Zeruko gorputzen dinamika

Eguzkia-Lurra-Jupiter-Io multzoa nola mugitzen den

Io-ren periodoa itxuraz nola aldatzen den

Io-ren agerpenak atzeratuz doaz

Saiakuntza

Erreferentzia

Optikaren historia oso zaharra da, esaterako, antzinako Egipton ispiluak fabrikatzen zituzten. Lehen teleskopioa nork deskubritu zuen ez dago argi, baina Galileo Galileik berak fabrikatutako teleskopioarekin Jupiterren sateliteak deskubritu zituen 1610-eko urtarrilaren 7-an, eta urte horretan bertan Saturnoren eraztunak ere behatu omen zituen.

Mende horretan bertan, Pierre Fermat-ek errefrakzioaren legea enuntziatu zuen, denbora minimoaren baldintzatik abiatuta: argiak puntu batetik bestera bidaiatzeko jarraitzen duen bidea denbora minimokoa da, eta sarritan hori ez da distantzia minimoko ibilbide zuzena.

Geruza finetan argiak interferentzia fenomenoa sortzen du: Robert Hooke izan zen lehena, XVII mendean, fenomeno hori ikertzen eta proposatu zuen argia higidura bibratorio bizkor bat izan behar zuela eta abiadura handiz propagatu behar zuela.

Ondoren, fenomeno horretaz eta oro har argiaren izaeraz, Isaac Newton-ek aurkako iritzia izan zuen, eta teoria korpuskularraren aldekoa izan zen.

Hala ere, Christiaan Huygens-ek argiaren teoria ondulatorioa defendatu zuen, eta teoria horren arabera frogatu zituen argiaren hainbat fenomeno, besteak beste, islapena, errefrakzioa eta baita kaltzitazko kristaletan gertatzen den errefrakzio bikoitza.

Garai hartan argiaren izaera zalantzan zegoen: batzuentzat partikula-sorta bat zen eta besteentzat bibrazio bizkor bat zen, materia "arin" batean zehar propagatzen. Edozein kasutan, argiaren abiadura handiegia zen neurtu ahal izateko, baina 1676 urtean Ole Christensen Roemer-ek argiaren abiadura neurtu zuen ondoren azalduko dugun prozeduraren bitartez:

Roemer-en prozedura

Irudiak erakusten ditu Eguzkia, Lurra, Jupiter eta bere satelite bat, Io, planetaren inguruan orbitan. Eguzkiak argia igortzen du eta Jupiterrek itzala sortzen du bere atzean.

Io Jupiter-en satelite argitsuenetakoa da, bere orbita Jupiterren orbitaren ia plano berean dago eta 42.5 orduko periodoa du. Satelitea Jupiterren itzalean sartzen da, I puntuan, eta ezkutatuta mantentzen da harik eta itzaletik irteten den arte, E puntuan. Lurrean dagoen behatzaile batek Io agertzen eta desagertzen ikusten du Jupiterren itzalean (eklipseak) behin eta berriz.

Demagun Lurra A posizioan dagoela (Jupiterretik ahalik hurbilen) eta behatzaileak Io agertzen ikusten duela Jupiterren itzalaren atzealdetik. Io berriz desagertuko da eta berriro agertu orbita bat osatzen duenean, alegia 42.5 ordu geroago, eta horrela behin eta berriz.

Baina Lurra ere Eguzkiaren inguruan biraka ari da eta urte erdi geroago (sei hilabete) B posizioan egongo da, Jupiterretik ahalik eta urrutien (Jupiter ez da ia desplazatzen denbora horretan). Io-k N orbita burutu ondoren berriro ere agertuko da Jupiterren itzalaren atzealdetik. Espero daiteke Io agertzea N·T denbora iragan denean, alegia N periodo geroago. Behatzaileak begiratzen badu N·42.5 ordu geroago berriro ikusiko du Io agertzen. Hala espero du behintzat.

Baina Io ez da une zehatz horretan agertzen, espero bezala, beranduago baizik. Roemer-ek atzerapena neurtu zuen eta 990 segundo inguru atera zen. Atzerapen hori beste zenbait zientzialarik ere egiaztatu zuten.

Hona arrazonamendua: Lurretik Jupiterrera dagoen distantzia handitu egin da: AB=d=2UA. Atzerapen-denbora horretan argiak A-tik B-rainoko distantzia bete behar du, eta beraz argiaren abiadura kalkula daiteke zatitzen bada AB distantzia zati atzerapen-denbora:

Eguzkia-Lurra-Jupiter-Io multzoa nola mugitzen den

Aurreko atalean Roemer-en prozedura deskribatu da argiaren abiadura neurtzeko, baina ez da kontutan hartu Jupiter ere mugitzen dela, ezta itzalaren angelua ere aldatuz doala. Honako atal honetan zehazkiago aztertuko dugu efektu bi horiek ere kontutan hartuta.

Kalkuluak burutzeko, bai Lurraren eta baita Jupiterren orbitak zirkulartzat hartuko ditugu, zeren bien eszentrikotasunak nahiko txikiak baitira (Lurraren orbitarena 0.017 eta Jupiterrena 0.048).

Hona hemen bi planeta horien datu esanguratsuak:

Jupiterren erradioa ekuatorean: r_J=71398 km=71.398·10⁶ m

Ariketa:

Io-ren orbita, Jupiterren inguruan, zirkularra da eta erradioa: rIo=4.216·108 m. Jupiterren masa MJ=1.901·1027 kg. Kalkula bedi Io-ren periodoa. Datua: G=6.67·10-11 Nm2/kg2

Higidura zirkular uniformearen dinamika aplikatuz:

Hortik ateratzen da Io-ren abiadura orbitala: v=17342.2 m/s, eta beraz bere periodoa P_Io=152748.4 s=42.4 h=1.768 egun

Jupiter eta Lurra nola mugitzen diren

Lurra eta Jupiter Eguzkiaren inguruan mugitzen dira eta, arestian esan bezala, bi orbitak zirkulartzat hartuko ditugu:

• Lurraren orbitaren erradioa: R_T=1 UA eta periodoa P_T=365.26 egun (azpindizeak gaztelerazko "Tierra"-renak hartu dira).
• Jupiterren orbitaren erradioa: R_J=5.203 UA eta periodoa P_J=11.86 urte.

Eguzkian Erreferentzia-sistema bat finkatzen badugu, hona hemen nola adierazten diren planeta bien posizioak:

• Lurraren posizioa t aldiunean (R_T·cosθ_T, R_T·sinθ_T)
• Jupiterren posizioa t aldiunean (R_J·cosθ_J, R_J·sinθ_J)

Planeta bien zentroen arteko distantziari dei diezaiogun d:

Distantzia minimoa gertatzen da t=0 aldiunean, alegia bi planetak θ_T=θ_J=0 posizioetan daudenean, eta orduan: d=R_J-R_T=5.203-1.0=4.203 UA

Bi planeten arteko distantzia handituz doa denboran zehar, eta urte erdi geroago Lurra justu aurkako posizioan dago: θ_T=π.  Jupiter ordea, abiadura angeluar motelagoaz mugitzen da eta bere posizioa urte erdia iragan denean:  θ_J=2·π·½ urte/11.86 urte=π/11.86=0.264 rad=15.2º

Jupiterren eta Lurraren arteko distantzia une horretan ateratzen da: d=6.174 UA (Jupiter geldi mantentzen dela onartzen bada, distantzia hori pixka bat handiagoa da: d=5.203+1.0=6.203 UA.). Lehen atalean egin dugun sinplifikazioak (Jupiter geldi dagoela sei hilabeteotan, θ_J≈0) %0.5 inguruko errore txikia sortzen du, argiak ibilitako distantzian.

