Zeruko gorputzen dinamika

Grabitatearen azelerazioa poloetan

Gainazal ekipotentziala

Grabitatearen azelerazioaren nazioarteko formula (1967)

Erreferentziak

Izatez, Lurraren eta gainontzeko planeten forma ez da esfera perfektua, esferoide bat baizik. Errotazioaren eraginez, planeten forma poloetatik zapalduago da eta ekuatorean lodiagoa. Orri honetan kalkulatuko da zein erlazio dagoen planeta baten ekuatoreko erradioaren eta poloko erradioaren artean, eta bi prozedura erabiliko dira erlazio hori lortzeko.

Plomuaren norabidea 

Lurraren errotazioaren eraginez, norabide erradiala eta norabide bertikala (plomuaren norabidea) ez datoz bat. Plomua da, soka baten muturretik berunezko pieza bat lotuz egiten den eta bertikaltasuna neurtzeko balio duen tresna. Tresna hori igeltseroek sarri erabiltzen dute, ezkerreko irudiak erakusten duen bezala, eraiki dituzten hormak bertikalak direla egiaztatzeko.

Lurra esferatzat hartzen bada

Demagun m masa puntual bat soka batean eskegitzen dela, eta ipar hemisferioko toki batean dagoela, λ latitudean. Lurrak bere ardatzaren inguruan biratzen du ω abiadura angeluar konstanteaz. Orduan, behatzaile inertzial baten ikuspegitik, partikula horrek zirkunferentzia bat deskribatzen du, eta zirkunferentziaren erradioa hau da: R·cos λ (R Lurraren erradioa da).

Partikula horrek jasaten dituen indarren erresultantea izan behar da, partikula horren masa bider azelerazioa (kasu horretan normala): a_n=ω²R·cos λ, eta zirkunferentziaren zentrorantz apuntatzen du.

Plomuan eskegita dagoen partikulak bi indar jasaten ditu:

• Lurraren erakarpena: norabide erradiala du eta Lurraren zentrorantz apuntatzen du. Hona hemen bere modulua:

• Sokaren tentsioa, T : norabide erradialarekiko φ angelua osatzen du irudiak erakusten duen bezala.

Partikula orekan dago irudiko Y ardatzaren norabidean (ez du azeleraziorik):

T·sin(λ+φ)-mg₀·sinλ=0

Eta partikulak azelerazioa du (a_n) irudiko X ardatzaren norabidean:

Tcos(λ+φ)- mg₀·cosλ= -mω²R·cos λ

Ekuazio bi horietatik T elimina daiteke eta j angelua lortzen da:

       (1)

konstanteak biltzeko a  izendatu dugu eta hartu da, R=6.37·10⁶ m, ω=2π/(23.93·60·60) rad/s, eta g₀=9.81 m/s²

Oraindik j angelua bakantzeko (plomuak norabide erradialarekin osatzen duen angelua) zenbait ordezkapen trigonometriko egin behar dira honelako emaitzara iristeko:

Izatez, α konstantea oso txikia da unitatearen aldean, eta φ angelua txikia da, beraz honela berridatz daiteke:

Euskal Herriaren latitudea ordezkatzen bada, λ=43º inguru, honako emaitza lortzen da: φ=0.099º.

Lurraren forma

Plomuaren norabidea eta grabitatearen azelerazio efektiboaren (g) norabidea berdinak dira, alegia, gorputz guztiek Lurraren gainazaleko edozein puntutan jasaten duten indar totala plomuaren norabidekoa da.

Beraz, Lurraren gainazalaren tangentea, λ latitudeko toki batean, plomuaren perpendikularra da, alegia bertikal lokalaren perpendikularra. Baina y=f(x) kurba baten tangentea, x₀ puntu batean, funtzio horren deribatua da puntu horretan (dy/dx). Irudiaren ezkerraldeak erakusten duen bezala:

Eta irudiaren eskumako aldeak erakusten du:  tanλ=y/x.

