eta soilik geratuko dira deuseztatu gabe osagai bertikalak (Z osagaiak).

Esfera horren masa-dentsitatea uniformea bada, dei diezaiogun ρ, orduan eraztunaren masa osoa hau da: ρ·(2πx·dx)·dz.  Eraztunak sortzen duen eremu grabitatorioa P puntuan honakoa da:

Horra eraztunak sortutako grabitatea P puntuan.

Ondoren, adierazpen hori x aldagaiarekiko integratzen badugu (0 eta y mugen artean), disko osoak sortutako grabitatea lortuko dugu, diskoaren erradioa y baita eta lodiera dz:

Horra diskoak sortutako grabitatea P puntuan.

Azkenik, esfera osoak sortutako eremu grabitatorioa kalkulatzeko, adierazpen hori z-rekiko integratu beharko dugu, –R eta +R tartean. Izatez, y aldagaia ez da konstantea baina z aldagaiarekin erlazionatuta dago:

z²+y²=R²

Integrakizunean y ordezkatuz, adierazpen osoa z-ren menpe adierazita geratzen da, eta beraz, hau da P puntuko grabitatea esfera trinko eta homogeneo osoak eraginda:

Parentesi horren hirugarren batugaia zatika integra daiteke:

Horra hor: esfera trinkoak sortutako eremu grabitatorioak masa puntualaren adierazpen matematiko bera dauka.

Kalkulu bera egin daiteke baina prozedura ezberdin batez: esfera osoa diskotan zatikatu beharrean (y erradio aldakorrekoak eta dz lodierakoak) bestelako zatitan ere zatika daiteke: geruza esferiko hutsak x erradiodunak eta dx lodieradunak, ondoko irudiak erakusten dituenak bezalakoak:

Geruza esferiko hori eraztunetan zatika daiteke, eta eraztuna masa puntualetan (irudian gorriz adierazi dira zati simetriko bi). Masa horiek sortzen dituzten eremuek hasieran emandako definizioa betetzen dute (puntualak direla), beraz, irudian gorriz marraztutako norabideak dituzte. Eremu grabitatorio horiek simetrikoak dira, hortaz osagai horizontalak binaka deuseztatuko dira (X norabidean eta Y norabidean), eta soilik geratuko dira deuseztatu gabe osagai bertikalak (Z osagaiak).

Esfera horren masa-dentsitatea uniformea bada, dei diezaiogun ρ, orduan eraztunaren masa osoa hau da: ρ·(2πxsinθ)·(x·dθ)·dx. Eraztunak sortzen duen eremu grabitatorioa P puntuan honakoa da:

Horra eraztunak sortutako grabitatea.

Ondoren, adierazpen hori θ aldagaiarekiko integratzen badugu (0 eta π mugen artean), geruza esferiko osoak sortutako grabitatea lortuko dugu, geruza esferikoaren erradioa x baita eta lodiera dx:

Lehen integrala berehalakoa da, eta bigarrena zatika ebatz daiteke. Hona hemen emaitza:

Hori da geruza esferiko huts batek sortzen duen grabitatea P puntuan. Geruzaren erradioa x da eta lodiera dx, eta r>x

Azkenik, esfera trinko osoak P puntuan sortutako grabitatea kalkulatzeko, geruza esferiko huts guztien grabitateak batu behar dira, 0-tik R-raino. Hortaz, esferak P puntuan sortzen duen grabitatea:

Berriz ere diskoekin lortutako emaitza bera, eta masa puntual baten adierazpena hain zuzen ere.

Izatez, g grabitatearen norabidea erakarlea da, alegia, esferaren zentrorantz

P puntua esferaren barnealdean

P puntua esferaren zentrotik r distantziara dago, eta demagun barruan dagoela, alegia, r<R dela. Zatika dezagun orduan esfera trinkoa bi zatitan: esfera trinko bat r erradioduna (berde argia), eta geruza esferiko trinko bat R kanpo-erradioduna eta r barne-erradioduna (berde iluna).

