Zeruko gorputzen dinamika

Marea-indarraren jatorria

Marea-indarraren osagaiak

Ur-mailaren altuera

Eguzkiak eta Ilargiak sortutako mareak

Oszilazio behartuak

Saiakuntza

Erreferentziak

Orri honetan mareen zergatia azalduko da. Ikusiko dugunez, oinarri fisikoak sinpleak dira baina kalkuluak eta emaitza kuantitatiboak lortzea oso konplexua da.

Ez dugu azalduko itsasoek jasaten dituzten efektu dinamiko guztiak, denborarekiko aldakorra den indar bat jasaten ari denean, baina marea-indarren jatorria eta ezaugarriak azalduko ditugu.

Hemen planteatuko dugun problema da, Lur osoa estaltzen duen ur-geruza aske batek zer nolako forma kurboa hartuko duen Eguzkiaren eta Ilargiaren indar grabitatorioak jasaten dituenean.

Marea-indarraren jatorria

Marea-indarren jatorria Lurraren zabalera da, eta horren eraginez bai Ilargiaren grabitatea eta baita Eguzkiarena ere ezberdinak dira lurraren alde batean eta bestean.

Demagun Lurra esfera dela, R erradioduna eta zurruna, eta inguruan ur-geruza aske bat duela, sakonera txikikoa baina konstantea. Demagun Ilargia ekuatorearen planoan dagoela eta Lurrari grabitatea eragiten diola.

Eguzkia eta Ilargia mugitzen ari dira baina has gaitezen oreka posizioa aztertzen, eta eman dezagun ura geldi dagoela Lurrarekiko, alegia, ur-elementu baten abiadura eta azelerazioa nuluak direla Lurrarekiko.

Har dezagun hasteko Ilargia bakarrik, gero Eguzkiaren efektua berdina izango da soilik zenbakizko datuak aldatuta. Azkenik, bien efektuak gainezarriko ditugu, alegia Eguzkia eta Ilargia biak batera.

Demagun Lurra eta Ilargia geldirik daudela eta euren zentroen arteko distantzia r dela. Defini dezagun Lurreko P puntu batean dagoen marea-indarra: Ilargiak P puntu horretan eragiten duen indarra ken Ilargiak Lurraren zentroan eragiten duen indarra. Konparazio hori egiteko, objektu bat ipini behar da P puntuan eta baita Lurraren zentroan ere.

Ezkerreko irudian adierazten dira Ilargiak eragiten dituen indarrak (gorriz) m masadun objektu bat kokatzen bada irudiko A, B eta C posizioetan, eta adierazten du baita ere, Ilargiak eragiten duen indarra objektu hori Lurraren zentroan kokatzen bada (urdinez). Eskumako irudian marea-indarrak adierazten dira, alegia puntu horretan dagoen indarra ken Lurraren zentroan dagoena (bektore gorria ken bektore urdina).

Lurraren zentroan erakarpen-indarra Ilargiaren zentrorantz doa:

• A posizioan Ilargiak eragiten duen indarra hau da:

Beraz A posizioko marea-indarra (f_A) hau da:

Adierazpen horretan hurbilketa egin da: R<<r, Lurraren erradioa oso txikia delako Lurretik Ilargirainoko distantziaren aldean (R=6.37·10⁶ m eta r=384.4·10⁶ m).

• B posizioan marea-indarra (f_B) hau da:

• C posizioan marea-indarra (f_C) hau da:

Baina φ angelua oso txikia da: tan φ=R/r, (R=6.37·10⁶ m eta r=384.4·10⁶ m) beraz φ=0.017 rad. Orduan cos φ≈1, eta sin φ≈tan φ=R/r

Marea-indarrak A eta B posizioetan ia berdinak dira, baina aurkako noranzkoak dituzte. C posizioan ordea, marea-indarraren modulua aurreko bi posizioetakoaren erdia da eta besteen norabidearekiko perpendikularra.

• Kalkula dezagun marea-indarra bitarteko posizio batean, esaterako P:

Ilargiak eragiten dion indarra P puntuan dagoen m masadun objektu bati:

Indar horrek Ilargiaren zentrorantz apuntatzen du.