(1) adierazpenetik abiatuz lortzen da Lurraren gainazalak duen formaren ekuazio diferentziala:

Eta ekuazio diferentzial hori integra daiteke:

(1-α)x²+y²=c

hemen c integrazio-konstante bat da. Konstante hori kalkula daiteke ezagunak badira planetaren ekuatoreko erradioa (a) eta poloko erradioa (b), alegia , y=0, x=a, eta x=0, y=b.

Orduan Lurraren gainazalaren forma elipsea da:

Eta planeta baten "zapaldura" honako erlazioaz definitzen da:

Izatez, Lurraren ekuatoreko batezbesteko erradioa eta poloetako erradioa honakoak dira:

a=6 378 137 m, b=6 356 752 m 

Eta horrek ematen du honelako zapaldura hau: f=3.35·10^-3 baina hori da gutxi gora behera lortu dugun emaitzaren bikoitza.

Ezberdintasun hori ulertzeko Grabitazio Unibertsalaren Legea zehatzago ulertu behar da:

Adierazpen hori aplika daiteke soilik gorputz puntual bi (M eta m) elkarrengandik r distantziara daudenean, edo M masadun esfera bat eta m masadun partikula bat, r baldin bada esferaren R erradioa baino handiagoa. M masadun gorputzak ez badu zehazki forma esferikoa, kalkulatu beharko da zein indar sortzen duen planetaren masa-elementu bakoitzak m masadun partikularengan, eta indar horren osagaiak kalkulatu, eta masa-elementu guztien erresultantea kalkulatu, ondorengo atalean egingo den bezalaxe.

Lurraren forma esferoidea bada, bere energia potentzial grabitatorioa gara daiteke harmoniko esferikotan (ikus bedi 1 erreferentzia), eta horrela kalkula daiteke g₀ grabitatea λ latitudearen menpe eta zein angelu osatzen duen (j) norabide erradialarekiko.

Grabitatearen azelerazioa poloetan

Espazioko P puntu batean dagoen grabitatea definitzen da azelerazio gisa, alegia, puntu horretan m masadun partikula bat kokatzen bada, berak jasaten duen indarra, masa unitateko:

g= F_g/m

Atal honetan erakutsiko dugu nola kalkulatzen den elipsoide-formako planeta batek bere poloan sortzen duen g grabitatea. Ikusiko dugunez, kalkulua konplexua da. Elipsoidearen ardatzerdiak a eta b dira (a horizontala eta b bertikala) eta a>b.

Poloetatik pasatzen den ardatzari dei diezaiogun Z (ikusi ondorengo irudia). Ardatz hori bertikala da eta, simetriagatik, grabitateak ere norabide hori bera izango du, eta elipsoidearen zentrorantz apuntatuko du:

Grabitatearen g modulua kalkulatzeko, har ditzagun elipsoidearen zatiak, disko-formakoak, (irudian urdina) y erradiodunak eta dz lodieradunak (ikusi irudia), eta kalkula dezagun disko bakoitzak sortzen duten grabitatea (0, 0, b) puntuan.

Hasteko, disko osoarena baino lehen, har dezagun diskoaren barruan eraztun bat (irudian horia): x erradioduna, dx zabalera, dz lodiera eta ipar-polotik b-z distantziara dagoena.

Elipsoidearen masa-dentsitatea uniformea dela kontsideratuko dugu, ρ. Orduan eraztunaren masa honakoa da: ρ·2πx·dx·dz.