Barneko esferak sortzen duen eremua

Barneko esferak sortzen duen eremu grabitatorioa aurreko atalean kalkulatu dugu, izan ere P puntua esfera trinkotik kanpo dagoelako. Kontutan izan behar dugun aldaketa bakarra esferaren erradioa da, oraingoan R-ren ordez r baita:

Kanpoko geruza esferiko trinkoak sortzen duen eremua

Oraindik kalkulatu beharra dugu kanpoko geruza esferikoak P puntuan sortzen duen eremu grabitatorioa. Zatika dezagun geruza esferiko trinkoa geruza hutsetan, lehengo atalean egin dugun bezala. Oraingoan geruza hutsen erradioa ere x da (baina  r<x<R ) eta lodiera dx. Lehen bezala, geruza hutsak eraztunetan zatikatuko ditugu, baina oraingoan P puntutik gorako eraztunek eremu grabitatorio bertikala sortzen dute eta gorantz. P puntutik beherako eraztunek ordea, eremu bertikala sortzen dute baina beherantz.

Esfera horren masa-dentsitatea uniformea bada, dei diezaiogun ρ, orduan eraztunaren masa osoa, lehen bezala, hau da: ρ·(2πxsinθ)·(x·dθ)·dx. Eraztunak sortzen duen eremu grabitatorioa P puntuan honakoa da:

Horra eraztunak sortutako grabitatea P puntuan.

Ondoren, adierazpen hori θ aldagaiarekiko integratzen badugu (0 eta θp=arccos(r/x) mugen artean), soilik P-tik gora dagoen geruza esferiko zatiak sortutako grabitatea lortuko dugu:

Bigarren integrala berehalakoa da, eta lehenengoa zatika integra daiteke, lehen bezala. Hona hemen emaitza:

P-tik beherako geruza esferikoaren zatia

P puntutik gora egin den bezalaxe, geruza esferikoa eraztunetan zatikatzen da eta eraztunaren masa osoa, lehen bezala, hau da: ρ·(2πxsinθ)·(x·dθ)·dx. Eraztunak sortzen duen eremu grabitatorioa P puntuan honakoa da:

Orain ere θ aldagaiarekiko integratu behar dugu, baina beste mugen artean: θ_p=arccos(r/x) eta π, eta horrela kalkulatzen dugu P puntutik behera dagoen geruza hutsaren zatiak sortutako eremu grabitatorioa:

Lehenengo integrala berehalakoa da eta bigarrena zatika integra daiteke. Hona hemen emaitza:

Konpara ditzagun P puntutik gora dagoen geruza hutsaren zatiak sortzen duen grabitatea eta P puntutik behera dagoenak sortutakoa. Laster ikusten da berdinak direla eta aurkakoak. Hortaz, geruza huts osoak (x erradioa eta dx lodiera dituena) P puntuan sortzen duen grabitate netoa nulua da.

Oraindik batu behar dira r-tik R-raino dauden geruza huts guztiak, baina denek eremu grabitatorio nulua sortzen dutenez P puntuan, denen artean sortutako eremu totala ere nulua izango da.

Beraz, P puntuan dagoen grabitatea, esfera trinkoaren zentrotik r distantziara eta barruan, barruko esfera trinkoak soilik sortua izango da (lehengo irudiko berde argiak), beragandik kanporago dagoen zatiak (lehengo irudiko berde ilunak) ez baitu grabitaterik sortzen puntu horretan.

Izatez, g grabitatea erakarlea da eta esferaren zentrorantz apuntatzen du:

               r<R

Emaitza horri erreparatzen badiogu, g grabitatea handituz doa esfera trinkoaren barnean, linealki r-rekiko. Justu zentroan grabitatea nulua da, handituz doa gainazaleraino eta bertan honako balioa du: GM/R² . Kanpoaldean berriz, grabitatea distantziaren karratuarekiko alderantzizko proportzioan gutxituz doa, alegia, GM/r².