Ba orduan P puntuko marea-indarra da, P puntuko indarra ken Lurraren zentroko indarra: f_P=F_P-F_T.

Izenda ditzagun posizio bektoreak: rP,Ilargiaren zentrotik P puntura doan bektorea. r,Ilargiaren zentrotik Lurraren zentrora doan bektorea. R, Lurraren zentrotik P puntura doan bektorea. Hona hemen hiruen arteko erlazioa: rP = r + R

Horixe da marea-indarraren adierazpen orokorra. Azter dezagun adierazpen hori r eta R-ren arteko biderketa eskalarraren arabera:

• Baldin θ=0, orduan r eta R bektoreek norabide eta noranzko bera dute. Lortutako marea indarra B puntukoa da, alegia f_B (ikusi lehen irudia).

• Baldin θ=π/2, orduan r eta R bektoreak perpendikularrak dira, beraz biderketa eskalarra nulua da. Lortutako marea indarra C puntukoa da, alegia f_C.

• Baldin θ=π, orduan r eta R bektoreek norabide bera dute baina aurkako noranzkoa. Lortutako marea indarra A puntukoa da, alegia f_A.

Irudiak erakusten duenez, Ilargiaren zentroa eta Lurraren zentroa lotzen dituen zuzenaren arabera, Lurra bi hemisferiotan erdibi daiteke, eta erdibitze horren arabera marea-indarra simetrikoa da, alegia ipar-hemisferioko marea-indarrak eta hego-hemisferioko marea-indarrak berdinak dira eta aurkako noranzkoa dute.

Marea-indarraren osagaiak

Marea-indarra deskonposa daiteke Lurraren gainazalaren bi norabideetan, alegia, osagai tangentziala (f_t) eta osagai erradiala (f_R). Osagai erradiala kalkulatzeko honako biderketa eskalarra egin daiteke:  f_P·R=f_R·R,

Osagai tangentziala kalkulatzeko honako biderketa bektoriala egin daiteke:  |f_PxR|=f_t·R  eta modulua kalkulatu:

• Osagai tangentziala nulua izateko, θ=0 (B puntua), θ=90º  (C puntua) edo θ=180º (A puntua).

• Osagai erradiala maximoa da kosinua ±1 denean: θ=0 (B puntua) eta θ=180º (A puntua) eta minimoa da kosinua nulua denean: θ=90º (C puntua).

Datuak

• Ilargiaren masa, M=7.35·10²² kg

• Lurraren zentrotik Ilargiaren zentrorainoko batezbesteko distantzia, r=384.4·10⁶ m

• Eguzkiaren masa, M=1.98·10³⁰ kg

• Lurraren zentrotik Eguzkiaren zentrorainoko batezbesteko distantzia, r=149.6·10⁹ m

• Lurraren erradioa, R=6.37·10⁶ m

• Konstantea, G=6.67·10^-11 Nm²/kg²

Ondoren erabiliko diren azpindizeak gaztelerazkoak dira, alegia, Lurra: T (Tierra), Eguzkia: S (Sol) eta Ilargia: L (Luna).

Lurrak eragiten dion erakarpena bere gainazalean kokatuta dagoen m masadun gorputz bati:

Eguzkia oso urruti dago Lurretik baina masa izugarria dauka Lurraren aldean. Ilargia aldiz, hurbil samar dago baina masa txikiagoa dauka. Eguzkiak Lurraren zentroan eragiten duen erakarpena Ilargiak egiten duena baino handiagoa da.

Bi indarren arteko zatiketak honakoa ematen du: F_S/F_L=1.78

Kalkula ditzagun marea-indarren balio maximoak (A edo B, θ=0), ikusi lehen irudia

• Ilargiak eragindako marea-indarra

• Eguzkiak eragindako marea-indarra

Bi indar horien arteko zatiketak honakoa ematen du: f_L/f_S=2.195

Zenbakiak ikusita, ondoriozta daiteke marea-indarrak txikiak direla Lurraren erakarpen-indarraren aldean (9.83·m) baina bere efektuak nabarmenak izan daitezke.

