Zeruko gorputzen dinamika

Energia potentziala

Presioa Lurraren zentroan

Inertzia-momentua

Tunel zuzena Lurrean zehar, justu zentrotik

Tunel zuzena Lurrean zehar, edozein posiziotan

Saiakuntza

Erreferentzia

Oso ezaguna da Lurraren dentsitatea aldakorra dela sakoneraren arabera (ikus bedi erreferentzian aipatutako artikulua). Zenbat eta sakonago Lurraren dentsitatea handiagoa da, eta izan ere, aldaketa bortitza dauka sakonera konkretu batean: r_c=3490 km edo r_c/R=0.548. Horregatik, Lurraren barrualdea bi eskualdetan banatu ohi da: nukleoa, r_c erradioduna, eta mantua, nukleoaren inguruko geruza esferikoa, r_c barne-erradioduna eta R kanpo-erradioduna (nukleoaren azpindizetzat "c" letra hartu da ingelesaren "core" = nukleo hitzagatik).

Horren ondorio nabarmenetako bat da, grabitatearen azelerazioa sakonerarekin handituz doala maximo batera iritsi arte, eta ondoren gutxituz doa. Hona hemen nola aldatzen den Lurraren dentsitatea sakoneraren menpe:

Beraz, Lurraren eredu honetan nukleoaren erradiotzat hartuko dugu r_c=3490 km eta bere dentsitate konstantea ρ_c=11.0 g/cm³, eta bestalde, mantuaren barne-erradioa r_c eta kanpo-erradioa R=6371 km, eta dentsitate konstantea ρ_m=4.437 g/cm³.

Lurraren batezbesteko dentsitatea, ρ=5.517 g/cm³ da eta aurreko bi dentsitateetatik ( ρ_c eta ρ_m) kalkula daiteke:

Grabitatea nola aldatzen den r distantziarekiko

Aurreko orri batean, “Grabitatearen azelerazioa” orrian, frogatu da esfera uniforme baten barruko P puntu batean dagoen grabitatea  (r<R) puntu horretatik behera dagoen esfera-zatiak sortzen duela soilik eta puntu horretatik gora dagoen esfera-zatiak ez duela grabitaterik sortzen puntu horretan. Hona hemen emaitza:

• Nukleoan dagoen puntu bateko grabitatea (r<r_c):

g=19.577(r/R)  m/s²

Nukleoko grabitatea, r distantziarekiko, zuzenki proportzionala da.

• Eta mantuan dagoen puntu bateko grabitatea (r_c<r<R):

g=1.920(R/r)² + 7.898(r/R)  m/s²

Mantuko grabitateak, r distantziarekiko, parabola baten profila du.

• Eta Lurretik kanpo dagoen puntu bateko grabitatea (r>R):

g=9.82(R/r)² m/s²

Ikus bedi "Grabitatearen azelerazioa" kapitulua.

Ondorengo irudiak erakusten du, gorriz g grabitatearen azelerazioa r/R erlazioarekiko. Urdinez irudikatutakoa da, Lurraren barneko grabitatea baina Lurra homogeneotzat hartuta, alegia dentsitate konstanteduna balitz.

Nukleoan, grabitatearen azelerazioa linealki hazi egiten da r distantziarekin (r<r_c). Ondoren, mantuan, ez da asko aldatzen, hasieran pixka bat gutxitzen da eta ondoren berriz ere hazi. Azpiko irudiak zehazkiago erakusten du eskualde hori:

Kalkula dezagun zein den grabitateak duen balio minimoa mantuan, g-ren adierazpena deribatuz r-rekiko, eta zero dela inposatuz:

Mantuko grabitatearen batezbesteko balioa (lerro zuzen eta urdina), gutxi gora behera, honela kalkula daiteke:

Energia potentziala

Lurrak edozein partikula bere zentrorantz erakartzen du honako indarraz: F=mg. Indar horren norabidea erradiala da eta, indar kontserbakorra denez, energia potentziala dagokio:

Har dezagun energia potentzialaren jatorria (zero maila) infinituan: E_p(∞)=0

• Partikularen energia potentziala Lurretik kanpo, r>R

Eskualde horretan (r>R) indar grabitatorioaren adierazpena hau da:

