Estudio de las funciones
Función exponencial y logarítmica
El dominio de la función exponencial ex es de (-∞, +∞). La función exponencial tiende a cero cuando x tiende a -∞. Para x=0, ex=1
El dominio de la función inversa ln(x) es (0, +∞). Cuando x tiende a cero ln(x) tiende a -∞.
En la gráfica, vemos la relación de simetría entre la función exponencial y su inversa, la función logarítmica
hold on fplot(@exp,[-3,1.5]) fplot(@log,[0.01,5]) line([-2,4],[-2,4],'lineStyle','--','color','k') hold off grid on xlim([-2,4]) legend('e^x','ln(x)', 'location', 'northwest') ylabel('f(x)') title('Función exponencial y logarítmica')
Funciones trigonométricas
La función seno y coseno son periódicas de periodo 2π
sin(θ+2π)=sin(θ)
cos(θ+2π)=cos(θ)
El seno y coseno son complementarios
sin(π/2-θ)=cos(θ)
cos(π/2-θ)=sin(θ)

En una circunferencia de radio unidad, las proyección del radio que forma un ángulo θ con el eje X, sobre dicho eje es el coseno del ángulo, y la proyección sobre el eje Y es el seno del ángulo, tal como se muestra en la figura
Por el teorema de Pitágoras
sin2θ+cos2θ=1
La función seno es impar sin(θ)=-sin(-θ) y la función coseno es par, cos(θ)=cos(-θ)
hold on fplot(@sin,[-pi/2,5*pi/2]) fplot(@cos,[-pi/2,5*pi/2]) hold off set(gca,'XTick',-pi/2:pi/2:5*pi/2) set(gca,'XTickLabel',{'-\pi/2','0','\pi/2','\pi','3\pi/2','2\pi','5\pi/2'}) set(gca,'YTick',-1:0.25:1) grid on legend('sin(x)','cos(x)','location','north') ylabel('f(x)') title('Funciones trigonométricas')
La función tangente tan(x)=sin(x)/cos(x), es periódica de periodo π, tan(θ+π)=tan(θ)
La función tangente tiene asíntotas verticales en π/2, -π/2, 3π/2...
fplot(@tan,[-pi,pi]) set(gca,'XTick',-pi:pi/2:pi) set(gca,'XTickLabel',{'-\pi','-\pi/2','0','\pi/2','\pi'}) grid on ylim([-3,3]) xlabel('x') ylabel('f(x)') title('Funciones trigonométricas')
Algunas relaciones entre las funciones trigonométricas
- sin(A+B)=sinA·cosB+cosA·sinB
- sin(A-B)=sinA·cosB-cosA·sinB
- cos(A+B)=cosA·cosB-sinA·sinB
- cos(A-B)=cosA·cosB+sinA·sinB
- sin(2A)=2sinA·cosA
- cos(2A)=cos2A-sin2A
- sin2A=(1-cos(2A))/2
- cos2A=(1+cos(2A))/2
Funciones inversas
Inversa del seno
Su dominio va de [-1,1],
fplot(@asin,[-1,1]) grid on xlabel('x') ylabel('f(x)') set(gca,'YTick',-pi/2:pi/4:pi/2) set(gca,'YTickLabel',{'-\pi/2','-\pi/4','0','\pi/4','\pi/2'}) set(gca,'XTick',-1:0.25:1) title('Inversa del seno')
Inversa del coseno
Su dominio va de [-1,1],
fplot(@acos,[-1,1]) grid on xlabel('x') ylabel('f(x)') set(gca,'YTick',0:pi/4:pi) set(gca,'YTickLabel',{'0','\pi/4','\pi/2','3\pi/4','\pi'}) set(gca,'XTick',-1:0.25:1) title('Inversa del coseno')
Inversa de la tangente
Su dominio va de (-∞,+∞),
fplot(@atan,[-10,10]) grid on xlabel('x') ylabel('f(x)') set(gca,'YTick',-pi/2:pi/4:pi/2) set(gca,'YTickLabel',{'-\pi/2','-\pi/4','0','\pi/4','\pi/2'}) set(gca,'XTick',-10:5:10) title('Inversa de la tangente')
Funciones hiperbólicas
El seno hiperbólico
Es una función impar sinh(-x)=-sinh(x)
fplot(@sinh,[-3,3]) grid on xlabel('x') ylabel('f(x)') title('Seno hiperbólico')
El coseno hiperbólico
Es una función par cosh(-x)=cosh(x)
fplot(@cosh,[-3,3]) grid on xlabel('x') ylabel('f(x)') title('Coseno hiperbólico')
La tangente hiperbólica
La función y=tanh(x), es una función impar que tiene dos asíntotas horizontales cuando x tiende hacia +∞ y tiende a 1, cuando x tiende hacia -∞ y tiende a -1
fplot(@tanh,[-3,3]) grid on xlabel('x') ylabel('f(x)') title('Tangente hiperbólica')
Algunas relaciones entre las funciones hiperbólicas
- cosh2A-sinh2A=1
- sinh(A+B)=sinhA·coshB+coshA·sinhB
- sinh(A-B)=sinhA·coshB-coshA·sinhB
- cosh(A+B)=coshA·coshB+sinhA·sinhB
- cosh(A-B)=coshA·coshB-sinhA·sinhB
- sinh(2A)=2sinhA·coshA
- cosh(2A)=cosh2A+sinh2A
- sinh2A=(cosh(2A)-1)/2
- cosh2A=(1+cosh(2A))/2
Funciones inversas
Inversa del seno hiperbólico
Dado que la exponencial es un número positivo solamente hay una raíz de la ecuación de segundo grado
fplot(@asinh,[-10,10]) grid on xlabel('x') ylabel('f(x)') title('Inversa del seno hiperbólico')
Alternativamente, obtenemos la misma gráfica con el código
f=@(x) log(x+sqrt(1+x.^2)); fplot(f,[-10,10]) grid on xlabel('x') ylabel('f(x)') title('Inversa del seno hiperbólico')
Inversa del coseno hiperbólico
Dado que la exponencial es un número positivo solamente hay una raíz de la ecuación de segundo grado
fplot(@acosh,[1,10]) grid on xlabel('x') ylabel('f(x)') title('Inversa del coseno hiperbólico')
Alternativamente, obtenemos la misma gráfica con el código
f=@(x) log(x+sqrt(x.^2-1)); fplot(f,[1,10]) grid on xlabel('x') ylabel('f(x)') title('Inversa del seno hiperbólico')
Inversa de la tangente hiperbólica
fplot(@atanh,[-1.5,1.5]) grid on xlabel('x') ylabel('f(x)') title('Inversa de la tangente hiperbólica')
Alternativamente, obtenemos la misma gráfica con el código
f=@(x) log((1+x)./(1-x))/2; fplot(f,[-1.5,1.5]) grid on xlabel('x') ylabel('f(x)') title('Inversa de la tangente hiperbólica')