Eguzkiaren erakarpena Lurraren zentroan Ilargiarena baino handiagoa da, urrutiago dagoen arren. Aldiz, Ilargiak sortutako marea-indarra eguzkiarena baino handiagoa da.

Ur-mailaren altuera

Ondoren kalkulatuko dugu f_P marea-indarrari dagokion energia potentziala. Frogaketa osoa ez dugu hemen erakutsiko baina erreferentziak ataleko lehen artikuluan zehazki erakusten da.

Kontutan hartzen badira soilik Lurraren grabitatea eta bere errotazioa, ur-gainazalaren forma (S₀) biraketa-esferoide bat ateratzen da errotazio ardatzaren inguruan.

Izatez, errotazioari dagokion indar zentrifugoa konstantea da, alegia denborarekiko independentea. Bi indar horiei marea-indarra gehitu egin behar zaie.

Marea-indarraren eraginez S0 gainazala okertu egiten da eta gainazal berri bat sortzen da, S. Gainazal berri hori indar erresultantearekiko perpendikularra da, eta indar erresultantea kalkulatzeko kontutan izan behar dira grabitatea, indar zentrifugoa eta marea-indarra, eta denak P puntu berean.

Soilik marea-indarra kontutan izanda, eta Lurraren ur-kantitatea konstantea dela inposatuz, froga daiteke urak P puntuan igotzen duen h altuera, marea-indar erradialaren proportzionala dela:

Hemen M marea-indarraren sortzailearen masa da (Ilargia edo Eguzkia), M_T Lurraren masa da, 5.98·10²⁴ kg, R Lurraren erradioa eta r Lurraren zentrotik sortzailearen zentrorainoko distantzia.

Izatez, efektu hori beste bi indarren efektuari gehitu behar zaio, alegia altuera hori S₀ gainazalarekiko neurtuta dago.

Adierazpen hori da, orri honetako programa interaktiboek erabiltzen dutena. Bertan hartu da marea-sortzailea ekuatorearen plano berean dagoela eta bere zentrotik r distantziara.

Adierazpen hori aztertuz, ikusten da altuera maximoa lortzen dela (itsas gora) θ=0º edo θ=π denean (kosinua ±1 denean), alegia marea-sortzailea justu aurrean dagoenean edo justu atzean (lehen irudiko A eta B puntuak) marea-indarrak maximoak direlako.

Aldiz, altuera minimoa lortzen da (itsas behera) θ=π/2 (kosinua nulua denean, lehen irudiko C puntua). Gainera, adierazpen horretan ikusten da altuera maximoa justu altuera minimoaren bikoitza dela. Hortaz, altuera maximoaren eta altuera minimoaren arteko diferentzia:

Ilargiaren datuak ordezkatuz,

Eta Eguzkiarenak ordezkatuz:

Lurraren errotazioa

Marea-indarrek Lurrean duten eragina finkoa da, baina gainera Lurrak biratu egiten du bere ardatzaren inguruan. Bira oso bat ematen du 24 ordu eta 22 minututan.

Ur-maila latitudearen arabera

Har dezagun t=0 aldiunean XZ planoan daudela Lurraren gainazaleko P puntua eta marea-sortzailea (M, irudian gorriz). Ondoren, t aldiunean Lurrak biratu egin du eta P puntua desplazatu egin da P' posiziora.

Kalkula dezagun q  angelua latitudearen menpe eta denboraren menpe. Bektoreen arteko angeluak kalkulatzeko biderketa eskalarra erabil daiteke. θ angelua da Lurraren zentrotik P puntura doan bektorearen (R) eta Lurraren zentrotik marea-sortzailera doan bektorearen (r) arteko angelua. Bektoreok honela adierazten dira:

r=ri
R=Rcosλ·cos(ωt)·i+ Rcosλ·sin(ωt)·j+Rsinλ·k 

Bien arteko biderketa eskalarra:

r·R=R·rcosθ=R·rcosλcos(ωt)

cosθ=cosλ·cos(ωt)

Ur-maila latitudearen menpe eta deklinazio-angeluaren menpe

Marea-sortzailea ez badago ekuatorearen plano berean, angelu bat osatuko du plano horrekin. Angelu horri deklinazio-angelua deritzo eta irudian δ izena eman zaio.