Hortaz, energia potentzialaren adierazpena honela lortzen da:

• Partikularen energia potentziala Lurraren barrualdeko mantuan, r_c<r<R

Eskualde horretan indar grabitatorioaren adierazpena hau da:

Hortaz, energia potentzialaren adierazpena honela lortzen da:

Adierazpen hori lortzeko erabili da batezbesteko dentsitatea (ρ) eta nukleoko (ρ_c) eta mantuko (ρ_m) dentsitateen arteko erlazioa:

• Partikularen energia potentziala Lurraren barrualdeko nukleoan, 0<r<r_c

Eskualde horretan indar grabitatorioaren adierazpena hau da:

Hortaz, energia potentzialaren adierazpena honela lortzen da:

Ondoko grafikoak erakusten ditu (gorriz) lortutako energia potentzialaren adierazpenak eskualde guztietan (nukleoan, mantuan eta Lurretik kanpo) zentrorainoko r distantziaren menpe baina Lurraren erradioa erreferentziatzat hartuta, alegia r/R erlazioaren menpe. Ondoan erakusten da (urdinez) energia potentziala baina Lurra homogeneotzat hartuta.

Energiaren kontserbazioaren printzipioaren arabera:

Ezagutzen bada partikularen hasierako posizioa (r₀) eta hasierako abiadura (v₀) ekuazio horren bidez kalkula daiteke partikularen abiadura (v) beste edozein posiziotan (r).

Grafikoari erreparatuz, Lur homogeneoaren energia potentziala (urdina) handiagoa da bi dentsitateko ereduaren energia potentziala baino (gorria). Beraz, Lurrean zeharreko tunel batean partikula bat erortzen uzten bada, Lurraren zentroraino iristen den unean, partikula horrek abiadura handiagoa izango du bi dentsitateko ereduan, Lur homogeneoko ereduan baino, energia potentzial gutxiago duelako.

Presioa Lurraren zentroan

Hona hemen hidrostatikaren oinarrizko ekuazioa:

"Grabitatearen azelerazioa" izeneko orrian dagoeneko kalkulatu da presioa Lurraren zentroan baina Lurra homogeneotzat hartuta eta, beraz, batezbesteko dentsitatea erabiliaz. Oraingo eredu honekin (bi dentsitate ezberdineko nukleoa eta mantua), presioa berriro kalkulatzen bada, honako adierazpen hau lortzen da:

hemen p₀=1.013·10⁵ Pa presio atmosferikoa da, hain zuzen r=R posizioko presioa. Lurraren zentroko presioak emaitza hau ematen du:

p=3.29·10¹¹ Pa

Ia Lur homogeneoaren kasuko bikoitza.

Hurbilketa

Mantuko grabitatea konstantetzat hartzen bada (eta batezbesteko balioa hartu, g_m), orduan Lurraren zentroko presioaren adierazpena askoz sinpleagoa geratzen da eta errazago integratzen da:

p=3.28·10¹¹ Pa

Ia hurbilketarik gabekoaren berdina.

Inertzia-momentua

Lurraren inertzia-momentua garrantzi handiko parametroa da Lurraren errotazioa aztertzen denean.

Har dezagun R erradiodun eta M masadun esfera uniforme bat, eta zatika dezagun geruza esferiko eta hutsetan (urdinak). Geruza horien erradioari dei diezaiogun x eta geruzaren lodierari dx. Geruza huts bakoitza zatika dezagun eraztunetan (horiak), erradio aldakorrekoak r=x·sinθ , lodiera x·dθ eta zabalera dx. Eraztun horren masa hau da: dm=ρ·(2πxsinθ)·(x·dθ)·dx.

