Zeruko gorputzen dinamika

G neurtzeko beste metodo bat

Erreferentziak

Orri honetan esperimentu bi erakusten dira Grabitazio Unibertsalaren G konstantea neurtzeko, eta simulazio bana dago esperimentu bakoitzarekin. Lehena, Cavendish-en esperimentua, oso ezaguna da eta ohikoa testuliburu gehienetan, baina bigarrena ez da hain ezaguna.

Cavendish-en esperimentua

Lurraren masa kalkulatzeko, grabitazioaren G konstantea beharrezkoa da:

m masadun partikula bati esfera batek eragiten dion erakarpen indarra (F) eta partikula batek eragiten diona berdinak dira, partikularen masa eta esferarenak berdinak badira (M) eta partikula esferaren zentroan kokatzen bada, esferaren R erradioak ez du inolako eraginik.

m masadun partikula hori Lurraren gainazalean kokatzen bada (r=R) eta Newton-en bigarren legea aplikatzen bazaio:

Orduan, Lurraren masa kalkulatzeko, bere erradioa ezagutu behar da (R) eta grabitatearen azelerazioa bere gainazalean ere bai (g). Grabitatearen azelerazioa kalkula daiteke hainbat esperimenturen bidez, esaterako, gorputz bat h altueratik erortzen utzita eta t denbora neurtuz: h=gt²/2.

Grabitatearen azelerazioa ateratzen bada g=9.8 m/s² eta Lurraren erradioa ezagutzen bada, R =6.37·10⁶ m, orduan, Lurraren masa kalkulatzen da:

Ondoren, Lurraren batezbesteko dentsitatea ere kalkula daiteke, bere M masa zatitzen bada bere bolumen osoaz, R erradiodun esfera dela suposatuz:

ρ=5506.5 kg/m³=5.5 g/cm³.

Orain arte ez dugu aipatu, baina kalkulu horretan erabili den konstantea, G, grabitazio unibertsalarena, nola edo hala ere aurretik neurtu beharko da. Metodo ezagunena Cavendish-en tortsio-balantzarena da.

Tortsio-balantza oso tresna sentikorra da, masen arteko erakarpena neurtzeko gai da eta, horrela, G konstantea kalkula daiteke.

Tortsio-penduluak hari bat du erdian baina hariaren bihurritze- (edo tortsio-)konstantea ezezaguna da eta kalkulatu behar da: K ≈ 10-8 N·m. (zenbat indar aplikatu behar zaion hariari angelu jakin bat bihurritzeko). Harian horizontalki eskegita haga bat dago, zentroan lotuta, eta haga horrek muturretan esfera bana du (irudian gorriak). Esferon masak m=20 gr-koak dira, eta 7.5 mm-ko erradioak. Esferak hagaren zentrotik d=50 mm-ko distantziara daude.

Esfera txikiez gain beste esfera bi daude, baina finkoak dira (irudian urdinak) M=1.5 kg-ko masak dituzte eta 32 mm-ko erradioa, eta esfera gorriak erakartzen dituzte.

Esfera urdinek esfera gorriak erakartzen dituzte, baina tortsio-hariak eutsi egiten die, eta horregatik hagak oszilatu egiten du, malguki batek bezala. Erakarpen-indarra oso txikia denez, oszilazioen periodoa oso luzea da, 10 minutu ingurukoa.

Esfera urdinak irudian bezala kokatzen badira (ezkerrekoa goian eta eskumakoa behean), esfera gorriek oreka-posizio bat dute, eta esfera urdinak alderantziz kokatzen badira (ezkerrekoa behean eta eskumakoa goian), esfera gorriek beste oreka-posizio ezberdin bat dute, erakarpenaren eraginez. Posizio bi horiek neurtzeko, harian ispilu bat kokatzen da eta laser batekin neurtzen da hariak zenbat biratu duen: laserraren argia islatu ondoren ispilutik urruti behatzen bada, erregela graduatu batean laserraren posizio-aldaketak neur daitezke.

Hasierako oreka-posizioa

Hasieran esfera urdinak horrela kokatzen dira eta penduluak –α/2 angelua biratzen du (erlojuaren orratzen alde, erakarpenaren eraginez). Laserraren argiak osatzen duen angelua α da, eraso eta islatutako izpien artean. Erregelan oreka-posizio hori markatzen da x0=0.