Orduan r bektorea honela idazten da:

r=rcosδ·i+rsinδ·k

Eta biderketa eskalarra kalkula daiteke berriro:

r·R=R·rcosθ=R·rcosλ cos(ωt) cosδ+ Rrsinλ rsinδ

cosθ=cosλ cos(ωt) cosδ+sinλ rsinδ

Eta bukatzeko, P puntua hasieran ez badago justu XZ planoan (Greenwich meridianoa) eta, φ angeluko meridianoan badago, orduan θ angeluaren adierazpen orokorra honelakoa da:

cosθ=cosλ cos(ωt+φ) cosδ+sinλ rsinδ

Adierazpen orokor hori ordezkatzen bada ur-mailaren adierazpenean (cosθ) eta ondoko erlazio trigonometrikoak kontutan izanda (cos2β=2cos²β-1,sin²β+cos²β=1, sin2β =2sinβcosβ) orduan honako emaitza lortzen da:

• Hiru batugaietatik lehena ωt-ren menpe aldatzen da, harmonikoki, hau da, oszilazio-periodo bat osatzen du ωt=2π denean, alegia Lurrak bira bat osatzen duenean. Marea-mota hori egunerokoa da, Ilargiarena edo Eguzkiarena M eta r hartzen badira Ilargiarenak edo Eguzkiarenak, baina lurraren errotazio-abiadura dute oinarri.

Izan ere, Ekuatorean marea-mota hori nulua da, bertako latitudea nulua delako: λ=0. Baina handiagoak dira latitude handietan: λ=45º.

• Bigarren batugaia ere harmonikoki aldatzen da, baina 2ωt-ren menpe, beraz, 12 orduro errepikatzen da. Marea-mota horren anplitudea poloetan baliogabetzen da (λ=90º) eta maximoa da ekuatorean (λ=0º).
   

• Hirugarren batugaia konstantea da, alegia ez da denborarekin aldatzen, eta nulua da honako baldintza betetzen den latitudeetan: sin²λ=1/3, λ≈35º. Aldiz, maximoa da poloetan. Gainera deklinazio-angeluaren menpekoa ere bada (δ) beraz Eguzkiaren eta Ilargiaren mugimenduaren araberakoa.

Eguzkiak eta Ilargiak sortutako mareak

Ilargiaren efektua eta Eguzkiaren efektua biak konbinatuta kontsideratzen baditugu ur-mailaren altuera totala kalkulatzen da bien ur-mailen batura eginez:

Itsas goraren eta itsas beheraren arteko diferentziarik handiena hau da: 53.4+24.4=77.8 cm. Fenomeno hori gertatzen da Eguzkia eta Ilargia, biak, Lurrarekin lerrokatuta daudenean. Bestalde, koadratura posizioan daudenean (90º-tan), diferentzia minimoa lortzen da.

Oszilazio behartuak

Aurreko ataletan kalkulatu da Eguzkiak eta Ilargiak eragiten duten mareen efektua, eta suposatu da Lurraren gainazala sakonera konstantedun ur-geruza dela. Izatez, Lurra ez dago osorik urez inguratuta, bakarrik gainazalaren hiru laurdenak, kontinenteek beste laurdena osatzen dutelako, eta bere sakonera ez da konstantea aldakorra baizik. Lurraren gainazalean badaude ozeano handiak eta baita itsaso itxiak ere, Mediterraneoa kasu, laku handiak, badiak eta abar. Itsasgoraren eta itsasbeheraren altueren arteko diferentzia asko aldatzen da toki batetik bestera: esaterako Mediterraneoan oso txikia da eta aldiz, Kanadako Fundy badian oso handia da.

Erresonantzia

Lurraren errotazioaren eraginez, mareen fenomenoa periodikoa da, izatez behartutako oszilazioa, indar behartzailea ere oszilakorra delako 12 orduko periodoarekin eta anplitude aldakorra. Badia batek muga itxiak ditu eta bere formaren arabera, zabaleraren arabera eta sakoneraren arabera oszilazio-modu ezberdinak izango ditu. Zenbait tokitan erresonantzia-fenomenoak gertatzen dira, esaterako Bretainiako Mont St. Michel-en edo Kanadako Fundy badian 15 eta 20 metroko altuera-diferentziak sortzen dira itsasgora eta  itsasbeheraren artean.