Eta eraztun horren inertzia-momentua Z ardatz bertikalarekiko:

(xsinθ)²·dm

Eraztunen inertzia-momentua integratzen badugu θ angeluarekiko, geruza esferiko hutsaren inertzia-momentua lortuko dugu, baita Z ardatz bertikalarekiko:

Eta gero, geruza esferikoen inertzia-momentua integratzen badugu x erradioarekiko esfera trinkoaren inertzia-momentua lortuko dugu, beti ere ardatz berarekiko. Integratzen bada 0 eta r_c bitartean, nukleoaren inertzia-momentua lortuko dugu:

Eta mantuaren inertzia-momentua lortzeko, r_c eta R bitartean integratu behar da:

Eta Lur osoaren inertzia-momentua lortzeko, batu ditzagun nukleoarena eta mantuarena:

I=I_c+I_m=9.543·10³⁶+7.412·10³⁷=8.366·10³⁷ kgm²=0.345·MR²

Beti ere, Z ardatzarekiko. M eta R-ren zenbakizko balioak dira: M=5.98·10²⁴ kg Lurraren masa eta R=6.371·10⁶ m Lurraren erradioa.

Orokorrean, esfera homogeneo baten inertzia-momentua hau da: I=2MR²/5=0.40MR²

Tunel zuzena Lurrean zehar, justu zentrotik

Demagun tunel zuzen bat zulatzen dugula Lurra zeharkatuz, irudiak erakusten duena bezalakoa, alegia justu zentrotik pasatzen. Azter dezagun nola mugitzen den partikula aske bat tunelean zehar, kontutan izanda Lurrak nukleoa eta mantua dituela, eta kalkula dezagun oszilazio bat osatzeko tardatzen duen denbora.

Lurrak edozein partikula erakartzen du bere zentrorantz, mg indarraz. Partikularen masa m da eta g partikularen azelerazioa.

• Partikula horren higidura-ekuazioa hau da, Lurraren mantuan dagoenean (r_c<x<R):

Demagun partikula hori x=R posiziotik abiatzen dela eta pausagunetik dx/dt=0. Mantu osoa zeharkatu eta nukleoraino iristean, x=r_c . Kalkula dezagun zenbat denbora tardatzen duen (t_m) eta zein abiaduraz iristen den (v_m).

Abiadura kalkulatzeko, orokorrean, energiaren kontserbazioa aplika daiteke bi punturen artean: hasierako posizioan r=R eta pausagunean dago, eta amaierako posizioan r (edozein, baina mantuaren barruan) eta v abiadura:

Bereziki, mantuaren mugara iristen denean, r=r_c

Adierazpen hori sinplifikatzeko, batezbesteko dentsitatearen erlazioa erabili da:

Hona hemen zenbakizko datuak:

• G=6.67·10^-11 N·m²/kg²,

• Nukleoaren dentsitatea, ρ_c=11000 kg/m³,

• Mantuaren dentsitatea, ρ_m=4437 kg/m³,

• Nukleoaren erradioa, r_c=3.490·10⁶ m

• Lurraren erradioa, R=6.371·10⁶ m

Beraz, partikularen abiadura nukleora iristen den unean: v_m=7444.3 m/s

Denbora kalkulatzeko ezin da energien kontserbazioa erabili, aitzitik, ekuazio diferentziala ebatzi behar da, bigarren ordenakoa x-en menpe eta ez lineala, beraz, prozedura numerikoez ebatzi behar da.

• Nukleoaren barruan ekuazio diferentziala sinpleagoa da:

Ekuazio hori higidura harmoniko sinplearena da, eta maiztasun angeluarra:

ω=0.00175 rad/s

Ekuazio diferentzialaren soluzio osoa honela idatz daiteke:

x=Asin(ωt)+Bcos(ωt)
dx/dt=Aωcos(ωt)-Bωsin(ωt)

Eta A eta B koefizienteak hasierako baldintzetatik kalkulatu:

Esaterako, hasierako aldiuneari dei diezaiogun t=0, x=r_c, dx/dt=-v_m.

Orduan:

Eta Lurraren zentrora tardatzen duen denbora (x=0 inposatu eta t bakandu):

Partikula Lurraren zentrora iristen denean honako abiadura du:

    

Aurreko adierazpen hori lortzeko (t bakandu eta v berridatzi) honako erlazio trigonometriko orokorrak erabili dira:

Lurraren zenbakizko datuak ordezkatuz: t_c=392.4 s, eta v=9635.9 m/s

Partikulak Lurraren zentroan duen abiadura hori lortu daiteke ere, energiaren kontserbazioa aplikatuz. Partikula pausagunetik abiatzen da Lurraren gainazaletik (r=R) eta nukleoaren barruko puntu batera iristen denean (zentrotik r distantziara, baina r<r_c), orduan v abiadura izango du:

Eta Lurraren zentrora iristen den aldiuneko abiadura, r=0 ordezkatuz lortzen da:

Lurraren zenbakizko datuak ordezkatuz: v=9635.9 m/s.

