Zeruko gorputzen dinamika

Penduluaren periodoa

Saiakuntza

Erreferentzia

Partikularen dinamikan, pendulu sinplea aztertzen denean, grabitatearen azelerazioa konstantetzat hartzen da, bai moduluan eta baita norabidean ere. Izatez, Lurra esferikoa da eta pendulua oso luzea bada (Lurraren erradioaren antzeko neurrikoa) grabitatearen norabidea aldatuz doa penduluaren angeluarekin eta grabitatearen modulua ere aldatuz doa penduluaren altuerarekin.  Horixe da orri honetan aztertuko dena.

Higiduraren ekuazioa

Demagun pendulu sinple bat osatzen dugula m masadun masa puntual batez eta l luzeradun soka batez. Har dezagun sokaren luzera finkoa dela, masarik ez duela eta espazio hutsean mugitzen dela.

Penduluak θ angelua osatzen duenean norabide erradialarekiko, Lurrak m masadun partikula erakartzen du honako indarraz:

Indar horren osagai tangentziala, F_t , honela idatz daiteke:

Aplika dezagun irudiko hirukian sinuaren teorema:

horrela lortzen da indarraren F_t osagai tangentziala adieraztea θ angeluaren menpe soilik:

Newton-en bigarren legearen arabera, indarraren osagai tangentziala da, masa bider azelerazioaren osagai tangentziala:

a_t=l·d²θ/dt².

hemen, β=l/R eta g=GM/R², grabitatearen azelerazioa justu Lurraren gainazalean.

Ekuazio diferentzial hori bigarren ordenakoa da eta prozedura numerikoez ebatz daiteke. Horretarako hasierako baldintzak finkatu behar zaizkio. Esaterako: t=0 aldiunean, θ=θ₀ eta dθ/dt=0.

Penduluaren periodoa

Lurraren eta m masadun partikularen arteko indarra, alegia grabitatea, kontserbakorra da; horregatik partikularen energia totala konstantea da.

Hasierako aldiunean, t=0, partikularen posizio angeluarra θ₀ da eta geldi dago. Ondoren, t aldiunean, partikularen posizioa θ da eta bere abiadura angeluarra dθ/dt. Energia totala bi aldiuneetan berdina da:

Ekuazio horretatik abiadura angeluarra bakan daiteke, dθ/dt.

Pendulua oreka-posiziotik pasatzen denean, q =0 eta ertz batera heltzen denean q =q₀ . Bi posizio horien artean iragaten den  denbora periodoaren laurdena da. Hortaz, periodoa hau da:

ekuazioa laburtzearren konstanteak bildu dira: γ=4β(1+β)

Baldin θ₀/2 txikia bada, honako hurbilketa egin daiteke: (1+x)^-1/2≈1-x/2

Eta beraz, P periodoa honela berridatz daiteke kasu horretarako:

Integral eliptiko hori ezaguna da penduluaren periodoa kalkulatzeko, honako ordezkapena eginez:

Eta integralaren muturrak: pendulua ertz batean dagoenean q=q₀, eta aldatutako aldagaia: j=p/2

Hemen P₀ ordezkatu da pendulu sinple arrunt baten periodoa delako.

Horrelako integral eliptikoak bibliografian aurki daitezke, eta emaitzak tauletan ematen dira. Ikusi Puig Adam, Calculo Integral. Editorial Biblioteca Matemática 1972 urtea, 97 or.

Formula hori konparatzen bada penduluaren periodo orokorrarekin (ez bakarrik anplitudea txikia denean) ikusten da Lurra esferikoa izateak periodoa bidertu egiten duela honako faktore batez: 1/(1+β)-ren erro karratua. Eta β=l/R denez, positiboa, orduan periodoa laburtu egiten da.

Adibidea: demagun β=l/R=0.5, eta pendulua hasieran desbideratzen dela q₀=10º.

• Penduluaren luzera l=3.185·10⁶ m,

• Grabitatearen azelerazioa Lurraren gainazalean g=9.83m/s².

• Pendulu sinplearen periodoa (grabitatea konstantetzat hartuta, baita norabidean ere, eta oszilazio txikiak):

Kurtso honetan badago beste kapitulu bat, "Pendulua" izenekoa, eta  bertako programa interaktiboak kalkulatzen du penduluaren periodoa edozein anplituderako eta baldintza ezberdinetan: esaterako q₀=10º aukeratzen bada ematen du P/P₀ = 1.0019.

Periodo horri Lurraren esferikotasunaren efektua gehitzen badiogu, bidertu beharko dugu 1/(1+β)-ren erro karratuaz. Beraz, pendulu horren periodoa:

Ekuazio diferentziala metodo numerikoez ebatzita (hurbilketarik gabe) honako emaitza lortzen da: P=49.33 min

Saiakuntza

Aukeran idatz daitezke:

• β parametroa, alegia l/R, edo penduluaren luzera zati Lurraren erradioa (R=6.37·10⁶ m) Luzera/r. Lurra izeneko desplazamendu barrari saguaz eragiten.

• Hasierako angelua, θ₀, penduluari ematen zaiona justu askatu aurretik. Angelu hori penduluaren eta Lurraren norabide erradialaren artekoa da. Aldatzeko Angelua desplazamendu-barrari saguaz eragin.

Hasi botoia sakatu.

Pendulua mugitzen ikusten da. Bektore batek Lurraren erakarpen indarraren osagai tangentziala erakusten du.

Leihatilaren goiko aldean honako datuak ematen dira idatziz uneoro:

• Denbora, t, minututan.

• Penduluak osatzen duen θ angelua Lurraren norabide erradialarekiko.

• Partikularen abiadura: l·dθ/dt.