Penduluaren oszilazioak

Hasierako oreka-posizioa neurtu ondoren, esfera urdin biak justu aurkako aldera eramaten dira (ezkerrekoa gora eta eskumakoa behera), eta pendulua oszilatzen hasten da oreka-posizio berriaren inguruan. Oreka-posizio berri hori erlojuaren orratzen aurka biratuta dago eta oszilazioen periodoa hau da:

hemen 2md² hagaren inertzia-momentua da, alegia bi esfera gorriena, hagaren masa arbuiagarria baita. K hariaren tortsiozko berreskuratze-konstantea da, eta periodoa neurtuz kalkula daiteke.

Goiko irudiak erakusten duen bezala, oszilazioen P periodoa neur daiteke, esaterako, maximo biren arteko denbora-tartea.

Oszilazioen indargetze-konstantea txikia da, eta horregatik penduluak hainbat alditan oszilatzen du oreka-posiziora iritsi aurretik.

Amaierako oreka-posizioa

Esfera handiek esfera txikiei eragiten dieten erakarpen-indarra hau da:

Eta indar horien "momentuak" biraketa-ardatzarekiko, alegia tortsio-hariarekiko, pendulua birarazi egiten du α/2 angelua. Laserraren argiak osatzen duen angelua α da, eraso eta islatutako izpien artean. Erregelan oreka-posizio hori markatzen da: x_f.

2Fd=Kα/2

Laserraren argiaren posizioa erregelaren gainean, x_f , ispilutik L distantziara neurtzen bada:

α angelua txikia delako:

Eta ekuazio horretatik G konstantea bakan daiteke:

Adibidea:

• Demagun penduluak oszilatzen duela honako periodoaz (maximo biren arteko denbora-tartea x-t grafikoan), P=10.8 min=648 s.

• Amaierako oreka-posizioa, erregelan neurtuta, x_f=17.3 cm.

• Tortsio-harian itsatsita dagoen ispilutik erregelaraino dagoen distantzia: L=4.425 m.

• Esfera handiaren masa, M=1.5 kg.

• Esfera handiaren zentrotik esfera txikien zentroraino dagoen distantzia oreka-posizioetan: b=0.047 m.

• Esfera txikien zentrotik errotazio-ardatzeraino dagoen distantzia: d=0.05 m.

Datu guzti horiek goiko ekuazioan ordezkatuz:

Saiakuntza

Programa interaktiboak, zorizko zenbaki bat asmatuz, tortsio-hariaren K konstantea erabakitzen du tarte logiko baten barnean.

Berria botoia sakatu.

Tortsio-pendulua hasierako oreka-posizioan kokatzen da: horri deitzen dio "zero" posizioa.

Hasi botoia sakatu.

Esfera handiak lekuz aldatzen dira, justu aurkakora, eta tortsio-pendulua oszilatzen hasten da oreka-posizio berriaren bila. Zenbait minuturen buruan bertan geldituko da.

Neur bedi oszilazioen P periodoa, hariaren tortsio-konstantea kalkulatzeko, eta argiaren amaierako oreka-posizioa: x_f .

Gainontzeko datuak finkoak direnez (b,d,M,L), bi datu horiekin grabitazio unibertsalaren G konstantea kalkulatzen da.

G neurtzeko beste metodo bat

Partikula batek (irudian M masadun partikula beltzak) higidura zirkularra deskribatzen du R erradioaz eta w abiadura angeluar konstanteaz. Bere ondoan, l luzeradun hari batean eskegita dago m masa bat (gorria) eta hasieran oreka-posizioan dago, zentroan alegia. Partikula bien arteko erakarpenak eragiten du m masa mugitzen hastea, espiral baten antzeko ibilbideaz, baina zenbait baldintza bete behar dira.

m masadun partikulak hiru indar jasaten ditu:

F₁ indar berreskuratzailea, pendulua bere oreka-posiziotik ateratzen denean θ angelu txiki bat. Izan ere, indar hori pisuaren osagai tangentziala da, eskumako irudiak erakusten duena, eta hona bere balioa: mg·sinθ.  Angelua txikia bada (θ) indar hori honela adieraz daiteke:

F₁≈ mg·sinθ=mgr/l

Beheko irudian ikus daitezke indar horren bi osagai horizontalak (x eta y):

F_1x= -F₁·x/r= -mgx/l
F_1y= -F₁·y/r= -mgy/l

F₂ erakarpen-indarra eta M masadun partikulak eragiten diona. Hona hemen bere modulua:

Indar horren osagai horizontalak hauek dira:

Eta orduan, m masadun partikularen higiduraren ekuazioak:

ma_x=F_1x+F_2x
ma_y=F_1y+F_2y

Suposatzen bada pendulua gutxi desplazatzen dela bere oreka-posizioarekiko (r<<R) orduan F₂ indarraren osagai horizontalak (F_2x eta F_2y) honela adieraz daitezke modu hurbilduan:

Eta higiduraren ekuazioak idatz daitezke ekuazio diferentzial gisa:

edota parentesiak berridatziz:

Ekuazio diferentzial bi horiek bigarren ordenakoak dira eta ebatz daitezke hasierako baldintzak ezarrita: t=0, x=0, y=0, dx/dt=0, dy/dt=0, alegia, m masadun partikula hasieran ardatz koordenatuen jatorrian dago eta pausagunean.