Lur homogeneoaren ereduan, abiadura hori 7913 m/s-koa da, beraz txikiagoa.

t_m+t_c denbora-tartean oszilazio oso baten laurdena burutzen da. Hortaz, oszilazioen periodoa hau da: P=4(t_c+t_m)

Partikulak mantuan zehar duen higiduraren hurbilketa

Partikulak mantuan zehar duen higidura ez da sinplea, baina sinplifika dezakegu grabitatea konstantetzat hartzen badugu, eta zehazki, batezbesteko grabitatea, g_m.

Orduan partikularen azelerazioa mantuan zehar konstantea da, higidura zuzen eta uniformeki azeleratua:

Eta nukleoaren mugara iristean, x=r_c  , t= t_m aldiunean, eta bere abiadura, -v_m.

Badakigu, gorago kalkulatu dugulako, mantuaren batezbesteko grabitatea g_m=9.57 m/s² dela, beraz partikularen abiadura nukleoaren mugara iristen denean: v_m=7424.5 m/s. Emaitza hori, lehen, energiaren kontserbazioaz kalkulatutako emaitzaren antzekoa da (7444.3m/s). Ekuazio diferentziala prozedura numerikoez ebatzita ere antzeko emaitza lortzen da.

• Partikulak mantua zeharkatzeko tardatzen duen denbora: t_m=775.9 s

• Eta nukleoaren mugatik Lurraren zentrora tardatzen duen denbora: t_c=393.2 s

Lurraren zentrotik pasa ondoren ere Higidura harmoniko Sinplea segitzen du, berriz ere, mantura iristen den arte: x=-r_c, eta bere abiadura –v_m. Mantua zeharkatzen ari den bitartean moteltzen segitzen du eta Lurraren gainazaleraino iristen denean (x= -R) berriz ere pausagunean geratzen da. Une horretan, justu oszilazio erdia osatu du: periodoa P=4(t_c+t_m)=4676.4 s=77.9 min, Lur homogeneoaz baino bizkorrago.

Tunel zuzena Lurrean zehar, edozein posiziotan

Demagun tunel zuzena zulatzen dugula Lurrean zehar, baina ez dela zentrotik pasatzen, zentrotik d distantziara baizik. Partikulak jasaten duen indar erresultantea hau da: mg·cosθ=mg·x/r (urdina). Hemen r da, partikula dagoen tokitik Lurraren zentroraino dagoen distantzia, eta r2=x2+d2.

• Partikularen higidura-ekuazioa mantuan:

Ekuazio diferentzial hori bigarren ordenakoa da x-en menpe, eta ez da lineala, beraz prozedura numerikoez ebatzi behar da, edo hurbilketak eginez. Hasierako posizioa hasierako abiadura dx/dt=0, eta amaiera, nukleoaren mugara iristean . Nukleoan sartzen den t_m aldiunean (mantutik irteten da) -v_m, abiadura du.

Ekuazio diferentziala ebatzi gabe, badago beste metodo bat v_m abiadura kalkulatzeko: izan ere, energiaren kontserbazioa. Lehen (d=0 kasuan), lortu den emaitza bera lortzen da orain ere, hasierako posizioa bera delako (r=R), pausagunetik ere abiatzen delako eta amaierako posizioa ere berdina delako (r=r_c). Beraz v_m abiadura orain ere v_m=7444.3 m/s.

• Partikula nukleoaren barruan mugitzen ari denean, honako higidura-ekuazioa du:

Ekuazio hori sinpleagoa da, izan ere Higidura Harmoniko Sinplearena da, eta maiztasuna lehengo kasuko bera:

Ekuazio diferentzial horren soluzioa:

x=Asin(ωt)+Bcos(ωt)
dx/dt=Aωcos(ωt)-Bωsin(ωt)

A eta B koefizienteak hasierako baldintzetatik kalkulatzen dira.

Esaterako deitzen badiogu hasierako aldiuneari t=0, , dx/dt=-v_m.