Io nola mugitzen den

Io satelitea orbita zirkularrean ari da: erradioa: r_Io=4.216·10⁸ m., izan ere, Jupiterrek Eguzkiaren inguruan duen orbitaren plano berean. Bestalde, Eguzkiak Jupiter argiztatzen du eta Jupiterrek itzala sortzen du. Itzalaren zabalera Jupiterren diametroa da: bi bider erradioa: 71398 km.

Io-k Jupiterren itzalaren barruan burutzen duen desplazamendu angeluarrari dei diezaiogun φ: (Jupiterren diametroa zati Io-ren orbitaren erradioa)

Io-ren abiadura angeluarra ezaguna da: bira bat burutzen du P_Io denboran, hau da, 2p radian 1.769 egunetan. Beraz, Io Jupiterren itzalean ezkutatuta egoten den denbora hau da:

Goiko irudiak erakusten duen bezala, Jupiter Eguzkiaren inguruan mugitzen den heinean bere itzalaren angelua (q _J) ere aldatuz doa.

Gainera Io ez da Jupiterren itzalean bat-batean agertzen eta desagertzen, tamaina handia duelako. Io-ren erradioa ekuatorean 1820 km da, eta beraz, bere diametroa aurreratzeko tardatzen duen denbora-tartea da, agertzen eta desagertzen tardatzen duena. Zatitzen bada Io-ren diametroa zati bere abiadura orbitala (aurreko ariketan kalkulatu da: v_Io=17342.2 m/s) denbora-tarte hori kalkulatzen da. Emaitza: 3.5 minutu.

Io-ren orbitaren erradioa (r_Io=4.216·10⁸ m) oso txikia da Lurraren eta Jupiterren arteko distantziaren aldean, baita distantzia hori minimoa denean ere (4.203UA=6.29·10¹¹ m), hortaz Io-tik Lurrerainoko distantzia (Jupiterren itzalaren atzetik agertzen den aldiunean) Jupiterretik Lurreraino dagoen distantziaren ia berdina da (%0.07-ko erroreaz edo gutxiago).

Io-ren periodoa itxuraz nola aldatzen den

Jupiterren periodoa Eguzkiaren inguruan 11.86 urte da, hortaz sei hilabetetan (behaketa biak egiten diren denbora-tartean) bere posizioa oso gutxi aldatzen da. Bestalde, Io-ren orbitaren erradioa oso txikia da Jupiter-Lurra distantziaren aldean.

Lurra Jupiterretik hurbilen dagoen unean, bien arteko distantzia hau da: 5.203 -1.0 = 4.203 UA. Aldiz, urrutien dagoen unean: 5.203+1.0=6.203 UA.

Eta Lurrak θ angelua osatzen duenean, Eguzkia-Jupiter norabidearekin, bien arteko distantzia hau da:

Lurraren abiadura angeluarra hau da: ω_T =2π/365.26 rad/egun, beraz bere posizioa: θ=ω_T·t

Demagun Io lehen aldiz Jupiterren itzaletik agertzen den aldiunean, Lurra justu Jupiterretik hurbilen dagoela, alegia θ=0 eta distantzia d₁=4.203 UA. Io-k Jupiterren inguruan orbita bat osorik burutu ondoren (P=1.769 egun), Lurra honako posizioan egongo da: θ=ω_T·P=0.03 rad=1.74º. Eta Jupiterretik Lurrerainoko distantzia: d₂=4.2036 UA

Lurretik behatuta, Io-ren bi agertzeen artean dagoen denbora-tartea (itxurazko periodoa) ez da izango P=1.769, luzeagoa baizik, lehen agertzetik bigarrenera distantzia luzatu delako (distantziaren luzapena: d₂-d₁), beraz periodoaren luzapena:

Hemen, c argiaren abiadura da, c=3.0·10⁸ m/s eta beraz, periodoaren luzapena kasu horretan Δt=0.286 s,