• Lehen ekuazio diferentzialaren soluzioa

Ekuazio diferentzial horren soluzio partikular bat hau da: x₁=K·cosωt

Soluzio hori ekuazio diferentzialean bertan ordezkatzen bada, K konstantea lor daiteke:

Eta ekuazio diferentzialaren soluzio orokorra honelakoa da:

x=x₁+A·sinω₀t+B·cosω₀t

A eta B konstanteak hasierako baldintzetatik kalkula daitezke: t=0, x=0, dx/dt=0. Eta, 

• Bigarren ekuazio diferentzialaren soluzioa

Bigaren ekuazio diferentzialaren soluzio partikular bat hau da: y₁=K·sinωt

Soluzio hori ekuazio diferentzialean bertan ordezkatzen bada, K konstantea lor daiteke:

Eta ekuazio diferentzialaren soluzio orokorra honelakoa da:

y=y₁+A·sinω₀t+ B·cosω₀t

A eta B konstanteak hasierako baldintzetatik kalkula daitezke: t=0, x=0, dx/dt=0. Eta,

Kasu berezia

Baldin ω≈ω₀ orduan, lehen ekuazio diferentzialaren soluzioa berridatz daiteke:

Eta lehen ekuazio diferentzialaren soluzio orokorra honelakoa geratzen da:

Bigarren ekuazio diferentzialaren soluzioa ere berridatz daiteke:

Eta bigarren ekuazio diferentzialaren soluzio orokorra honela geratzen da:

m masadun partikularen r distantzia ardatz koordenatuen jatorrira.

Ikusten denez, r distantzia handituz doa t denborarekiko, alegia, partikulak, jatorritik abiatuz, espiral bat deskribatzen du, baina proportzionaltasun konstantea oso txikia denez, denbora asko behar du zertxobait urruntzeko.

Orain esperimentu bat diseina dezakegu dugu esaterako w₀ neurtzeko, eta:

baina abiadura angeluar hori eta M masadun partikularen w abiadura angeluarra oso antzekoak izan behar dira.

Saiakuntza

Aukeran idatz daitezke:

• Biraka ari den M masadun partikularen masa, kg-tan, dagokion laukian idatziz.
• Kanpoko partikula horrek deskribatzen duen zirkuluaren R erradioa. Programa honek bakarrik onartzen ditu 5 eta 10 cm bitarteko erradioak.
• Biraka ari den partikularen abiadura angeluarra, ω, rad/s-tan dagokion laukian idatziz.
• Penduluaren luzera finkotzat hartu da: l=1.2 m.

Berria botoia sakatu eta ondoren Hasi botoia.

M masadun partikula biraka hasten da ardatz koordenatuen jatorriaren inguruan. Bertan, pendulua dago geldi. Leihatilaren goiko eta ezkerreko aldean idatziz erakusten da t denbora (segundotan), eta penduluaren r desbideratzea (milimetrotan).

Oso denbora luzea behar denez pendulua jatorritik zertxobait urruntzeko, Denbora-kontrolean idatz dezakegu t aldiunea (ordutan) eta ondoren Hasi botoia berriro sakatu.

• Leihatilaren ezkerreko aldean, testu eskualdean, datuok idatzita agertzen dira: t denbora ordutan eta r desbideratzea milimetrotan.

• Pendulua posizio horretan kokatzen da (denbora horri dagokion posizioan) eta denborak aurrera segitzen du etengabe.

Beste denbora ezberdin bat idatz daiteke denbora-kontrolean, eta berriro sakatu Hasi. Datu-bikoteak ezkerreko zutabean idatzita agertzen joango dira Hasi botoia sakatzen dugun bakoitzean.

Datu-bikote "esperimental" nahikoa bildu dugunean Grafikoa botoia sakatu.

Esperimentuaren datuak aldatu nahi badira, esaterako, inguruko partikularen M masa, R erradioa edo ω abiadura angeluarra, berria botoia sakatu behar da.

Pendulua oso gutxi mugitzen denez, behaketaren eskala alda daiteke, alegia pendulua beha daiteke dm, cm edo mm-tako eskalatan. Lehen eskalan, dm-tan, inguruko partikula ere ikusten da, biraka dabilela (ibilbide urdina), baina beste eskala bietan oso urruti geratzen da koordenatuen jatorritik eta ez da ikusi ere egiten, baina pendulua, ordea, zehaztasun handiagoz behatzen da.

Inguruko partikularen abiadura angeluarra (ω) oso ezberdina bada erresonantziazko abiadura angeluarrarekiko (ω₀-rekiko), orduan penduluaren desplazamendua oso txikia da, eta ezin da neurtu. Emaitza hori applet-ean egiazta daiteke edo higidura ekuazioetan kalkulatu, ondoren azalduko den adibidean bezala:

Adibidea:

• Inguruan biraka ari den partikularen masa M=50 kg eta zirkuluaren erradioa R=8 cm=0.08 m
• Penduluaren luzera, l=1.2 m
• Grabitatearen azelerazioa, g=9.8 m/s²
• Grabitazio unibertsalaren konstantea, G=6.67·10^-11 N²m²/kg²

 Erresonantziazko abiadura angeluarra:

Abiadura angeluar hori eta pendulu sinple baten oszilazioen frekuentzia angeluarra oso antzekoak dira, erro karratuaren barruko bigarren terminoa oso txikia delako, alegia, zenbatzailean G konstantea duelako.

Esaterako, aukera dezagun applet-ean honako abiadura angeluarra: ω=3 rad/s. (kanpoko partikularena). Kalkula ditzagun x eta y ordubete iragan denean: t=1 ordu=3600 s

Eta berdin gertatzen da y-rekin. Beraz, pendulua ez da mugitzen ezta denbora luzea itxaronda ere.

Pendulua gehixeago mugitzea nahi  bada, ω≈ω₀=2.857739 izan behar da eta, kasu horretan, ordubete iragan denean:

Desplazamendu txiki hori behatzeko mm botoia aktibatzea komeni da.

Aukeratutako denbora luzeegia bada, orduan ez da betetzen beste baldintza bat: r<<R. Eta baldintza hori beharrezkoa izan zaigu F₂ indarraren osagaiak modu sinpleagoan adierazi ahal izateko.

Egiazta daiteke, ω≈ω₀  direnean, orduan penduluaren r desbideratzea:

• Inguruko M masaren proportzionala dela.
• Inguruko zirkuluaren R erradioaren karratuaren alderantziz proportzionala.
• t denboraren proportzionala.

Esperimentuaren azken helburua grabitazio unibertsalaren G konstantea kalkulatzea da. Hori lortzeko, zenbait neurketa egin ondoren, eta datu-bikote multzo bat bildu ondoren, grafikoa irudikatzen denean, zuzenaren malda kalkulatu behar da, izan ere, desbideratzea denborarekiko zuzenki proportzionala baita:

Grafikoa botoia sakatzen denean, puntu "esperimentalak" gorriz adierazten dira, eta ondoan, puntuetara gehien hurbiltzen den zuzena (erregresio linealaz lortuta).

• ardatz bertikalean penduluaren r desbideratzea adierazten da mm-tan.
• ardatz horizontalean t denbora adierazten da ordutan.

Grafikoan bertan, programak zuzenaren malda ematen du.

Esaterako, aukera bitez honako datuak:

• Inguruko partikularen masa, M=50 kg.

• Inguruko zirkuluaren erradioa, R=8 cm=0.08 m

• Inguruko partikularen abiadura angeluarra, ω=2.8577 rad/s

Berria botoia sakatu ondoren, aukera dezagun denbora bat eta Hasi botoia sakatu. Denboraren eta r desplazamenduaren datuak ezkerreko zutabean idatzita agertuko dira. Pendulua mugitzen ikus daiteke eskala egokia aukeratuz. Errepika ditzagun beste zenbait denbora ezberdin, eta Hasi botoia sakatu kasu bakoitzean. Azkenik, datu-bikote nahikoa bildu ondoren, Grafikoa sakatu eta puntu esperimentalen grafikoa irudikatuko da. Grafikoak zuzen bat osatzen duela ikusten da eta programak zuzen horren maldaren balioa ematen du zenbakiz: 0.328. mm/h. Zenbakizko balio horretatik G kalkula daiteke: