Estudio de las funciones

Función exponencial y logarítmica

El dominio de la función exponencial e^x es de (-∞, +∞). La función exponencial tiende a cero cuando x tiende a -∞. Para x=0, e^x=1

El dominio de la función inversa ln(x) es (0, +∞). Cuando x tiende a cero ln(x) tiende a -∞.

En la gráfica, vemos la relación de simetría entre la función exponencial y su inversa, la función logarítmica

hold on
fplot(@exp,[-3,1.5])
fplot(@log,[0.01,5])
line([-2,4],[-2,4],'lineStyle','--','color','k')
hold off
grid on
xlim([-2,4])
legend('e^x','ln(x)', 'location', 'northwest')
ylabel('f(x)')
title('Función exponencial y logarítmica')

Funciones trigonométricas

La función seno y coseno son periódicas de periodo 2π
sin(θ+2π)=sin(θ)
cos(θ+2π)=cos(θ)

El seno y coseno son complementarios
sin(π/2-θ)=cos(θ)
cos(π/2-θ)=sin(θ)

En una circunferencia de radio unidad, las proyección del radio que forma un ángulo θ con el eje X, sobre dicho eje es el coseno del ángulo, y la proyección sobre el eje Y es el seno del ángulo, tal como se muestra en la figura

Por el teorema de Pitágoras

sin²θ+cos²θ=1

La función seno es impar sin(θ)=-sin(-θ) y la función coseno es par, cos(θ)=cos(-θ)

hold on
fplot(@sin,[-pi/2,5*pi/2])
fplot(@cos,[-pi/2,5*pi/2])
hold off
set(gca,'XTick',-pi/2:pi/2:5*pi/2)
set(gca,'XTickLabel',{'-\pi/2','0','\pi/2','\pi','3\pi/2','2\pi','5\pi/2'})
set(gca,'YTick',-1:0.25:1)
 
grid on
legend('sin(x)','cos(x)','location','north')
ylabel('f(x)')
title('Funciones trigonométricas')

La función tangente tan(x)=sin(x)/cos(x), es periódica de periodo π, tan(θ+π)=tan(θ)

La función tangente tiene asíntotas verticales en π/2, -π/2, 3π/2...

fplot(@tan,[-pi,pi])
set(gca,'XTick',-pi:pi/2:pi)
set(gca,'XTickLabel',{'-\pi','-\pi/2','0','\pi/2','\pi'})
 
grid on
ylim([-3,3])
xlabel('x')
ylabel('f(x)')
title('Funciones trigonométricas')

Algunas relaciones entre las funciones trigonométricas

\begin{array}{l} \sin (A \pm B) = \sin A \cos B \pm \cos A \sin B \\ \cos (A \pm B) = \cos A \cos B \mp \sin A \sin B \\ \tan (A \pm B) = \frac{\tan A \pm \tan B}{1 \mp \tan A \tan B} \end{array}

\begin{array}{l} \cos A \cos B = \frac{1}{2} (\cos (A + B) + \cos (A - B)) \\ \sin A \cos B = \frac{1}{2} (\sin (A + B) + \sin (A - B)) \\ \sin A \sin B = \frac{1}{2} (\cos (A - B) - \cos (A + B)) \end{array}

\begin{array}{l} \cos^{2} A + \sin^{2} A = 1 \\ \sin 2 A = 2 \sin A \cos A \\ \cos 2 A = \cos^{2} A - \sin^{2} A \\ \tan 2 A = \frac{2 \tan A}{1 - \tan^{2} A} \end{array}

\begin{array}{l} \sin A + \sin B = 2 \sin \frac{A + B}{2} \cos \frac{A - B}{2} \\ \sin A - \sin B = 2 \cos \frac{A + B}{2} \sin \frac{A - B}{2} \\ \cos A + \cos B = 2 \cos \frac{A + B}{2} \cos \frac{A - B}{2} \\ \sin A - \sin B = - 2 \sin \frac{A + B}{2} \sin \frac{A - B}{2} \end{array}

\begin{array}{l} \cos^{2} A = \frac{1}{2} (1 + \cos 2 A) \\ \sin^{2} A = \frac{1}{2} (1 - \cos 2 A) \end{array}

Funciones inversas

Inversa del seno

Su dominio va de [-1,1],

fplot(@asin,[-1,1])
grid on
xlabel('x')
ylabel('f(x)')
set(gca,'YTick',-pi/2:pi/4:pi/2)
set(gca,'YTickLabel',{'-\pi/2','-\pi/4','0','\pi/4','\pi/2'})
set(gca,'XTick',-1:0.25:1)
title('Inversa del seno')

Inversa del coseno

Su dominio va de [-1,1],

fplot(@acos,[-1,1])
grid on
xlabel('x')
ylabel('f(x)')
set(gca,'YTick',0:pi/4:pi)
set(gca,'YTickLabel',{'0','\pi/4','\pi/2','3\pi/4','\pi'})
set(gca,'XTick',-1:0.25:1)
title('Inversa del coseno')

Inversa de la tangente

Su dominio va de (-∞,+∞),

fplot(@atan,[-10,10])
grid on
xlabel('x')
ylabel('f(x)')
set(gca,'YTick',-pi/2:pi/4:pi/2)
set(gca,'YTickLabel',{'-\pi/2','-\pi/4','0','\pi/4','\pi/2'})
set(gca,'XTick',-10:5:10)
title('Inversa de la tangente')

Funciones hiperbólicas

El seno hiperbólico

$\sinh (x) = \frac{e^{x} - e^{- x}}{2}$

Es una función impar sinh(-x)=-sinh(x)

fplot(@sinh,[-3,3])
grid on
xlabel('x')
ylabel('f(x)')
title('Seno hiperbólico')

El coseno hiperbólico

$\cosh (x) = \frac{e^{x} + e^{- x}}{2}$

Es una función par cosh(-x)=cosh(x)

fplot(@cosh,[-3,3])
grid on
xlabel('x')
ylabel('f(x)')
title('Coseno hiperbólico')

La tangente hiperbólica

$\tanh (x) = \frac{e^{x} - e^{- x}}{e^{x} + e^{- x}}$

La función y=tanh(x), es una función impar que tiene dos asíntotas horizontales cuando x tiende hacia +∞ y tiende a 1, cuando x tiende hacia -∞ y tiende a -1

fplot(@tanh,[-3,3])
grid on
xlabel('x')
ylabel('f(x)')
title('Tangente hiperbólica')

Algunas relaciones entre las funciones hiperbólicas

\begin{array}{l} \sinh (x \pm y) = \sinh x \cosh y \pm \cosh x \sinh y \\ \cosh (x \pm y) = \cosh x \cosh y \pm \sinh x \sinh y \\ \tanh (x \pm y) = \frac{\tanh x \pm \tanh y}{1 \pm \tanh x \tanh y} \end{array}

\begin{array}{l} \cosh x \cosh y = \frac{1}{2} (\cosh (x + y) + \cosh (x - y)) \\ \sinh x \cosh y = \frac{1}{2} (\sinh (x + y) + \sinh (x - y)) \\ \sinh x \sinh y = \frac{1}{2} (\cosh (x + y) - \cosh (x - y)) \end{array}

\begin{array}{l} \cosh^{2} x - \sinh^{2} x = 1 \\ \sinh 2 x = 2 \sinh x \cosh x \\ \cosh 2 x = \cosh^{2} x + \sinh^{2} x \\ \tanh 2 x = \frac{2 \tanh x}{1 + \tanh^{2} x} \end{array}

\begin{array}{l} \sinh x + \sinh y = 2 \sinh \frac{x + y}{2} \cosh \frac{x - y}{2} \\ \sinh x - \sinh y = 2 \cosh \frac{x + y}{2} \sinh \frac{x - y}{2} \\ \cosh x + \cosh y = 2 \cosh \frac{x + y}{2} \cosh \frac{x - y}{2} \\ \cosh x - \cosh y = 2 \sinh \frac{x + y}{2} \sinh \frac{x - y}{2} \end{array}

\begin{array}{l} \cosh^{2} x = \frac{1}{2} (\cosh 2 x + 1) \\ \sinh^{2} x = \frac{1}{2} (\cosh 2 x - 1) \end{array}

Funciones inversas

Inversa del seno hiperbólico

$\begin{array}{l} x = \sinh y \\ x = \frac{e^{y} - e^{- y}}{2} \\ {(e^{y})}^{2} - 2 x e^{y} - 1 = 0 \\ e^{y} = x + \sqrt{1 + x^{2}} \\ y = \ln (x + \sqrt{1 + x^{2}}) \end{array}$

Dado que la exponencial es un número positivo solamente hay una raíz de la ecuación de segundo grado

fplot(@asinh,[-10,10])
grid on
xlabel('x')
ylabel('f(x)')
title('Inversa del seno hiperbólico')

Alternativamente, obtenemos la misma gráfica con el código

f=@(x) log(x+sqrt(1+x.^2));
fplot(f,[-10,10])
grid on
xlabel('x')
ylabel('f(x)')
title('Inversa del seno hiperbólico')

Inversa del coseno hiperbólico

$\begin{array}{l} y = \cosh^{- 1} x \\ x = \cosh y \\ x = \frac{e^{y} + e^{- y}}{2} \\ {(e^{y})}^{2} - 2 x e^{y} + 1 = 0 \\ e^{y} = x + \sqrt{x^{2} - 1} \\ y = \ln (x + \sqrt{x^{2} - 1}) \end{array}$

Dado que la exponencial es un número positivo solamente hay una raíz de la ecuación de segundo grado

fplot(@acosh,[1,10])
grid on
xlabel('x')
ylabel('f(x)')
title('Inversa del coseno hiperbólico')

Alternativamente, obtenemos la misma gráfica con el código

f=@(x) log(x+sqrt(x.^2-1));
fplot(f,[1,10])
grid on
xlabel('x')
ylabel('f(x)')
title('Inversa del seno hiperbólico')

Inversa de la tangente hiperbólica

$\begin{array}{l} y = \tanh^{- 1} x \\ x = \frac{e^{y} - e^{- y}}{e^{y} + e^{- y}} \\ {(e^{y})}^{2} = \frac{1 + x}{1 - x} \\ y = \frac{1}{2} \ln (\frac{1 + x}{1 - x}) \end{array}$

fplot(@atanh,[-1.5,1.5])
grid on
xlabel('x')
ylabel('f(x)')
title('Inversa de la tangente hiperbólica')

Alternativamente, obtenemos la misma gráfica con el código

f=@(x) log((1+x)./(1-x))/2;
fplot(f,[-1.5,1.5])
grid on
xlabel('x')
ylabel('f(x)')
title('Inversa de la tangente hiperbólica')