Hortik aurrera, konpara ditzagun Io-ren agertze kontsekutibo bi, nolanahikoak:

Dei diezaiogun lehen agertzeari i. Une horretan, Lurrak osatzen duen angelua, Eguzkia eta Jupiter lotzen dituen zuzenarekiko hau da: θ_i=i·ω_T·P, eta Jupiterretik Lurrerainoko distantzia:

Ondorengo agertzean, i+1, Lurrak osatzen duen angelua, Eguzkia eta Jupiter lotzen dituen zuzenarekiko hau da: θ_i+1=(i+1)·ω_T·P, eta Jupiterretik Lurrerainoko distantzia:

Io-ren bi agertze kontsekutiboen arteko denbora-tartea ez da izango justu P periodoa. Distantzia-aldaketaren eraginez (distantzia-aldaketa: d_i+1-d_i) periodoaren itxurazko aldaketa gertatuko da:

Urte erdian (sei hilabetetan) Io-k burutzen dituen orbita kopurua (agertze-kopurua) hau da: (365.26/2)/1.796=102

Ondorengo grafikoan erakusten da Io-ren periodoaren itxurazko aldaketa, Δt segundotan, sei hilabeteetan gertatzen diren agertze guztietan banan-banan (102etan). Irudiak erakusten duen kasua da, Lurra θ=0 posiziotik abiatuta (Eguzkiarekiko oposizioan). Grafikoan ikusten da Io-ren periodoaren itxurazko aldaketa handitzen doala zerotik hamabost segundo ingurura, Lurra Jupiterretik urruntzen ari den bitartean, θ=90º-ko posizioa atzematen duen arte (koadratura). Ondoren, periodoa berriro gutxitzen da θ=180º posizioa atzematen duen arte (konjuntzioa).

Ondorengo grafikoan ere Io-ren periodoaren itxurazko aldaketa erakusten da, Δt segundotan, baina Lurretik Jupiterrerainoko distantziaren menpe, eta sei hilabeteko tarte berean.

Ondorengo sei hilabeteetan, Lurra urrutiko posiziotik hurbileko posiziora hurbiltzen ari den bitartean, Io-ren itxurazko periodoa ez da luzeagoa, laburragoa baizik, eta atzerapena izan beharrean aurreratzen doa, edo atzerapen negatiboa. Aurreko grafiko horiek, justu simetrikoak lortzen dira.

Lurraren abiadura erlatiboa Jupiterrekiko

Io-ren periodoan behatzen den aldakuntza hori, beste ikuspegi ezberdin batetik ere plantea daiteke. Planeta bien abiadura erlatiboa, argiaren abiadurarekin konparatuz, aintzat hartzeko modukoa da, eta Doppler efektua plantea daiteke. Kalkulatu behar da Lurraren abiadura erlatiboa Jupiterrekiko baina bakarrik osagai bat da erabilgarria: bi planetak lotzen dituen zuzenaren norabideko osagaia. Abiadura bektore biak orbiten tangenteak dira, alegia orbiten erradioarekiko perpendikularrak.

Dei diezaiogun abiadura erlatiboari (bi planetak lotzen dituen zuzenaren norabidean) v_r, orduan irudiak erakusten duenez:

v_r=v_T·sin(α+θ)-v_J·sinα

Lurrak Eguzkiaren inguruan bira bat osatzeko 365.26 egun tardatzen dituenez, bere abiadura honakoa da:

Jupiterrek eguzkiaren inguruan bira bat osatzeko 11.86 urte tardatzen dituenez, bere abiadura honakoa da:

Ezagutzen bada θ angelua, α angelua kalkula daiteke:

Ondorengo grafikoak Doppler-efektua adierazten du, alegia Io-ren periodoaren itxurazko aldaketa, Δt segundotan, Lurrak eta Jupiterrek duten abiadura erlatiboaren menpe, bi planetak lotzen dituen zuzenaren norabidean, eta sei hilabeteko tartean.

