Zeruko gorputzen dinamika

Desbideratzea kalkulatzea baina Coriolis-en azelerazioaren formularekin

Saiakuntza

Gorputz bat erortzen ari den bitartean, Lurraren errotazioa kontutan hartzen bada, ikusiko da nola gorputz hori ekialderantz desbideratzen den. Arazo hori Fisika Orokorreko liburuetan aztertzen da, erreferentzia-sistemen higidura erlatiboa ikertzen denean. Bertan azaltzen da, biratzen ari den erreferentzia-sistema baten ikuspegitik, alegia erreferentzia-sistema ez inertzial baten ikuspegitik, inertzia-indarrak existitzen direla eta kalkulatu egiten dira, hala nola, indar zentrifugoa eta Coriolis-en indarra.

Ipar-hemisferioan erortzen ari den gorputz bat hegoaldera desbideratzen da indar zentrifugoaren eraginez, eta ekialdera desbideratzen da Coriolis-en indarraren eraginez.

Honako orri honetan erorketa horixe deskribatuko dugu (alegia, altuera batetik planetaren gainazalera bertikalki erortzen den gorputz bat) baina behatzaile inertzial baten ikuspegitik eta planeta biratzen ari dela kontutan hartuko dugu. Sinplifikatzeko, planetaren ekuatorean kokatuko dugu erorketa.

Deskribapena

Demagun planeta bat, M masaduna eta R erradioduna, biratzen ari dena bere ardatzaren inguruan w abiadura angeluarraz. Planeta horren gainazaletik gora, h altueratik, partikula bat erortzen uzten da, m masaduna.

Behatzailea ez bada planetarekin batera biratzen ari, alegia behatzaile inertziala bada, ikusiko du partikula jaurtitzen dela r=R+h posiziotik eta ez pausagunetik, honako abiaduraz  baizik: v1=w ·r. Behatzaile horren ikuspegitik partikulak indar bakar bat jasaten du: planetaren erakarpen grabitatorioa. Hortaz, partikulak orbita eliptikoa deskribatuko du eta elipse horren fokuetako bat planetaren zentroa izango da. Azter dezagun zehazki partikularen ibilbidea eta kalkula ditzagun parametro interesgarri guztiak:

• Partikularen ibilbide eliptikoa kalkulatu.
• Elipse horrek zein puntutan ebakitzen duen planetaren gainazala.
• Zenbat denbora tardatuko duen planetaren gainazala ukitu arte.
• Zenbat desbideratu den norabide erradialarekiko, alegia planetarekin batera biratzen ari den behatzaile ez inertzial batekiko.

Ibilbide eliptikoaren ekuazioa

Elipsearen ekuazioa koordenatu polarretan:

Ekuazioan agertzen diren bi parametroak, d eta e (eszentrikotasuna) kalkulatzen dira partikularen E energia eta L momentu angeluarra ezagutuz, hasierako baldintzetatik:

Adibidea: Demagun planetak honako datuak dituela:

• Masa, M=5.98·10²⁴ kg
• Erradioa, R=6.378·10⁶ m
• Errotazioaren abiadura angeluarra, w =2p /(24·60·60) rad/s
• Grabitazioaren konstantea, G=6.67·10^-11 Nm²/kg²

Demagun partikula erortzen uzten dela honelako altueratik: h= 0.1·R =637.8 km, (edo bestela esanda r₁=7.02·10⁶ m)

• Bere hasierako abiadura: v₁=w ·r₁=510.2 m/s.
• Momentu angeluarra, L=3.58·10⁹· m kgm²/s.
• Energia totala, E= -5.67·10⁷·m J

Orduan orbitaren bi parametro nagusiak, d eta e, honela kalkulatzen dira:

Eta orbitaren bi parametro nagusiak ezagututa, d eta e, orduan partikularen hurbiltze maximoa eta urruntze maximoa kalkula daitezke, r₂ eta r₁.

Baldin, q =0º, r₂=16098 m
Baldin, q =180º, r₁=7.02·10⁶ m

 

Badago beste modu bat  r₂ eta r₁ kalkulatzeko, orbitaren ekuazioa erabili gabe:

Ezagutzen badira r₁ eta v₁ kalkula daitezke r₂ eta v₂ Energiaren kontserbazioa eta Momentu angeluarraren kontserbazioa aplikatuz:

Eta r₁ eta r₂ ezagutu ondoren, orbitaren bi parametro nagusiak ere kalkula daitezke d eta e.

