Zeruko gorputzen dinamika

Zenbat desbideratzen den ekialdera, Ipar hemisferioan l latitudeko toki batean

Grabitatearen azelerazioa

Erreferentzia

Aurreko orrian ikusi da, "Erortzen ari den gorputz bat ekialdera desbideratzen da (I)", gorputz bat h altueratik erortzen uzten bada ekuatorean, ez dela bertikalki erortzen justu norabide erradialean. Izatez, orbita eliptikoa deskribatzen du behatzaile inertzial baten ikuspegitik. Orbita horren ekuazioa kalkulatzeko, energiaren eta momentu angeluarraren kontserbazio-printzipioak erabili dira, grabitate-indarra kontserbakorra eta zentrala delako. Gero kalkulatzen da elipse horrek planetaren gainazala non mozten duen, eta denetara prozedura nahiko luzea eta neketsua izan daiteke.

Orri honetan kalkulatuko duguna da desbideratzearen adierazpen orokorra, alegia, h altueratik erortzen uzten den gorputz bat zenbat desbideratzen den ekialdera, eta ez bakarrik ekuatorean dagoenean, edozein latitudeko toki batean dagoenean ere (l). Lehen bezala planetaren erradioari R deituko diogu eta abiadura angeluar konstanteari w .

Gorputza hasieran h altueran dago Lurraren gainazaletik, hau da, R+h distantziara Lurraren zentrotik. Une horretan, bere abiadura nulua da Lurrarekin batera biratzen ari den behatzailearekiko (ez inertzialarekiko), baina mugitzen ari da behatzaile finko batekiko (inertzialarekiko), izan ere, bere abiadura hau da: (h+R)·w . Askatzen denean, orbita eliptikoa deskribatzen hasten da, eta planetaren gainazala jotzen du P puntuan. Bitartean, behatzaile ez inertziala mugitzen ari da, Lurrarekin batera errotatzen. Hasieran behatzailea justu gorputzaren azpian dago, bertikal berean, baina amaieran gorputza behatzailea baino ekialderago erortzen da lurraren gainazalean.

Kalkulu horretarako oinarrizko baldintza bi erabiliko dira soilik:

• Indar grabitatorioa "Zentrala" dela, eta horregatik gorputzaren momentu angeluarra konstantea da.
• Erorketaren h altuera txikia dela planetaren R erradioaren aldean.

Fisika orokorreko liburuetan adibide hau aztertzen da, erreferentzia sistema birakorretan sortzen den Coriolis-en azelerazioaren formula aplikatuz, baina hemen egingo dugun azalpena, eta kalkulua, askoz sinpleagoa da, eta askoz ere ulergarriagoa.

Zenbat desbideratzen den ekialdera, ekuatorean

Irudiak erakusten duenez, partikulak hasieran duen momentu angeluarra hau da: L=m(R+h)2w Hemen w lurraren abiadura angeluar konstantea da. Eta ondorengo t aldiunean: L=mrvq . Adierazpen horretan vq  deitu diogu abiaduraren osagai tangentzialari, alegia, abiadura osagai polarretan deskonposatzen denean norabide erradialarekiko perpendikular dagoen osagaiari: r(dq /dt)

Partikularen momentu angeluarra konstantea da. Izendatzen badugu z, 'partikularen altuera planetaren gainazalarekiko',orduan r=R+z. Bi momentu angeluarrak berdindu eta berridatziz:

Adierazpen hori sinpleago berridatz daiteke, hurbilketa bat eginez, h eta z oso txikiak badira R-ren aldean. Orduan:

Eta ekuazio diferentzial hori da gai honetako gakoa. Integratzen bada partikularen posizio angeluarraren adierazpena ezagutuko dugu denboraren menpe, q(t) . baina lehenago z adierazi behar da t-rekiko, ez baita konstantea.

Baina z=h-gt²/2, eta hemen g grabitatearen azelerazioa da, konstantetzat hartuko duguna, eta planetaren zentroranzko norabidea duena.

Emaitza horrek adierazten du zein angelu osatzen duen partikulak hasierako posizioarekiko. Bestalde, O behatzailea, planetarekin batera mugitzen ari da w abiadura angeluarraz, beraz wt angelua biratuko du denbora horretan. Hortaz, P puntuaren eta O behatzailearen arteko angelua bi angeluen kenketa da: q -w t , eta angelu hori bider planetaren R erradioa da, P puntuaren eta O behatzailearen arteko distantzia lineala planetaren gainazalean (arkuaren luzera=angelua·erradioa):

Zenbat desbideratzen den ekialdera, Ipar hemisferioan l latitudeko toki batean

Aurreko emaitzari izaera orokorra eman diezaiokegu, baina ekuatoretik kanpo dauden tokietarako, hau da, l latitudea duen toki batean. Ezkerreko irudiak erakusten duen bezalaxe gorputzak, askatu baino lehen, honako abiadura du: w·(R+h)·cosl . Beraz gorputzaren momentu angeluarra honako hau da: L= w (R+h)2cosl Aurreko ataleko kalkuluak errepikatzen badira, momentu angeluarra konstantea dela aplikatu, hurbilketa egin, h<<R, eta denborarekiko integratu, aldaketa bakarra aurkituko dugu, w-ren ordez idatzi behar dela w·cosl.

Eta orduan lortzen da ekialderanzko desbideratzearen adierazpen orokorra:

Grabitatearen azelerazioa

Lehengo kalkuluan, z altuera adierazi dugunean denboraren menpe, azelerazio konstantedun higidura onartu dugu, eta g grabitatearen azelerazioa hartu dugu. Zehazkiago aztertzen bada, gorputzaren g azelerazioa ez da g_o, grabitate soilaren azelerazioa, pixka bat txikiagoa baizik.

Azelerazioa adierazten bada koordenatu polarretan, eta osagai erradiala aztertzen badugu, a_r, erreferentzia-sistema inertzialarekiko (geldi dagoenarekiko) -g_o da, eta planetaren zentrorantz apuntatzen du:

Baina erreferentzia-sistema ez inertzialean, partikularen azelerazioa kalkulatzeko (d²z/dt²), ekuazio horretan ordezkatu behar da r=R+z. Ordezkatu ondoren, ikusten da grabitatearen g₀ azelerazioaz gain beste terminoa ere kontutan hartu behar dela, r(dq/dt)², alegia, azelerazio zentrifugoa (a_zf), planetaren errotazioari dagokiona. Ekuazioa berridatziz:

g horretan azelerazio zentrifugoa ere hartuta dago, g=g_o+a_zf, eta normalean txikia izaten da g₀-ren aldean. Azelerazio hori, ez da konstantea baina konstantetzat hartzen bada, eta integratzen bada hasierako posiziotik, z=h altueratik eta pausagunetik abiatuta, lehengo emaitza lortzen da:

z=h-gt²/2