Hasieran, q=0 posizioan, abiadura erlatiboa nulua da (biak lotzen dituen zuzenaren norabidean) eta gero urruntzen hasten dira, abiadura horrek maximo bat du, koadraturara iristen direnean, eta denbora-tarteak ere bai (zuzenaren goreneko puntua). Gero urruntzen segitzen dute baina abiadura erlatiboa gutxitzen doa eta denbora ere bai. Azkenean, q=p posizioan eta sei hilabete geroago, abiadura erlatiboa berriz ere baliogabetzen da. Izatez, ondoko grafikoan joanekoa eta etorrikoa kurba beretik egiten du, baina hemen pixka bat separatu dira hobeto ikusteko.

Ondorengo sei hilabeteetan, Lurra hurbiltzen ari den bitartean, abiadura erlatiboa negatiboa da, eta Io-ren itxurazko periodoa ez da luzeagoa, laburragoa baizik. Aurreko grafiko hori, justu simetrikoa lortzen da.

Io-ren agerpenak atzeratuz doaz

Oso zaila da 15 segundoko denbora-tarte bat neurtzea Io-ren agertze kontsekutibo biren artean (42.5 ordutan) baina errazagoa da sei hilabete geroago neurtzea, atzerapena pilatzen joan delako.

Lehen behaketa gertatzen bada Lurra eta Jupiter ahalik hurbilen dauden unean: d₁=5.203-1.0=4.203 UA;

Io-ren periodoa ezagututa (P=1.796 egun) beste behaketa bat prestatu daiteke, Io-k "i" periodo burutu dituenean eta, t=i·P aldiunean, itxaroten egon ea noiz agertzen den Io Jupiterren itzalaren atzealdetik. Izan ere, Lurra Jupiterretik urruntzen ari denez, Io-ez da une horretan agertzen beranduago baizik, eta Δt atzerapenak honakoa balio du:

Esaterako, justu Lurra Jupiterren aurkako posiziora iristen denean, θ=i·ω_T·P≈π=180º, i=102, eta Δt=997 s=16.6 min. Eta hori neurtzeko errazagoa da.

Ondorengo sei hilabeteetan, Lurra urrutiko posiziotik hurbileko posiziora hurbiltzen ari den bitartean, Io atzeratzen joan beharrean aurreratzen doa, eta aurreko grafiko hori justu simetrikoa lortzen da.

Saiakuntza

Applet-aren goiko aldean Lurra eta Jupiter adierazten dira euren orbitetan mugitzen, Eguzkiaren inguruan, eta urte erdiko tartean.

Azpian, Io adierazten da Jupiterren inguruan orbitan eta bere itzaletik pasatzen behin eta berriz.

Jupiterren itzalean ezkutatuta egon ondoren, Io agertzen den bakoitzean programak zenbatu egiten du eta aldiunea apuntatzen du (egunak, orduak eta minutuak). "Zero" aldiunea finkatzen da Io lehen aldiz agertzen denean. Programak uneoro Lurraren eta Jupiterren posizio angeluarrak ere adierazten ditu gradutan.

Simulazio honek badauka kontutan Jupiter mugitzen ari dela bere orbitan sei hilabetetan zehar, eta baita Lurraren eta Jupiterren orbitak eliptikoak direla.

Leihatilaren azpiko aldean, grafiko batean adierazten da Io-ren agertzeen atzerapena. Atzerapena pilatzen joaten da eta azken behaketan, justu Lurra Jupiterretik ahalik urrutien dagoen unean, ia 1000 segundotaraino iristen da (997 s).

Roemer-ek, argiaren abiadura kalkulatzeko, pentsatu zuen Jupiter ia ez dela mugitzen sei hilabeteotan zehar, eta atzerapenaren kausa soilik zela Lurra urruntzen ari zela. Baldintza horietan argiak ibili behar duen bidea justu Lurraren orbitaren diametroa da, alegia 2UA. Hortaz, argiaren abiadura hau da: