Zeruko gorputzen dinamika

Meteoritoak Lurra jotzen du, Lurra orbitan ari delarik Eguzkiaren inguruan

Saiakuntza

Erreferentzia

Duela 65 milioi urte Lurrak aldaketa bortitza jasan zuen eta espezie ugari desagertu ziren: hainbat landare eta lurreko zein itsasoko animali asko, eta nabarmenenak, dinosauro handiak. Hala ere, ugaztun txiki askok iraun egin zuten. Hondamen izugarri haren erruduna meteorito bat izan omen zen, ziur aski Mexikoko Yucatan penintsularen inguruan jo zuen eta honelako ezaugarriak zituen:

• diametroa, 10 eta 14 km artekoa,

• dentsitatea, 1300-3400 kg/m³.

• abiadura, 20-25 km/s

Lurrak Eguzkiaren inguruan duen orbita ia zirkularra da, izan ere, eszentrikotasun txikiko elipsea da, ε=0.0167. Kalkuluek erakusten dute hura bezalako talka batek ez zuela Lurraren orbita apenas aldatu. Orri honetan, horrelako talka baten kalkuluak aztertuko dira, alegia, meteorito batek Lurra jotzen duenean, zein aldaketa gerta daitezkeen.

Meteoritoak Lurra jotzen du, Lurra geldi dagoelarik

Hasteko, egin dezagun Fisika Orokorreko ariketa arrunt bat. Demagun Lurrak M masa duela eta R erradioa, eta espazioan geldi dagoela. Meteorito batek m masa eta v₀ abiadura ditu, oraindik Lurretik urruti dagoenean, baina Lurrerantz hurbiltzen ari da. Kalkula bedi:

• Meteoritoaren v abiadura justu talka egin baino lehen.

• Talkaren ondorioz, biak itsatsita geratzen direla suposatuz, multzoaren V abiadura, justu talkaren ondoren.

Kalkuluak egiten hasteko, demagun meteoritoaren m masa oso txikia dela Lurraren M masaren aldean, hau da, meteoritoak Lurrari eragiten dion erakarpen-indarrak ez duela lortzen Lurra apenas mugitzerik.

Lurrak meteoritoari eragiten dion erakarpen-indarra kontserbakorra da, beraz meteoritoaren energia totala konstantea da Lurrera hurbiltzen ari den bitarte osoan:

v₀ eta r₀ datuak dira (meteoritoaren hasierako baldintzak) eta ekuazio horretako ezezaguna v da, meteoritoaren abiadura, justu talka baino lehen.

Lurrak eta meteoritoak bikote isolatua osatzen dute, beraz momentu lineala kontserbatzen da talka baino lehen eta ondoren.

m·v=(m+M)V

Eta horrela lortzen da Lurra-meteoritoa multzoaren V abiadura justu talkaren ondoren.

Bestalde, meteoritoak zeukan energia zinetikoa bitan banatu egin da, zati bat multzoaren energia zinetiko bilakatu da eta beste zatia bero bihurtu da talkan (Q). Normalean, bero hori ezin izaten da gorde, eta galdu egiten da:

Adibidea

Meteorito batek (m=2·10⁷ kg), oraindik Lurretik urruti dagoenean (Lurraren zentrotik r₀=3.8·10⁷ m), honako abiadura du: v₀=30 km/s, baina justu Lurraren zentrorantz doa. Kalkula bitez:

• Zein abiaduraz iritsiko den Lurraren gainazalera (Lurra ez da mugitzen talka baino lehen).

• Zein abiaduraz mugituko den Lurra-meteoritoa multzoa justu talkaren ondoren.

• Meteoritoaren energia zinetikotik, zenbat energia bilakatu da "bero".

Datuak:

• Lurraren masa, M=5.98·10²⁴ kg

• Lurraren erradioa, R=6.37·10⁶ m

• Konstantea, G=6.67·10^-11 Nm²/kg²

Emaitzak:

• Meteoritoak, Lurraren gainazalera iristen den unean, honako abiadura du: v=31689.7 m/s, eta bere energia zinetikoa E_k=1.0·10¹⁶ J.

• Multzoaren abiadura justu talkaren ondoren: V=1.06·10^-13 m/s

• Meteoritoaren energia zinetikotik zenbat bihurtu da "bero": Q=1.0·10¹⁶ J.

Zenbakizko datu horiekin, multzoaren abiadura oso txikia da talkaren ondoren, (Lurra ia ez da enteratzen) eta meteoritoaren ia energia osoa bero bilakatzen da.

Meteoritoak Lurra jotzen du, Lurra orbitan ari delarik Eguzkiaren inguruan

Lurraren orbita zirkularra

Demagun Lurrak orbita zirkularra deskribatzen duela Eguzkiaren inguruan: bere erradioa R=1.49·10¹¹ m. Higidura zirkular eta uniformearen dinamika aplikatuz Lurraren abiadura orbitala kalkula daiteke: V_t  (azpindizea gaztelerazko "Tierra"-ri dagokio).

Datu hauek behar dira: Lurraren orbita zirkularraren erradioa: R=1.49·1011 m. Eguzkiaren masa: Ms=1.98·1030 kg Emaitza hau da: Vt=29771.6 m/s

Lurraren orbitaren periodoa hau da:

Meteoritoak Lurra jotzen du

Har dezagun erreferentzia-sistema gisa Eguzkian finko kokatuta dagoena. Meteoritoak Lurra jotzen duenean X ardatzaren gainean daude biak, eta Lurrak V_t abiadura du, justu Y ardatzarekiko paralelo. Demagun meteoritoaren abiadura V_m dela Eguzkiarekiko eta α angelua osatzen duela X ardatzarekiko, alboko irudiak erakusten duen bezala. Aplika dezagun momentu linealaren kontserbazioa.

Bektoreekin: mVm+MVt=(m+M)v   eta osagaiekin: mVm·cosα=(m+M)vx mVm·sinα+MVt=(m+M)vy

ekuazio horietan m meteoritoaren masa da, M Lurrarena, V_t Lurraren abiadura, lehen esan bezala, eta v multzoaren abiadura talkaren ondoren, itsatsita geratzen direla suposatuz.

Kalkula ditzagun v abiaduraren modulua eta bere norabidea, φ, talkaren ondoren:

ekuazio horretan idatzi da γ=m/M meteoritoaren eta Lurraren masen arteko erlazioa.

Lurraren, eta meteoritoaren, ibilbide berria

Bi gorputzak itsatsita geratzen dira talkaren ondorioz, eta multzo bat osatzen dute. Multzo horren v abiadura eta φ norabidea ezagunak dira. Orain kalkula dezagun zein ibilbide jarraituko duen multzoak, (m+M) masadunak, Eguzkiaren inguruan. Hasieran Eguzkitik R distantziara dago, v abiadura du eta φ angelua osatzen du X ardatzarekiko, ondoko irudiak erakusten duen bezala.

Antzeko ariketa bat eginda dago honako orrian: “Jaurtigai baten ibilbidea, Lurraren gainazala baino goragotik askatuta”.

Idatz ditzagun gorputzaren momentu angeluarra eta energia talkaren ondoren:

Orduan ibilbidearen ekuazioa koordenatu polarretan

Ibilbidearen ekuazioak ez du menpekotasunik partikularen m masarekin.

Partikularen energia totala negatiboa bada, E<0 ibilbidea elipsea izango da, alegia eszentrikotasuna ε<1.

Ezagunak badira d eta ε, elipsearen ardatz nagusiaren erdia kalkula daiteke, alegia a, elipsearen erradio minimoaren (θ=0) eta maximoaren (θ=π) batezbesteko aritmetikoa delako:

Eta orbita eliptikoaren periodoa honako erlazioaz lortzen da:

Irudiak erakusten duenez, partikularen ibilbidea elipsea da, eta β angelua biratuta dago X ardatzarekiko. Angelu hori kalkulatzeko, ibilbidearen ekuazioan, ordezka daiteke r=R eta θ angelua bakandu.

Ekuazio horrek bi emaitza posible ditu: φ eta 180-φ. Izan ere, bi soluzioek dute E energia bera eta L momentu angeluar bera. Elipsearen d parametroak eta e eszentrikotasunak balio berdinak dituzte, baina elipsearen orientazioa ezberdina da: β eta 2π-β. Partikula bik osatzen badute X ardatzarekin φ angelua edo π+φ angelua ibilbide bera deskribatuko dute baina aurkako noranzkoetan.

Meteorito baten abiadurak osatzen badu X ardatzarekin 0º edo 180º, orduan Lurrarekin talka egin ondoren, eszentrikotasun bereko eta periodo bereko orbitak sortuko dituzte, baina orientazio ezberdina, justu talkaren ondoren angelu betegarriak osatzen dituztelako.

Aldaketa nabarmenenak gertatzen dira talka aurrez-aurrekoa denean, alegia meteoritoaren abiadurak 270º osatzen dituenean X ardatzarekiko, eta aldaketa txikienak talka atzetik gertatzen denean (a=90º).

Egin ditzagun, ariketa gisa, aurrez-aurreko talka bat eta talka zeihar bat.

Aurrez-aurreko Talka

• Demagun γ=m/M=0.1 meteoritoaren eta Lurraren masen arteko erlazioa.

• Meteoritoaren abiadura V_m=30000 m/s

• Meteoritoaren abiadurak X ardatzarekin osatzen duen angelua talka baino lehen: α=270º, aurrez aurre.

Momentu linealaren kontserbazioa plantea daiteke Y ardatzaren norabidean:

-γV_m +V_t=(γ+1)v

Ezagutzen bada Lurraren abiadura talkaren aurretik, V_t , kalkula daiteke multzoaren abiadura talkaren ondoren. Hona hemen emaitza: v=24337.8 m/s eta Y ardatzarekiko paraleloa ateratzen da, φ=90º.