Ondoko grafikoak erakusten du g, grabitatearen azelerazioa, r/R zatidurarekiko eta Lur planetaren zenbakizko datuak ordezkatuta:  G=6.67·10^-11 Nm²/kg², R=6.37·10⁶ m, M=5.98·10²⁴ kg. Grabitatearen azelerazioa Lurraren gainazalean: g=9.83 m/s²

Energia potentziala

Partikula batek m masa badu, orduan honako indarra jasaten du: F=mg. Indar hori indar kontserbakorra da, eta beraz energia potentziala dagokio, E_p(r). Honela kalkulatzen da:

Har dezagun energia potentzialaren maila nulua, edo "zero maila", E_p(∞)=0

• Energia potentziala esferatik kanpo (r>R)

Esferatik kanpo, indar grabitatorioaren adierazpena hau da: F(r)=-GMm/r²

• Energia potentziala esfera barruan (r<R)

Esfera barruan indar grabitatorioaren adierazpena hau da: F(r)= -GMmr/R³

Energia potentzial horrek parabola baten profila du distantziarekiko. Ondoko grafikoak erakusten du Energia potentziala r/R zatidurarekiko adierazita:

Energiaren kontserbazio-printzipioaren arabera:

Partikula bat (m masaduna) planeta baten inguruetan mugitzen ari bada, eta ezagunak badira bere hasierako posizioa (r₀) eta abiadura (v₀), orduan bere abiadura kalkula daiteke (v) edozein posiziotan (r).

Adibidea: Tunel bat zulatzen da Lurrean bertikalki eta beherantz, Lurraren zentrotik pasatuta. Tunelaren ertzean partikula bat askatzen da (m masaduna): kalkula bedi partikula horren abiadura Lurraren zentrotik r distantziara dagoen aldiunean.

Hasierako energia eta ondorengoa berdinak izan behar dira. Hasieran r=R eta v=0,

Esaterako, Lurraren zentrotik pasatzen den aldiunean: r=0, v=7913.0 m/s.

Hona hemen Lurraren datuak: masa M=5.98·10²⁴ kg, erradioa R=6.37·10⁶ m, G=6.67·10^-11 Nm²/kg²

Presioa Lurraren zentroan

Har dezagun bolumen-elementu bat esfera trinkoaren barruan (irudian gorria). Bere azalera dA eta lodiera dr. Elementu horren masa honakoa da: dm=ρ·dA·dr  eta jasaten dituen indarrak hiru dira:

Planetak eragiten dion erakarpena, grabitatea alegia, Lurraren zentrorantz  doa eta honako modulua du: dm·g(r). Hemen, g(r) grabitatearen azelerazioa da Planetaren barruko edozein posiziotan. Elementutik behera dagoen masak elementuari azpitik gorantz eragiten dion presio-indarra: p(r)·dA Elementutik gora dagoen masak elementuari gainetik beherantz eragiten dion presio-indarra:  p(r+dr)·dA

Oreka-egoeran:

p(r)·dA-p(r+dr)·dA-g(r)·dm=0

Ekuazio horretan berridazten badugu p(r+dr) = p(r)+dp , hidrostatikaren oinarrizko ekuazioa lortzen da:

dp= -ρg(r)dr

Ekuazio hori integratuz presioa kalkula daiteke Lurraren barruko edozein tokitan, zentrotik r distantziara, baina erreferentzia gisa puntu bateko presioa ezagutu behar da. Esaterako, Lurraren gainazalean, r=R , presioa ezaguna da, presio atmosferikoa, p= p₀=1.013·10⁵ Pa.

Lurraren zentroan, r=0, eta Lurraren zenbakizko datuak ordezkatzen badira: G=6.67·10^-11 Nm²/kg², R=6.37·10⁶ m eta M=5.98·10²⁴ kg, orduan Lurraren zentroko presioa lortzen da:

Lurraren zentroko presioa, presio atmosferikoa baino milioi bat bider altuagoa da.