Gorputzen errotazioan duen efektua

Mareen efektuak Lurraren errotazioa geldiarazten du. Izan ere, egun baten iraupena luzatuz doa eta mende batean 3.5 milisegundo luzatzen da.

Lurrak ere marea-efektua sortzen du Ilargian, (Ilargiak Lurrean sortzen duena baino 6000 bider handiagoa) eta efektu horren eraginez Ilargiaren errotazioa geldiarazten joan da mende luzeetan zehar, harik eta guztiz "gelditu" den arte, Ilargiak Lurrari aurpegi bera erakusten baitio etengabe. Ilargiaren translazioa eta errotazioa sinkronoak bilakatu dira milaka urtetan.

Eguzki sisteman badaude beste hainbat satelite sinkrono, alegia, bere planetaren inguruan duten translazioaren iraupena eta bere ardatzaren inguruan duten errotazioarena berdinak dira.

Esaterako Artizarra Eguzkitik oso hurbil dago eta Eguzkiaren eraginez errotazio-abiadura baxua dauka. Egun batek Artizarrean 243.16 egun lurtar irauten ditu eta urte batek bere egun bi.

Saiakuntza

Lurra-Ilargia bikotea edo Lurra-Eguzkia bikotea

Ondoren datozen hiru applet-etatik lehenengoan, marea-efektuak kalkulatzen dira Lurrean, Ilargiaren eraginez edo Eguzkiaren eraginez, baina bakoitza bere aldetik. Lurretik Ilargira eta baita Eguzkira dauden distantziak finkotzat hartu dira, biak ekuatorearen plano berean daudela eta Lurraren errotazioa ez da kontutan hartu.

• Ilargia botoia aktibatu.
• Berria botoia sakatu.

Indarrak laukia aktibatzen bada orduan Lurraren gainazaleko zenbait puntutan marea-indarren osagaiak erakusten dira, alegia osagai erradiala (gorriz) eta tangentziala (urdinez).

• Eguzkia botoia aktibatu.
• Berria botoia sakatu.

Bi kasuetan, Lurraren urezko gainazala hasieran esferikoa da eta marea-indarra aplikatzean okertu egiten da. Okertzea handituta irudikatu da bestela ez litzatekeelako igarriko.

Iruditik honako ondorioak atera daitezke:

1. Marea-indarraren balio maximoak bi dira: Ilargitik hurbilen dagoen puntuan (q =0º) eta Ilargitik urrutien dagoen puntuan (q =180º). Puntu horietan gorputzek "pisu gutxiago" dute eta horregatik ur-maila igotzen da.
2. Balio minimoak bitarteko posizioetan gertatzen dira (q =90º) eta (q =270º). Puntu horietan gorputzek "pisu gehiago" dute eta horregatik ur-maila jaisten da.
3. Eguzkiaren masa askoz handiagoa den arren distantzia ere askoz handiagoa da, eta horregatik Eguzkiaren marea-efektua Ilargiarena baino txikiagoa da (gutxi gora behera erdia).

Ilargiak Lurraren inguruan biratzen du eta aldi berean Lurrak bere ardatzaren inguruan

Bigarren applet-ean, marearen altuera aztertuko dugu denboran zehar, ekuatoreko puntu batean eta bi egoera ezberdinetan:

1. Lurra eta Ilargia finko daude, translaziorik gabe, baina Lurrak errotatu egiten du bere ardatzaren inguruan, egunero bira bat.
2. Lurrak errotatu egiten du bere ardatzaren inguruan, eta gainera Ilargiak orbita zirkularra burutzen du Lurraren inguruan, bira bat 27.32 egunetan.

• Hasteko, aktiba bedi soilik Lurra biraka
• Hasi botoia sakatu.

Ilargia geldirik balego, Lurraren errotazioaren eraginez, itsasgoran dagoen puntu bat (q =0º edo q =180º) sei ordu beranduago itsasbeheran egongo da (q =90º edo q =270º) eta horrela behin eta berriz. Beraz, ekuatoreko puntu batean egunero itsasgora bi eta itsasbehera bi gertatuko dira. Lurraren errotazioa soilik kontutan hartzen denean, Ilargiaren marea-indarrak honako periodoa du:  P₀=24/2=12 ordu.

• Ondoren, aktiba bedi Gorputz biak mugitzen
• Hasi botoia sakatu.

Lurraren errotazioaz gain, Ilargia ere Lurraren inguruan mugitzen dela kontutan izanik, marea-efektuan aldatzen den magnitude bakarra periodoa da, beste magnitude guztiek berdin irauten dute. Ilargiaren translazioa Lurraren errotazioaren aldekoa denez, periodo berria honakoa da:

Lurraren errotazioaren periodoa egun bat da eta aldiz, Ilargiaren orbitaren periodoa 27.32 egun.

Ilargiaren eta Eguzkiaren efektuak batera

Azken applet honetan aztertzen dira Ilargiak Lurrean sortutako marea eta Eguzkiak sortutakoa, bakoitza bere aldetik, eta ondoren, efektu biak elkartuta.

Hasteko, Ilargiaren efektua izeneko botoia aktiba bedi. Hasi botoia sakatzean Ilargiaren marea-efektua behatzen da, lehenagoko applet-ean aztertu den bezalaxe.

Ondoren, Eguzkiaren efektua izeneko botoia aktiba bedi. Hasi botoia sakatzean Eguzkiaren marea-efektua behatzen da. Hemen hartu da Lurrak orbita zirkularra burutzen duela Eguzkiaren inguruan 365 egunetan.

Beha daiteke Eguzkiaren marea-efektua Ilargiarena baino motelagoa dela (gutxi gora behera erdia) eta gainera eguzkiaren mareen periodoa ia zehazki 12 ordukoa dela, Lurraren posizioa Eguzkiarekiko oso gutxi aldatzen delako egun bakar batean. Eguzkiaren marean periodo-aldaketa txiki hori sumatzeko, alegia itsasgoraren edo itsasbeheraren ordu-aldaketa txikia sumatzeko, egun askotako tartea utzi behar zaio.

Efektu biak batera botoia aktibatuz bi efektuak batera ikusten dira. Ilargiaren efektua nagusia da, baina bien batura konplikatua da. Hala ere, ezaugarri bi behatzen dira:

Eguzkia eta Ilargia, biak Lurrarekiko lerrokatuta daudenean, marea-efektua oso handia da. Egoera horri marea "bizia" deritzo, eta Ilberrietan edo Ilbeteetan gertatzen da.

Eguzkia eta Ilargia koadraturan daudenean Lurrarekiko, alegia, Lurra eta Eguzkia lotzen dituen zuzenak 90º osatzen baditu Lurra eta Ilargia lotzen dituen zuzenarekin, orduan bi efektuak aurkakoak dira eta marea-efektu netoa motela da. Egoera horri marea "hila" deritzo eta Ilgoratan edo Ilbeheratan gertatzen da.

Hemen erakutsi den eredua oso sinplea da errealitatearen aldean, baina eredu honek mareen efektuak kualitatiboki ondo azaltzen ditu. Berez, Lurra ez da homogeneoa, ez da esfera perfektua eta bere errotazioaren eraginez grabitatearen azelerazioaren norabidea pixka bat aldatzen da latitudearekin, izan ere, grabitatea ekuatorean minimoa da eta poloetan maximoa. Ilargiaren orbita Lurraren inguruan eta Lurraren orbita Eguzkiaren inguruan ere ez dira zirkularrak, eszentrikotasun txikiko elipseak baizik.

Mediterraneo itsasoan mareen efektua ahula da, itsaso txikia eta itxia delako, baina ozeano handien ertzetan oso efektu nabarmenak eta ikusgarriak izan ohi dira.

Oharra: Irudian, hobeto ikusteko, Ilargiaren orbitaren tamaina erreala baino askoz handiagoa irudikatu da. Benetan, Ilargiaren orbitaren r erradioa zatitzen bada Lurraren orbitaren R erradioaz:  r/R=0.0026.