Kalkula ditzagun multzoaren L momentu angeluarra eta E energia talkaren ondoren. Multzoaren masa m+M da, baina orbitaren ekuazioa ez da masa horren menpekoa. Bakarrik behar dira Eguzkiaren masa, M_s=1.98·10³⁰ kg, eta Lurraren orbita zirkularraren erradioa: R=1.49·10¹¹ m

E= -590.2·10⁶ (m+M) J
L=3.63·10¹⁵ (m+M) kgm²/s

Datu bi horiekin orbita eliptikoaren bi parametroak kalkula daitezke: ε eta d

d=0.996·10¹¹ m
ε=0.332

Orduan elipsearen ardatz nagusiaren erdia a=1.19·10¹¹ m., periodoa P=236.83 egun, eta ardatz nagusiaren inklinazioa b=180º. Elipsearen ardatz nagusia 2a izango da, 2·1.19·10¹¹ m= 2,38·10¹¹ m, ibilbide zirkularraren diametroa baino txikiagoa (2R=2.98·10¹¹m).

Talka zeiharra

Demagun meteoritoak Lurra jotzen duela α=60º angeluarekin, irudiak erakusten duen bezala. Aplika dezagun momentu linealaren kontserbazioa bi ardatzetan, X eta Y:

γVm·cosα=(γ+1)vx γVm·sinα+Vt=(γ+1)vy

Ezaguna bada Lurraren abiadura talkaren aurretik, V_t, orduan kalkula daitezke v_x eta v_y , eta hortik multzoaren v abiadura talkaren ondoren eta bere norabidea, φ. Hona hemen emaitzak: v=29458.6 m/s eta norabidea φ=87.3º.

Kalkula ditzagun multzoaren L momentu angeluarra eta E energia talkaren ondoren:

E= -452.4·10⁶ (m+M) J
L= 4.38·10¹⁵ (m+M) kgm²/s

Bi datu horiekin orbita eliptikoaren parametroak kalkula daitezke: ε eta d

d=1.456·10¹¹ m
ε=0.051

Elipse horren ardatz nagusia inklinatuta dago X ardatzarekiko: β=117º

Ardatz nagusiaren erdia a=1.459·10¹¹ m eta periodoa P=352.83 egun.

Elipsearen ardatz nagusia 2a izango da, 2·1.459·10¹¹ m= 2,918·10¹¹ m, ibilbide zirkularraren diametroa baino pixka bat txikiagoa (2R=2.98·10¹¹m).

Nola aldatzen den eszentrikotasuna α angeluarekin

Goiko irudiak erakusten du ez dela sinplea orbita eliptikoaren ε eszentrikotasunak meteoritoaren α angeluarekiko duen menpekotasuna. Irudi horretan abiadura bi aukeratu dira meteoritoarentzat: 30 km/s (gorriz) eta 90 km/s (urdinez). Ikusten denez, eszentrikotasunak maximo bat dauka α=270º denean, alegia, aurrez-aurreko talkan, baina baditu beste maximo eta minimo batzuk.

Kurba gorriak minimo bat du α=90º angelurako, alegia, meteoritoak Lurrari atzetik jotzen dionean, norabide eta noranzko berean.

Meteoritoak abiadura handiak dituenean (kurba urdina) minimo bi daude eta maximo sekundario bat, baina horren analisi zehatza erreferentzian aipatutako artikuluan egiten da.

Saiakuntza

Aukeran idatz daiteke:

• Meteoritoaren eta Lurraren arteko masen erlazioa, γ=m/M (M=5.98·10²⁴ kg), dagokion laukian idatziz.

• Meteoritoaren abiadura (km/s), alegia V_m , dagokion laukian idatziz.

• Meteoritoaren abiadurak X ardatzarekiko osatzen duen α angelua , desplazamendu-barrari saguaz eragiten.

Hasi botoia sakatu.

Talkaren ondoren multzoaren energia positiboa bada, programa gelditu egiten da eta horrek esan nahi du meteoritoaren masa edo/eta abiadura gutxitu behar direla.

Energia totala negatiboa bada, ikusten da Lurra orbita zirkularrean ari dela (marra urdinez) eta meteoritoa Lurrerantz hurbiltzen dela zuzenki (marra gorriz). Talka gertatzen da X ardatzaren gainean, eta Eguzkitik Lurraren orbitaren distantziara, alegia, R=1.49·10¹¹ m. Ondoren, multzoaren orbita berria ikusten da (marra beltzez).

Programa interaktiboak idatziz ematen ditu orbita berriaren eszentrikotasuna eta periodoa.

Ariketa gisa, finko manten bedi masen erlazioa, γ, eta meteoritoaren abiadura, V_m, eta alda bedi bakarrik meteoritoaren abiaduraren α angelua. Esaterako, aldatu α angelua 10º-tik 10º-ra eta ikus bedi nola aldatzen diren orbitaren e eszentrikotasuna eta periodoa. Emaitzak taula batean apuntatuz gero, lehen erakutsitako grafikoa irudika daiteke.