Solido zurruna

Momentu angeluarra
kontserbatzen

Disko bi akoplatzen (I)

Disko bi akoplatzen (II)

Indar zentral  bat
hagatxo batean

Patinatzaile bat biraka

Aurrez aurreko talka
elastikoaren analogia

Pendulu balistikoa (II)

Kutxa bat irauli

Talka inelastikoa
bala-disko biratzailea

Hagatxo batez
abiadura transmititzen

Kontserbazioak:
momentu lineala eta
momentu angeluarra

Disko-horma talka

Diskoa-diskoa talka (I)

Diskoa-diskoa talka (II)

Talkak aire-mahai batean: momentu lineala eta angeluarra kontserbatzen

Pilota bat pala batekin jotzea

Erreferentziak

Orri honetan bi talka-mota aztertzen dira, eta bietan kontserbatzen da momentu angeluarra. Gainera, lehenengoan momentu lineala ere kontserbatzen da, eta bigarrenean, beti ez, baina baldintza konkretu batzuetan ere bai.

• Lehen talka-mota da, bala batek disko bat jotzen duela eta itsatsita geratzen dela, baina dena gertatzen da aire-mahai baten gainean, alegia, pisurik eta marruskadurarik gabe.

• Bigarren talka-mota da, pilota bat pala batekin jotzen denean.

Talkak aire-mahai batean: momentu lineala eta angeluarra kontserbatzen

Aire mahai-batek zulotxo ugari ditu eta bertatik airea ateratzen da, gorantz eta bertikalki, horrela, mahai gainean kokatzen den edozein gorputz aske mugitzen da mahaian zehar irristatuz, marruskadurarik gabe.

Horrelako mahai batean, disko bat kokatzen da pausagunean, bala batekin tiro egiten zaio eta talkaren ondoren, biak itsatsita geratzen dira. Balaren masa m da, bere abiadura u, diskoaren masa M eta erradioa R, ondorengo irudiak erakusten duen bezala.

• Balak diskoaren erdian jotzen badu, multzo osoa V_c abiaduraz desplazatzen da, baina ez du biratzen. Balaren momentu linealaren zati bat diskora transferitu da.

• Aldiz, balak zentrotik x distantziara jotzen badu, multzoaren abiadura lehengo bera da, V_c , baina gainera biratu egiten du, ω abiadura angeluarraz, ondorengo irudiak erakusten duen bezala. Kasu honetan, balaren momentu linealaz gain, diskora momentu angeluarra ere transferitu da.

Balak eta diskoak osatzen duten multzoa isolatua da, kanpo-indar erresultantea nulua delako, eta momentu erresultantea ere bai. Horren ondorioz, momentu lineala eta momentu angeluarra, biak kontserbatzen dira.

• Aplikatzen bada, momentu linealaren kontserbazio-printzipioa multzoaren translazio-abiadura kalkula daiteke, V_c:

mu=(M+m)V_c 

• Eta aplikatzen bada, momentu angeluarraren kontserbazio-printzipioa multzoaren errotazioaren ω abiadura angeluarra kalkula daiteke:

mu·x=(I_c+m·x²)ω

• Bestalde, kalkula daiteke talkan galdutako energia Q , amaierako eta hasierako energia zinetikoak kenduz:

Adibidea

• Balaren hasierako abiadura, u=1.0 m/s.

• Balaren masa, m=0.25 kg.

• Diskoaren masa, M=1.5 kg

• Diskoaren erradioa, R=0.5 m.

• Balaren talka-parametroa, x=0.3.

Disko baten inertzia-momentua bere zentrotik pasatzen den ardatzarekiko:

Ekuazioak

• Momentu linealaren kontserbazioa:

0.25·1.0=(1.5+0.25)·V_c,  V_c=0.143 m/s

• Momentu angeluarraren kontserbazioa:

0.25·1.0·0.3=(0.1875+0.25·0.3²)ω,  ω=0.357 rad/s

• Talkaren energia-balantzea:

Saiakuntza

Aukeran idatz daitezke:

• Balaren masa, m, dagokion kontrolean idatziz.
• Diskoaren masa, M, dagokion kontrolean idatziz.
• Diskoaren erradioa finkotzat hartu da: 0.5 m.
• Balaren abiadura ere finkotzat hartu da: u=1 m/s.

Berria botoia sakatu.

Leihatilako zirkulu gorriak bala adierazten du, eta saguarekin mugi daiteke gora eta behera, bere x talka-parametroa aldatzeko.

