La función de Airy, Ai(x) y la función relacionada Bi(x) son soluciones linealmente independientes de la ecuación diferencial

${\displaystyle \frac{d^{2}y}{d{x}^2}-xy=0}$

Reprentamos las funciones de Airy, Ai(x) y Bi(x)

• La función Ai(x) se obtiene, llamando a la función MATLAB, airy(0,x) o airy(x)
• La función Bi(x) se obtiene, llamando a la función, airy(2,x)

hold on
fplot(@(x) airy(x), [-10,1])
fplot(@(x) airy(2,x), [-10,1])
hold off
grid on
xlabel('x')
legend('Ai(x)','Bi(x)','Location','NorthWest')

Aproximaciones

${\displaystyle \begin{array}{l}\text{Ai}(x)\approx \frac{1}{2\sqrt{\pi }{x}^{1/4}}\exp \left(-\frac{2}{3}{x}^{3/2}\right),x>0\\ \text{Ai}(x)\approx \frac{1}{\sqrt{\pi }{\left(-x\right)}^{1/4}}\sin \left(\frac{2}{3}{\left(-x\right)}^{3/2}+\frac{\pi }{4}\right),x<0\end{array}}$

hold on
fplot(@(x) airy(x), [-8,4])
f=@(x) exp(-2*x.^(3/2)/3)./(2*sqrt(pi)*x.^(1/4)); %x>0
g=@(x) sin(2*(-x).^(3/2)/3+pi/4)./(sqrt(pi)*(-x).^(1/4));  %x<0
fplot(f, [0,4],'color','r')
fplot(g, [-8,0],'color','r')
hold off
grid on
xlabel('x')
ylabel('y')
title('Ai(x) y su aproximación')

${\displaystyle \begin{array}{l}\text{Bi}(x)\approx \frac{1}{\sqrt{\pi }{x}^{1/4}}\exp \left(\frac{2}{3}{x}^{3/2}\right),x>0\\ \text{Bi}(x)\approx \frac{1}{\sqrt{\pi }{\left(-x\right)}^{1/4}}\cos \left(\frac{2}{3}{\left(-x\right)}^{3/2}+\frac{\pi }{4}\right),x<0\end{array}}$

hold on
fplot(@(x) airy(2,x), [-8,2])
f=@(x) exp(2*x.^(3/2)/3)./(sqrt(pi)*x.^(1/4)); %x>0
g=@(x) cos(2*(-x).^(3/2)/3+pi/4)./(sqrt(pi)*(-x).^(1/4)); %x<0
fplot(f, [0,2],'color','r')
fplot(g, [-8,0],'color','r')
hold off
grid on
xlabel('x')
ylabel('y')
title('Bi(x) y su aproximación')

Derivadas

Las derivadas de Ai(x) y Bi(x) son

• La derivada Ai'(x) se obtiene, llamando a la función MATLAB, airy(1,x)
• La derivada Bi'(x) se obtiene, llamando a la función, airy(3,x)

hold on
fplot(@(x) airy(1,x), [-5,2]) %derivada Ai(x)
fplot(@(x) airy(3,x), [-5,2]) %derivada Bi(x)
hold off
grid on
xlabel('x')
legend('Ai(x)','Bi(x)','Location','best')

Propiedades

Algunas propiedades de las funciones de Airy son

• Relación

${\displaystyle \text{Ai}(x)·\text{Bi'}(x)-\text{Bi}(x)\text{Ai'}(x)=\frac{1}{\pi }}$

Utilizando Math Symbolic no obtenemos el resultado esperado

>> syms x;
>> airy(0,x)*airy(3,x)-airy(2,x)*airy(1,x)
ans =airy(0, x)*airy(3, x) - airy(1, x)*airy(2, x)

Comprobamos la relación con cualquier valor de la variable x, por ejemplo

>> x=[0.5,-1,-2.3];
>> airy(0, x).*airy(3, x) - airy(1, x).*airy(2, x)
ans =    0.3183    0.3183    0.3183
>> 1/pi
ans =    0.3183

• Integral

${\displaystyle {\displaystyle \underset{a}{\overset{\infty }{\int }}{\text{Ai}}^2(x)dx}=\text{Ai}{\text{'}}^2(a)-a{\text{Ai}}^2(a)}$

Math Symbolic nos da el resultado

>> syms x a;
>> int(airy(x)^2,a,inf)
ans =airy(1, a)^2 - a*airy(0, a)^2

Relaciones entre las funciones de Airy y Bessel

Las funciones de Airy y de Bessel están relacionadas del siguiente modo

• Ai(x)

• x>0

${\displaystyle \text{Ai}(x)=\frac{1}{\pi }\sqrt{\frac{x}{3}}{K}_{\pm \frac{1}{3}}\left(\frac{2}{3}{x}^{\frac{3}{2}}\right),x>0}$

hold on
fplot(@(x) airy(x), [0,3])
fplot(@(x) sqrt(x/3).*besselk(1/3,2*x.^(3/2)/3)/pi, [0,3])
hold off
grid on
xlabel('x')
ylabel('Ai(x)')
title('Función Ai(x)')



• x<0

${\displaystyle \text{Ai}(x)=\frac{\sqrt{-x}}{3}\left(J_{\frac{1}{3}}\left(\frac{2}{3}{\left(-x\right)}^{\frac{3}{2}}\right)+J_{-\frac{1}{3}}\left(\frac{2}{3}{\left(-x\right)}^{\frac{3}{2}}\right)\right),x<0}$

hold on
fplot(@(x) airy(x), [-10,0])
fplot(@(x) sqrt(-x).*(besselj(1/3,2*(-x).^(3/2)/3)+
besselj(-1/3,2*(-x).^(3/2)/3))/3, [-10,0])
hold off
grid on
xlabel('x')
ylabel('Ai(x)')
title('Función Ai(x)')



• Bi(x)

• x>0

${\displaystyle \text{Bi}(x)=\sqrt{\frac{x}{3}}\left(I_{\frac{1}{3}}\left(\frac{2}{3}{x}^{\frac{3}{2}}\right)+I_{-\frac{1}{3}}\left(\frac{2}{3}{x}^{\frac{3}{2}}\right)\right),x>0}$

hold on
fplot(@(x) airy(2,x), [0,3])
fplot(@(x) sqrt(x/3).*(besseli(1/3,2*x.^(3/2)/3)+
besseli(-1/3,2*x.^(3/2)/3)), [0,3])
hold off
grid on
xlabel('x')
ylabel('Bi(x)')
title('Función Bi(x)')



• x<0

${\displaystyle \text{Bi}(x)=\sqrt{\frac{-x}{3}}\left(-J_{\frac{1}{3}}\left(\frac{2}{3}{\left(-x\right)}^{\frac{3}{2}}\right)+J_{-\frac{1}{3}}\left(\frac{2}{3}{\left(-x\right)}^{\frac{3}{2}}\right)\right),x<0}$

hold on
fplot(@(x) airy(2,x), [-10,0])
fplot(@(x) sqrt(-x/3).*(-besselj(1/3,2*(-x).^(3/2)/3)+
besselj(-1/3,2*(-x).^(3/2)/3)), [-10,0])
hold off
grid on
xlabel('x')
ylabel('Bi(x)')
title('Función Bi(x)')

Ejemplos en el Curso de Física

El arco iris.

Potencial es forma de V

Escalón lineal y barrera de potencial de forma triangular

Referencias

M S Ramkarthik, Elizabeth Louis Pereira. Airy Functions Demystified - III: A Fresh Look at the Relation Between Airy and Bessel Functions Resonance - Journal of Science Education. Volume 27, Issue 12, December 2022