Eta eraztun horrek sortzen duen eremua ipar-poloan:

Simetriagatik, eremu horren osagai horizontalak (X eta Y ardatzetan) baliogabetu egiten dira bikoteka (ipar-poloko bektore gorri biak), eta eremuaren osagai bertikalak soilik geratzen dira:

Eraztunak sortutako eremua ezagututa, disko osoak sortzen duen eremua kalkulatzeko, eraztunen eremua integratu behar da x aldagaiarekiko, 0-tik y-raino (dz konstantea da, diskoaren lodiera konstantea delako):

Ondoren, diskoek sortzen duten eremua ezagututa, elipsoide osoak sortzen duen eremua kalkulatzeko, diskoen eremua integratu behar da z aldagaiarekiko, −b-tik +b-raino, baina diskoen y erradioa ez da konstantea, eta z-ren menpe adierazi behar da. Elipsearen ardatzerdiak a eta b dira beraz, elipsearen ekuazioa hau da:

Orduan, elipsoide osoak ipar-poloan sortutako grabitatea kalkulatzeko honako integrala burutu behar da:

Irakurleari uzten diogu, ariketa gisa, integral hori burutzea.

Gainazal ekipotentziala

Gorputz bat Lurraren gainazalean geldi badago, l latitudeko toki batean, orduan, Lurrarekin batera biratzen du eta ibilbide zirkularra deskribatzen du. Ibilbide zirkularraren erradioa hau da: x=r·cosλ, gorputzetik Lurraren zentrorainoko distantziari r deitzen badiogu, irudiak erakusten duen bezala:

Gorputz horrek jasaten dituen indarrak bi dira, Lurrarekin batera biratzen ari den behatzaile (ez inertzial) baten ikuspegitik:

• Erakarpen grabitatorioa, F_g, norabide erradiala du eta Lurraren zentrorantz apuntatzen du.

r gorputz horretatik Lurraren zentroraino dagoen distantzia da, M Lurraren masa eta G grabitazioaren konstantea.

• Indar zentrifugoa, F_c objektuak deskribatzen duen zirkunferentziaren zentroaren norabidea du eta kanporantz apuntatzen du.

F_c=mω²x

hemen ω Lurraren abiadura angeluar konstantea da.

Gorputz hori soka batez eskegitzen bada, sokak egiten duen T tentsioa bi indar horien erresultantearen aurkakoa izango da.

Indar kontserbakorrak. Energia potentziala

Erakarpen grabitatorioa kontserbakorra da eta energia potentziala dagokio:

Hemen suposatu da Lurra ia esferikoa dela, eta ez da kontutan hartu, Lurraren errotazioaren ondorioz, ekuatorean lodiagoa dela.

Indar zentrifugoa, ardatzerainoko x distantziaren menpekoa da beraz, indar kontserbakortzat har daiteke eta energia potentziala definitu.

Har dezagun energia potentzial zentrifugoaren jatorria biraketa-ardatzean bertan, x=0.

Orduan, energia potentzial totala energia potentzial-mota bien batura da:

Lurraren gainazala gainazal ekipotentzial bat izan behar da, norabide bertikala (edo g grabitate efektiboaren norabidea) gainazal ekipotentzialarekiko perpendikularra izan behar delako, gainazal horren puntu guztietan:

Demagun r=b, eta λ=π/2. Orduan, energia potentziala Ep= -GMm/b. Hortaz, b distantzia baldintza mugatzailea da Lurraren gainazalaren ekuazioa kalkulatzeko, alegia, gainazal ekipotentzial osoan energia potentzialak balio horixe duela: Ep(r)= -GMm/b. Baldintza hori berridatziz:

Hori ez da elipse baten ekuazioa, baina hurbilketa egin daiteke a b baino pixka bat handiagoa bada.

Alegia, r=a denean λ=0. Eta ekuazio kubiko horren soluzioak a-ren balioa ematen du b, G, M eta ω-ren menpe.

Ezagutzen bada b, kalkula daiteke a, esaterako, prozedura numerikoak erabiliz.

Ondorengo taulan erakusten dira Eguzki-sistemako zenbait planeten datuak: masa, biraketa-periodoa, eta erradioak: a ekuatorean eta b poloetan.

Datu horien iturria: erreferentzietan aipatutako bigarren artikulua.

Datu horiekin eta grabitazioaren konstantearekin (G=6.67·10^-11 Nm²/kg²) planeta bat har daiteke, eta egiazta daiteke ea bere neurriek (a eta b) zapaldura zentrifugoaren ekuazioa betetzen duten. Esaterako, Lurraren abiadura angeluarra hau da:

Adieraz ditzagun distantziak mila kilometroko unitateetan, alegia 10⁶ m. Orduan b ezagututa (b=6.356) kalkula dezagun a ondoko ekuaziotik:

a³-23594.12a+149964.23=0

Ekuazio hori kubikoa da eta bere erroak kalkulatzeko bi prozedura ezberdin erabil daitezke:

Orokorrean, ekuazio kubiko baten erroak:

x³+ax²+bx+c=0

Gure kasuan: a=0, b= -23594.12 eta c=149964.23.

Kalkula daitezke:

Baldin R²<Q³ (kasu honetan betetzen da), orduan:

Eta hona hemen ekuazio kubikoaren erroak:

Hirugarren erro hori da bila ari ginen soluzioa, eta neurtutako balioarekiko %0.2-ko errorea baino txikixeagoa du.

Ikus bedi prozedura osoa honako liburuan: Numerical Recipes in C: The art of scientific computing. Cambridge University Press (1988-1992), pp. 183-185.

Iterazioen prozedura

Ekuazio hori beste modu batean berridatz daiteke:

eta ekuazio horren erroak kalkula daitezke, b-gandik hurbil dagoen balio batetik abiatuz. Lortzen den emaitza hau da: a=6.367. Lehengo prozedurarekin lortutako emaitza eta zehaztasun berbera.

Ondoren erakusten den programa txiki honek, Java hizkuntzan idatzita, Lurraren ekuatoreko erradioa kalkulatzen du (a) iterazioen prozeduraz, poloko erradioa emanda (b). Ikus bedi "Curso de Procedimientos Numéricos en Lenguaje Java".

public class Planeta{
  public static void main(String[] args) {
        System.out.println(raiz(6.0));
    }

   static double raiz(double x0){
        double x1;
        while(true){
            x1=(x0*x0*x0+149964.23)/23594.12;
            if(Math.abs(x1-x0)<0.001)   break;
            x0=x1;
        }
        return x0;
   }
}

Grabitatearen azelerazioaren nazioarteko formula (1967)

Grabitatearen azelerazioa itsasoaren mailan eta λ latitudeko toki batean, honako formularen bitartez kalkula daiteke:

g=9.780 318·(1+0.005 302 4·sin²λ-0.000 005 9· sin²2λ) m/s²

Formula horrek Lurraren errotazioa kontutan hartzen du, eta Lurra ez dela esfera perfektua, poloetatik zapalduago dagoela.

Itsasoaren mailatik gora desplazatzen bagara, h altueraraino, itsasoko mailako grabitatearen balioari honako zuzenketa egin behar zaio:

hemen g₀=9.832 m/s² grabitatearen azelerazioa da, itsasoaren mailan eta poloetan, eta R=6371 km, Lurraren batez besteko erradioa da, beraz:

Δg= 3.086·10^-6 ·h m/s²

Badaude beste zuzenketa zorrotzago batzuk ere tokiaren izaera kontutan hartzen dutenak, hau da, toki menditsua den ala laua den. Ikus bedi erreferentzietako laugarren artikuluaren (Nelson, 1981) 831 orrialdea.

Erreferentziak

Mohazzabi P, James M. Plumb line and the shape of the earth. Am. J. Phys. 68 (11) November 2000, pp. 1038-1041

Iona M. Why is g larger at the poles?. Am. J. Phys. 46 (8) August 1978, pp. 790-791.

Nelson R. A. Determination of the acceleration due to gravity with the Cenco-Behr free-fall apparatus. Am. J. Phys. 49 (9) September 1981, pp. 829-833