Orduan:

Eta oreka posiziora (x=0) iristeko tardatzen duen denbora:

Partikulak nukleoaren barruan tardatzen duen denbora (4·t_c) gutxitu egiten da d distantzia handitu ahala.

Energiaren kontserbazioa aplikatuz, kalkula daiteke zein abiaduraz iristen den partikula oreka-posizioraino (x=0). Partikula pausagunetik abiatzen da r=R posiziotik eta iristen da r=d posizioraino:

Esaterako  d=0.2R=1.274·10⁶ m, v=9373.4 m/s

Oreka posiziotik pasa ondoren ere Higidura harmoniko Sinplea segitzen du, berriz ere, mantura iristen den arte: , eta bere abiadura –v_m. Mantua zeharkatzen ari den bitartean moteltzen segitzen du eta Lurraren gainazaleraino iristen denean () berriz ere pausagunean geratzen da. Une horretan, justu oszilazio erdia osatu du: periodoa P=4(t_c+t_m).

Hurbilketa

Mantuan grabitatearen azelerazioa ez da sinplea, baina konstantetzat hartzen badugu, eta zehazki, batezbesteko grabitatea, g_m, orduan partikulak jasaten duen indarra hau da: g_m·x/r . Indar hori ez da konstantea eta honako ekuazio diferentziala geratzen da:

Ekuazio diferentzial hori, x-en menpeko bigarren ordenakoa, ez da lineala eta beraz prozedura numerikoez ebatzi beharko da.

Kasu berezia d>r_c

Kasu honetan partikula ez da nukleoan sartzen, eta mantuan zehar mugitzen da soilik. Partikularen higidura-ekuazioa:

Ekuazio diferentzial hori ere, x-en menpeko bigarren ordenakoa, ez da lineala eta beraz prozedura numerikoez ebatzi beharko da. Hasierako posizioa eta hasierako abiadura nulua dx/dt=0, oreka posiziora (x=0) iristen da, t_m aldiunean eta v_m abiaduraz. higiduraren periodoa P=4·t_m.

Ekuazio diferentziala ebatzi gabe, badago beste metodo bat v_m abiadura kalkulatzeko: izan ere energiaren kontserbazioa. Hasierako posizioa (r=R) eta pausagunean abiatzen da, eta amaierako posizioa mantuaren barruan (r=d).

Adierazpen hori sinplifikatzeko batezbesteko dentsitatearen adierazpena erabili da:

Esaterako, d=0.6R=3.823·10⁶ m, v=6965.3 m/s

Saiakuntza

Aukeran idatz daiteke:

Tuneletik Lurraren zentrorainoko distantzia, d, desplazamendu-barrari saguaz eragiten.

Partikula tunelaren sarreran askatzen da eta mugitzen hasten da. Bektore urdin batek adierazten du, Lurraren erakarpenaren osagaia tunelaren norabidean.

Leihatilaren eskumako aldean Energia potentzialaren grafikoa adierazten da (gorriz), Ep(r), bai mantuan zein nukleoan: Zuzen horizontal beltz batek hasierako energia adierazten du, alegia, energia totala, eta negatiboa da (AB zuzenkiaren luzera). Energia potentziala AC distantzia da. Energia zinetikoa da, energia totala ken energia potentziala beraz BC distantzia. Energia potentzialaren kurbak puntu batean duen malda indarra da (zeinua aldatuta), alegia Lurrak partikulari puntu horretan eragiten dion erakarpena (pisua). Bektore urdin eta horizontal batek kurbaren gainean indar hori adierazten du.

Programak idatziz ematen ditu uneoro honako datuak:

• Denbora t, minututan
• Partikularen posizioa tunelaren barruan (x/R), Lurraren erradioa erreferentziatzat hartuta.
• Partikularen v abiadura, m/s-tan.

Lurraren barrualdearen zenbakizko datuak honakoak dira:

• G=6.67·10^-11 N·m²/kg²,

• Nukleoaren dentsitatea, ρ_c=11000 kg/m³,

• Mantuaren dentsitatea, ρ_m=4437 kg/m³,

• Nukleoaren erradioa, r_c=3.490·10⁶ m

• Lurraren erradioa, R=6.371·10⁶ m