Ibilbidearen ekuazioan q =180º,
eta q =0º,

Azken ekuazio bi horietatik d eta e kalkulatzen dira.

Elipseak zein puntutan ebakitzen duen planetaren gainazala:

Elipse baten eta zirkunferentzia baten ebakidura-puntua kalkulatu behar da. Elipsearen ekuazioan ordezkatzen bada r=R, orduan q  angelua bakan daiteke. Aurreko adibidearen datuekin: cos q i= -0.9995, eta horrek ematen du angelua: q i =178.3º.

Planetaren gainazala ukitu arte zenbat denbora pasatzen den

Partikula jaurti den aldiunetik, P puntura iritsi arte zenbat denbora pasatzen den kalkulatzeko Kepler-en azaleren legea erabil daiteke:

koordenatu polarretan momentu angeluarra honela adieraz daiteke:

Ikusi dugunez, posizio-bektoreak estaltzen duen azalera t eta t+dt aldiuneen artean, hiruki infinitesimal bat da, eta bere azalera hau da: r²·dq /2.

Denbora-tarte finitu batean posizio-bektoreak estalitako azalera honakoa da:

Kalkulatzen bada elipse-zatiaren A azalera, alegia urdin argiz adierazitakoa, orduan denbora kalkula daiteke.

Kolore urdin argia duen azalerak bi zati ditu: alde batetik, hiruki zuzen bat, r₁+c luzera duena, eta P puntuaren altuera, eta bestetik elipsearen muturreko azalera kurboa.

Hona hemen hiruki zuzenaren azalera:

Eta elipsearen muturreko zati kurboaren azalera kalkulatzeko, A₂, integratu behar da elipsearen ekuazioa (ydx) dagokion muturren artean: behe muturra x₁=–a eta goi muturra P puntuaren x koordenatua, x₂= –R·cos(p -q _i)+c . Elipsearen ardatz nagusiaren erdia a=(r₁+r₂)/2 eta distantzia fokalaren erdia, c=e ·a.

Elipsearen ekuazioa koordenatu cartesiarretan:

eta x₁=–a denez, adierazpena sinplifikatzen da:

eta x₂= –R·cos(p -q _i)+e a

Esterako x₂=+a balitz, elipsearen azaleraren erdia emango luke: p ab/2

Adibidea:

Lehengo adibideko datuekin, honela lortzen dira elipsearen parametroak:

• Elipsearen ardatz nagusiaren erdia:  a=(r₁+r₂)/2¸ emaitza: a=3.52·10⁶ m
• Distantzia fokalaren erdia: c=e ·a, emaitza: c=3.50·10⁶ m
• Ardatz laburraren erdia: , emaitza: b=3.36·10⁵ m

Eta azalerak:

• A₁=6.17·10¹¹ m²
• A₂=8.43·10¹⁰ m²
• Azalera totala: A=7.0·10¹¹ m²

Bakarrik geratzen da denbora kalkulatzea, honako ekuaziotik:

,  eta emaitza: t=391.6 s

Gorputza zenbat desbideratzen den, planetarekin batera biratzen ari den behatzaile ez inertzial batekiko

Erortzen ari den gorputzak lurra jotzen du P puntuan eta t aldiunean. P puntuaren posizio angeluarra honela kalkulatzen da: p -q i. Irudian marra urdinak planetaren norabide erradiala adierazten du, eta planetan finko dago. Denbora horretan, O behatzailea planetarekin batera mugitu da eta bere posizio angeluarra hau da: w ·t. Orduan O puntua eta P puntua ez dira puntu bera, eta euren arteko distantzia hau da: s=R·(p -q i-w ·t) Adibideetan aipatu diren zenbakizko datuekin: s=11837 m Distantzia positiboa da, beraz, gorputza erortzen da norabide erradiala baino ekialderago.

Desbideratzea kalkulatzea, baina Coriolis-en azelerazioaren formularekin

Berriz ere kalkulu bera errepikatuko dugu, hau da, zenbat desbideratzen den ekialderantz h altueratik eta ekuatorean erortzen uzten den gorputz bat, lehenik behatzaile inertzialaren ikuspegitik (lehengo metodo bera) eta ondoren Coriolis-en azelerazioaren adierazpenarekin, hau da, lurrarekin batera mugitzen ari den behatzaile ez inertzial baten ikuspegitik.

