Zeruko gorputzen dinamika

Tunel zuzena Lurrean zehar

Gainazal horizontal batean zehar mugitzen

Orbita zirkularra Lurraren inguruan

Saiakuntza

Erreferentzia

Demagun tunel zuzen bat zulatzen dugula Lurra zeharkatuz, irudiak erakusten duena bezalakoa, alegia diametro batekiko paraleloa. Orri honetan aztertuko dugu nola mugitzen den partikula aske bat tunelean zehar, eta frogatuko dugu beste ertzeraino iristeko 42 minutu tardatzen dituela, tunelaren posizioa edozein izanda ere.

Ez dugu marruskadurarik kontutan hartuko, ezta Lurrak bere ardatzaren inguruan errotatzen duela, Lurra esfera perfektutzat hartuko dugu, dentsitate uniformeduna, eta tunela nahikoa estua dela kontsideratuko dugu, zeren planetari masa asko kenduz gero eremu grabitatorioa aldatuko bailitzateke.

Imajina dezagun tunela Euskal Herrian zulatzen dela antipodetaraino, alegia Zeelanda Berriraino eta Lurraren zentrotik pasatuz. Pertsona batek zulora salto egingo balu hemen Euskal Herrian, orduan beste muturrean agertuko litzateke 42 minuturen buruan, Lurraren zentroko beroa jasateko gai balitz.

Demagun tunel zuzena Bilbotik Madrilera zulatzen dela. Pertsona batek zulora salto egingo balu, beste muturrean agertuko litzateke 42 minutu beranduago, gutxi gora behera hegazkinak tardatzen duen denbora, eta hori aireportuko terminalean zain egon behar den tartea kontutan hartu gabe.

Lurrak sortutako eremu grabitatorioa

Elektromagnetismoko atalean, Eremu elektrikoari dagokion kapituluan, antzeko kasu bat aztertzen da, alegia, Kelvin-Thomson-en eredua hidrogeno-atomoarentzako edo elektroi bakarreko ioi hidrogenoide batentzako. Atomoa esferikoa da, R erradioa du eta Q karga positiboa dauka uniformeki sakabanatuta esfera osoan zehar.

Badira antzeko ezaugarriak Eremu grabitatorioa eta Eremu Elektrikoaren artean, eta diferentziak ere bai.

·        Eremu elektrikoa materiaren ezaugarri bati dagokio, kargari alegia. Karga-mota bi daude: positiboa eta negatiboa. Eta partikula kargatuen arteko indarrak erakarleak izan daitezke eta baita aldaratzaileak ere.

·        Eremu grabitatorioa materiaren beste ezaugarri bati dagokio: masari. Masa-mota bakarra dago eta partikulen arteko indarrak beti dira erakarleak.

M masadun esfera trinko batek sortutako eremu grabitatorioak eta Q kargadun esfera trinko batek sortutako eremu elektrikoak antzeko adierazpen matematikoak dituzte. Gauss-en legearen bitartez eremu grabitatorioak ere kalkula daitezke, adierazpen baliokideak erabiliko ditugu-eta.

Esfera batek M masa totala du, R erradioa eta masa-banaketa uniformea. Esfera horrek bere inguruko puntu batean (r>R) sortzen duen eremu grabitatorioa, masa puntual batek sortutakoaren berdina da, masa puntual horrek esfera osoaren masa bera balu eta bere zentroan kokatuta egongo balitz.

Aldiz, esfera horrek bere barruko puntu batean (r<R) sortzen duen eremu grabitatorioa, r erradiodun esfera trinkoak bere gainazalean sortutakoaren berdina da.

hortaz, barruko eremu grabitatorio hori masa puntual batek sortutakoaren berdina da, masa puntual horrek M r3/R3 masa balu eta bere zentroan kokatuta egongo balitz.

Masa-banaketa esferiko eta uniforme batek sortzen duen g eremu grabitatorio bektorea erradiala da eta esferaren zentrorantz apuntatzen du. Esferaren erradioa R bada eta masa totala M, orduan grabitatearen moduluak honakoa balio du:

Tunel zuzena Lurrean zehar

Tunelaren barruan m masadun partikula bat kokatzen bada, lurraren zentrotik r distantziara (r<R) hona hemen partikulak jasaten duen F indarra.

Izan ere, indar hori pisua da, eta bere osagaia x ardatzaren norabidean, F_x:

F_x indarra partikularen x posizioarekiko proportzionala da. Partikula horrek oreka egonkorreko posizio bat du (x=0) eta indarrak  partikularen desplazamenduaren aurkako noranzkoa du beti. Ondorioz, partikulak Higidura Harmoniko Sinplea (H.H.S.) deskribatuko du.

Hona hemen higiduraren ekuazioa:

Horra hor H.H.S.-aren ekuazio diferentziala. Eta bildutako konstantetik periodoa kalkula daiteke, P=2π/ω.

Partikulak Higidura harmoniko sinplea deskribatuko du, eta bere periodoa 84.3 minutukoa da, anplitudearen independentea.

Gainazal horizontal baten gainean mugitzen

Demagun gainazal horizontal bat (Lurraren gainazalarekiko tangentea) eta bere gainean m masadun partikula bat, irudiak erakusten duena bezalakoa.

Partikulak jasaten duen indarra hau da:

Indar horrek duen osagai horizontala, F_x= -F·sinθ= -F·x/r. Indar horrek oreka-posizioa du (x=0) eta desplazamenduaren aurkakoa da, baina ez da x desplazamenduarekiko zuzenki proportzionala, x/r³-rekiko proportzionala baizik.

Oraingoan higidura-ekuazioa hau da:

Partikularen x desplazamendua txikia bada edo θ angelua txikia bada, hurbilketa egin daiteke: r≈R. Kasu horretan partikulak Higidura Harmoniko Sinplea deskribatzen du, eta berriz ere bere periodoa 84.3 minutu ateratzen da, baina anplitude txikia izan behar du.

Pendulu sinplean bezalaxe, oszilazioen periodoa anplitudearekiko independentea da eta oreka-posiziotik "gutxi" desbideratzen bada, orduan periodoa konstantea da.

Orbita zirkularra Lurraren inguruan

m masadun partikula bat Lurraren inguruan r erradiodun orbita zirkularrean mugitzen ari denean,  higidura zirkularraren dinamika aplikatzen badugu, partikula horren v abiadura kalkula dezakegu.

Periodoa, bira oso bat ematen tardatzen duen denbora, hau da:

Periodoaren karratua ibilbide zirkularraren erradioaren kuboaren proportzionala da (Kepler-en hirugarren legea)

Demagun Lurra esfera perfektua dela, laua, eta ez daukala mendirik ezta atmosferarik ere partikulen mugimenduak frenatzeko. Bidal dezagun satelite artifizial bat justu Lurraren gainazaletik hurbil. Zein izango litzateke satelite horren orbitaren periodoa? Ba lehengo tunel zuzenean mugitzen den pertsonaren periodo bera.

Horixe da satelite batek Lurraren inguruan izan dezakeen periodo minimoa, justu lurraren gainazaletik mugitzen.

Satelite geoegonkorrak, komunikazioetarako erabilienak dira, eta 24 orduko periodoa dute, justu lurrarekin batera biratzen ari direlako (Lurraren abiadura angeluar bera), hortaz, Lurretik ikusita, "geldi" dirudite.

Satelite geoegonkorren orbitaren erradioa kalkula daiteke periodoaren formulan ordezkatuz, P=24·60·60=86400 s, eta erradioa bakanduz:

edo, 35880 km Lurraren gainazaletik gora.

Saiakuntza

Aukeran idatz daiteke:

• Tunelaren posizioa, alegia, Lurraren zentrotik tunel zuzenera dagoen distantzia, desplazamendu-barrari saguaz eragiten. Erreferentziatzat  Lurraren erradioa hartu da, beraz, posizioa 0 eta 1 bitarteko zenbakia da.

Hasi botoia sakatu.

Partikula bat erortzen uzten da tunelaren ertz batean eta mugitzen hasten da. Oszilazio harmonikoak burutzen ditu gora eta behera, eta egiazta daiteke periodoa 84 minutukoa dela, tunelaren posizioa edozein izanda ere.

Oszilazioen anplitudea justu tunelaren luzeraren erdia da.

Adibidea:

Har dezagun tunelaren posizioa y=0.6, alegia, Lurraren erradioa (R=6.37·10⁶ m) bider 0.6. Partikulak oszilazio harmonikoak gauzatuko ditu 48 minutuko periodoaz eta honako anplitudeaz: