Zeruko gorputzen dinamika

Saiakuntza

Erreferentzia

Marea-indarrak gertatzen dira Lurrak zabalera duelako, eta Ilargiaren grabitatea edo Eguzkiaren grabitatea ez da berdina Lurraren hurbileko aldean zein urrutiko aldean.

Orri honetan aztertuko da Lurraren marea-indarrak sistema sinple bati eragiten dion efektua. Sistema sinple hori habe bat da, zurruna eta masa gabea, 2l luzeraduna eta muturretan masa puntual bana dauka, biak berdinak.

Deskribapena

Lurrak M masa eta R erradioa ditu. Lurretik hurbil habe bat dago, zurruna eta masa gabea, 2l luzeraduna eta muturretan masa puntual bana dauka, biak berdinak. Habearen zentrotik Lurraren zentroraino d distantzia dago. Habearen zentroa tinko lotuta dago eta beraren inguruan habeak oszila dezake irudiaren planoan.

Ertzetako bi masen posizioak Lurraren zentrotik honakoak dira:

Eta Lurrak eragiten dizkien indarrak honakoak dira:

Indar horien norabidea Lurraren zentrorantz da.

Bestalde, F₁ eta F₂ indar horien momentu netoa habearen zentroarekiko hau da:

M=F₁·l·sin(θ-α₁)-F₂·l·sin(θ+α₂)

Hirukian sinuaren teorema aplikatzen bada:

Orduan, habeak bere zentroaren inguruan duen higiduraren ekuazioa hau da:

Masa puntual bien inertzia-momentua habearen zentroarekiko hau da: I=2ml²

Hurbilketa

Demagun habearen luzera (2l) txikia dela lurretik habearen zentrorainoko d distantziaren aldean. Orduan:

hemen arbuiatu dira garapenaren terminoak l²/d² tik aurrera. Eta berdin egin daiteke bigarrenarentzat:

Hurbilketa horrekin, higidura-ekuazioa honela berridatz daiteke:

edota

Ekuazio hori pendulu sinplearen antzekoa da, baina penduluaren θ angeluaren ordez 2θ angelua agertzen da.

Penduluaren anplitudea txikia bada, beste hurbilketa bat ere egin daiteke: sin(2θ)≈(2θ). Eta orduan Higidura Harmoniko Sinplearen ekuazioa lortzen da bete-betean:

Soluzioaren periodoa:

Izan ere, periodo hori penduluaren l luzeraren independentea da. Horrek esan nahi du marea-indarrek tamaina txikiko sistemetan ere eragin berbera badutela.

Esaterako, pendulua kokatzen bada justu Lurraren gainazalean: d=6370 km, M=5.98·10²⁴ kg, G=6.67·10^-11 Nm²/kg²

Eta periodoak ematen du: P=2920.2 s=48.7 min

Saiakuntza

Aukeran idatz daitezke:

• Penduluaren luzera baina erlatiboa, Lurraren erradioa erreferentziatzat hartuta, hau da 2l/R erlazioa, desplazamendu-barrari saguaz eragiten.

• Lurraren zentrorainoko distantzia, hori ere erlatiboa, Lurraren erradioa erreferentziatzat hartuta, alegia d/R erlazioa, desplazamendu-barrari saguaz eragiten.

Hasi botoia sakatu.

Aukeratutako baldintzek ez badute betetzen d-l>R, orduan programa ez dabil, habeak lurraren gainazala jotzen duelako, eta orduan d/R distantzia handitu edo penduluaren 2l/R luzera txikitu behar dira.

Programa interaktiboak higiduraren ekuazio diferentziala ebazten du prozedura numerikoak erabiliz, izan ere Runge-Kutta prozedura. Eta hasierako baldintzak honakoak ezarri dira: t=0 aldiunean, θ=π/6, eta dθ/dt=0.

Leihatilaren goiko aldean programak idatziz ematen ditu uneoro t denbora, minututan, eta θ angelua gradutan.