Hasi botoia sakatu.

Bala diskorantz abiatzen da eta bertan itsasten da, zentrotik x distantziara. Talkaren ondoren, multzo osoak mugitzen segitzen du translazio eta errotazioaz.

Eskumako eta goiko aldean, programak idatziz  erakusten ditu honako datuak:

• Diskoaren translazioaren abiadura: V_c .
• Multzoaren errotazioaren abiadura angeluarra: ω.

Pilota bat pala batekin jotzea

Ondoko irudiak erakusten du, orokorrean, pala batek pilota nola jotzen duen, bi aldiunetan: jo baino lehen eta ondoren. Pilotak m masa du eta vo abiadura, eta palan jotzen du, bere masa-zentrotik x distantziara. ω eta ω0 dira palaren abiadura angeluarrak talka baino lehen eta ondoren. Talkaren ondoren palaren masa-zentroaren abiadura Vc da.

Kalkuluak errazteko, eman dezagun pala habe bat dela, M masaduna eta L luzeraduna, eta hasieran pausagunean dagoela. Bestalde, pilota partikulatzat har dezakegu, m masa eta u abiaduraduna, eta pala jotzen duela bere zentrotik x distantziara. Pala aske dago, alegia, ez dauka inolako loturarik.

Hasieran, pala pausagunean dago eta pilotak jotzen du bere zentrotik x distantziara, irudiak erakusten duen bezala. Amaieran, pilotak v abiadura dauka, palak, aldiz, ω abiadura angeluarra bere masa-zentroaren inguruan eta, aldi berean, masa zentroa Vc translazio-abiaduraz desplazatzen da.

Pilotak eta palak osatzen duten bikotea, bikote isolatua da, alegia, kanpo indarren erresultantea nulua dela eta kanpo indarren momentu erresultantea ere bai. Hala bada, momentu lineal totala eta momentu angeluar totala kontserbatzen dira:

• Momentu linealaren kontserbazioa

mu=MV_c+mv

• Momentu angeluarraren kontserbazioa

mu·x=I_cω+mv·x

hemen, I_c=ML²/12 da, alegia, hagatxo baten inertzia momentua bere zentrotik pasatzen den ardatz perpendikular batekiko.

Orduan ekuazio bi ditugu baina hiru ezezagun: v, ω eta V_c.

• Bestalde, talkaren energiaren balantzea kalkulatzen bada, hau da, hasierako eta amaierako energia zinetikoak:

Eta Q deitu diogu talkan galdutako energiari. Orokorrean, Q negatiboa izan ohi da, amaierako energia hasierakoa baino txikiagoa delako.

Baina kasu berezi bat da talka erabat elastikoa denean, Q=0. Kasu horretan, energia totala kontserbatzen da eta energiaren ekuazioa lagungarria da hiru ezezagunak kalkulatzeko (v, ω eta V_c ). Bestela, Q ezezaguna bada, oraindik dugu ezezagun bat gehiago ekuazioak baino.

Itzultze-koefizientearen definizioa (e) hirugarren ekuazioa izan daiteke, izan ere, abiadura erlatiboen erlazioa delako eta beraz, energia-galeraz erlazionatuta dagoelako. Talka elastikoa denean e=1 eta erabat inelastikoa denean e=0.

Demagun habea osoa partikula bat dela, eta pausagunean dagoela justu pilotak jotzen duen puntuan. Pilotak u abiadura du eta m masa. Talkaren ondoren, pilotak v abiadura du eta, aldiz, pala ordezkatzen duen partikulak V_c+ ω·x abiadura du, izan ere, palaren translazio-abiadura eta errotazio-abiaduraren batura.

Hasierako abiadura erlatiboa: u-0 Amaierako abiadura erlatiboa: v-(Vc+ ω·x) Itzultze-koefizientea honela definitzen da: v-(Vc+ ω·x)= −e(u-0)

Ezagutzen bada talka horretako itzultze-koefizientea, e, orduan, hiru ekuazio ditugu hiru ezezagunak kalkulatzeko. Zenbait kalkulu burutu ondoren:

• Hagatxoaren ω abiadura angeluarra, bere zentrotik pasatzen den ardatzarekiko:

• Hagatxoaren zentroaren V_c translazio-abiadura:

• Eta pilotaren v abiadura talkaren ondoren:

v= −eu+V_c+ω·x

Ondoren, energia zinetikoak zehazki kalkula daitezke, palarena eta pilotarena, talka baino lehen eta ondoren.

Kasu bereziak

• Partikula-hagatxoa talka inelastikoa

Demagun partikularen eta hagatxoaren arteko talkan biak gelditzen direla abiadura berdinarekin talkaren ondoren (itsatsita geldituko balira bezala): Partikularen hasierako abiadura u da. Partikularen amaierako abiadura hau da: v=Vc+ωx, justu hagatxoaren inpaktu-puntuaren abiadura bera.

1.      Momentu linealaren kontserbaziotik lehen ekuazioa lortzen da:
mu=MV_c+m(V_c+ωx)

2.      Momentu angeluarraren kontserbaziotik bigarren ekuazioa:
mu·x=I_cω+m(V_c+ωx)x

Eskumako ataleko lehen terminoa palaren momentu angeluarra da eta bigarrena pilotarena.

Orduan ekuazio bi ditugu eta bi ezezagun: V_c eta ω.

Emaitza horiek eurak lortzen dira, emaitza orokorretan ordezkatzen bada e=0 .

• La partícula impacta en el c.m. de la varilla

Supongamos que x=0, la partícula choca con el c.m. de la varilla. Esto es equivalente al choque de dos partículas una de masa m y velocidad u y otra de masa M inicialmente en reposo. Las ecuaciones que describen este choque son

• Conservación del momento lineal

mu=MV_c+mv

• Definición de coeficiente de restitución

v-V_c=-e·u

Despejamos las incógnitas v y V_c

v=V_c-eu

Que como vemos son las ecuaciones deducidas anteriormente con x=0.

Ejemplos

• Velocidad inicial de la partícula u=1.0 m/s

• Masa de la partícula m=0.25 kg

• Masa de la varilla M=1.5 kg

• Longitud de la varilla L=1.0 m

• Coeficiente de restitución e=0.7

• Parámetro de impacto de la partícula x=0.3

El momento de inercia de la varilla respecto de un eje perpendicular a la varilla que pasa por su c.m. es

Ecuaciones

1. Principio de conservación del momento lineal

0.25·1.0=1.5·V_c+0.25·v

2. Principio de conservación del momento angular

0.25·1.0·0.3=0.125ω+0.25v·0.3

3. Coeficiente de restitución

v-(V_c+ ω·0.3)=-0.7(1.0-0)

Resolvemos el sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas, y calculamos después del choque

• la velocidad de la partícula  v=-0.262 m/s,

• la velocidad del centro de masas de la varilla  V_c=0.210 m/s,

• la velocidad angular de rotación de la varilla alrededor de un eje perpendicular a la varilla que pasa por su c.m, ω=0.757 rad/s

Balance energético de la colisión

Ejemplo 2:

Cambiamos el coeficiente de restitución e=1

v=-0.485 m/s, V_c=0.247 m/s,  ω=0.891 rad/s

Balance energético de la colisión, Q=0 

Actividades

Se introduce

• La masa m de la partícula, en el control de edición titulado Masa partícula.
• La masa de la varilla M, en el control de edición titulado Masa varilla
• El coeficiente de restitución e, actuando en la barra de desplazamiento titulada Coef. de restitución.
• La longitud de la varilla L se mantiene fija e igual a 1 m.
• La velocidad u de la partícula incidente se mantiene fija e igual a 1 m/s.

Se pulsa el botón titulado Nuevo

Con el puntero del ratón, se arrastra la partícula incidente de color rojo, para fijar el valor del parámetro de impacto x.

Se pulsa el botón titulado Empieza

La partícula incidente se mueve hacia la varilla. Choca y observamos el movimiento de la partícula incidente (de color rojo) después del choque, y el movimiento de traslación y de rotación de la varilla.

En la parte superior derecha, se nos proporciona los datos relativos a las velocidades

• v de la partícula después del choque
• V_c de traslación del c.m. de la varilla
• ω de rotación de la varilla alrededor de un eje que pasa por el c.m.

En la parte inferior izquierda, se representa un diagrama en forma de tarta que muestra como se distribuye la energía después del choque. Los sectores representan:

• La energía cinética de la partícula incidente después del choque E₁=mv²/2 (en color rojo).
• La energía cinética de traslación del c.m. de la varilla E₂=MV_c²/2 (en color azul).
• La energía cinética de rotación de la varilla E₃=I_cω²/2 (en color gris)

Si el choque es elástico, la energía inicial es igual a la final. Si el choque no es elástico la energía inicial es mayor que la final. Un círculo de mayor radio de color gris claro indica la energía inicial, y el de menor radio dividido en sectores la energía final.