1.-Erakarpen-indarra zentrala eta kontserbakorra da. Gorputzak erortzean deskribatuko duen ibilbidea elipsea da.

Izan bedi h=0.01·R=63780 m. Lehengo adibidean baino hurbilago Lurraren gainazaletik.

Ibilbide eliptikoaren parametroak kalkulatzeko beharrezkoak dira hasierako baldintzak:

r₁=R+h=6.44·10⁶ m
v₁=w ·r₁=468.5 m/s

Aplikatzen bada, energiaren kontserbazioa eta momentu angeluarraren kontserbazioa, lor daitezke r₂ eta v₂. Oraingoz interesatzen zaigun bakarra r₂ da:  r₂=11436 m.

• Elipsearen ardatz nagusiaren erdia: a=(r₁+r₂)/2=3.35·10⁶ m
• Distantzia fokalaren erdia: c=r₁-a=3.09·10⁶ m
• Eszentrikotasuna: e =c/a=0.996
• Ardatz laburraren erdia: =2.71·10⁵ m

Elipsearen d parametroa: d=a(1- e²)=22831.2 m

Mozte-angelua: q _i=179.52º

Azalera totala: A= A₁+ A₂=1.715·10¹¹+2.30·10⁹=1.74·10¹¹

Gorputzak Lurraren gainazala jo arteko t denbora: t=2A/(r₁·v₁)=115.21 s

Eta gorputzaren desbideratzea, Lurrean finko dagoen behatzailearekiko:

s=R·(p -q _i-w ·t)=355.43 m

2.-Nola erortzen den gorputza behatzaile birakorraren ikuspegitik (behatzaile ez inertziala).

Lehenik kalkulatu behar da zenbat denbora tardatzen duen gorputzak lurraren gainazala ukitu arte, honako altueratik jaurtitzen bada: h=63780 m.

Higidura uniformeki azeleratua onartzen badugu, h=gt²/2, eta hartuko dugu g=9.8, orduan lortzen da: t=114.1 s

Eta desbideratzearen formula aplikatzen bada ekuatorean, hau da l =0º latitudean:

Emaitza hori, beste metodoarekin lortutako emaitzaren oso antzekoa da, eta hemen ez da kontutan hartu g izatez 9.8 baino txikixeagoa dela, azelerazio zentrifugoaren eraginez, ezta altuerarekin gutxitu egiten dela.

Saiakuntza

Ondoko saiakuntzan lehenik planeta bat aukeratu behar da ondoko taulatik:

Datuak: M. Márov. Planetas del Sistema Solar. Mir argitaletxea.

Aukeran idatz daiteke zein altueratik askatzen den gorputza, planetaren gainazaletik gora, eta planetaren erradioa erreferentziatzat hartuta.

Hasi botoia sakatu.

Gorputza hasieran planetaren gainazaletik gora kokatzen da, h altueran eta bertikalki, eta askatu egiten da. Gorputzaren ibilbidea elipsea da (behatzaile inertzial baten ikuspegitik) eta programak irudikatu egiten du.

Erortzen ari den bitartean, behatzaile ez inertziala mugitu egiten da higidura zirkular uniformeaz (irudian puntu gorria), planetaren gainazalean finko dagoelako. Behatzaile inertzialaren ikuspegitik ikusten da gorputza erortzen eta behatzaile ez inertziala mugitzen. Behatzaile ez inertzialaren ikuspegitik, ordea, ikusten da gorputza desbideratzen doala ekialderantz, apurka-apurka, planetaren gainazala jotzen duen arte.

Gorputzak planetaren gainazala jotzen duen aldiunean programak kalkulatu egiten du gorputzaren posizio erlatiboa behatzaile ez inertzialarekiko, alegia, kontaktu puntutik behatzaile ez inertzialeraino dagoen distantzia. 

Planetak errotazio-abiadura txikia badu (esaterako Artizarra), bertikalki erortzen den gorputza gutxi desbideratzen da ekialderantz, baina planetak errotazio-abiadura handia badu (esaterako Jupiter), orduan bertikalki erortzen den gorputza asko desbideratzen da ekialderantz norabide bertikalarekiko.