## Aproximación de una función a un polinomio de grado n

Dada una función f(x) continua en [a,b], vamos a buscar un polinomio Pn(x) de grado n

${P}_{n}\left(x\right)={a}_{1}{x}^{n}+{a}_{2}{x}^{n-1}+...+{a}_{n}x+{a}_{n+1}$

tal que la integral

$E=\underset{a}{\overset{b}{\int }}{\left({P}_{n}\left(x\right)-f\left(x\right)\right)}^{2}dx$

sea mínima. Para calcular el mínimo, se deriva respecto a a1, a2...an+1

$\frac{\partial E}{\partial {a}_{i}}=0\text{ }i=1,2,...n+1$

Obtenemos el siguiente sistema de n ecuaciones con n incógnitas

$\begin{array}{l}\frac{1}{2}\frac{\partial E}{\partial {a}_{1}}=0⇒\underset{a}{\overset{b}{\int }}{x}^{n}\left({a}_{1}{x}^{n}+{a}_{2}{x}^{n-1}+...+{a}_{n}x+{a}_{n+1}-f\left(x\right)\right)dx=0\\ ...\\ \frac{1}{2}\frac{\partial E}{\partial {a}_{n}}=0⇒\underset{a}{\overset{b}{\int }}x\left({a}_{1}{x}^{n}+{a}_{2}{x}^{n-1}+...+{a}_{n}x+{a}_{n+1}-f\left(x\right)\right)dx=0\\ \frac{1}{2}\frac{\partial E}{\partial {a}_{n+1}}=0⇒\underset{a}{\overset{b}{\int }}\left({a}_{1}{x}^{n}+{a}_{2}{x}^{n-1}+...+{a}_{n}x+{a}_{n+1}-f\left(x\right)\right)dx=0\end{array}$

o bien,

$\begin{array}{l}{a}_{1}\underset{a}{\overset{b}{\int }}{x}^{2n}dx+{a}_{2}\underset{a}{\overset{b}{\int }}{x}^{2n-1}dx+...+{a}_{n}\underset{a}{\overset{b}{\int }}{x}^{n+1}dx+{a}_{n+1}\underset{a}{\overset{b}{\int }}{x}^{n}dx=\underset{a}{\overset{b}{\int }}{x}^{n}f\left(x\right)dx\\ ...\\ {a}_{1}\underset{a}{\overset{b}{\int }}{x}^{n+1}dx+{a}_{2}\underset{a}{\overset{b}{\int }}{x}^{n}dx+...+{a}_{n}\underset{a}{\overset{b}{\int }}{x}^{2}dx+{a}_{n+1}\underset{a}{\overset{b}{\int }}xdx=\underset{a}{\overset{b}{\int }}xf\left(x\right)dx\\ {a}_{1}\underset{a}{\overset{b}{\int }}{x}^{n}dx+{a}_{2}\underset{a}{\overset{b}{\int }}{x}^{n-1}dx+...+{a}_{n}\underset{a}{\overset{b}{\int }}xdx+{a}_{n+1}\underset{a}{\overset{b}{\int }}dx=\underset{a}{\overset{b}{\int }}f\left(x\right)dx\end{array}$

Llamando

$\begin{array}{l}{s}_{k}=\underset{a}{\overset{b}{\int }}{x}^{2n+1-k}dx\text{ }k=1,2,...2n+1\\ {b}_{k}=\underset{a}{\overset{b}{\int }}{x}^{n+1-k}f\left(x\right)dx\text{ }k=1,2,...n+1\end{array}$

Escribimos el sistema de n ecuaciones con n incógnitas de forma matricial

$\left(\begin{array}{ccccc}{s}_{1}& {s}_{2}& ...& {s}_{n}& {s}_{n+1}\\ {s}_{2}& {s}_{3}& ....& {s}_{n+1}& {s}_{n+2}\\ ...& ...& ...& ...& ...\\ {s}_{n}& {s}_{n+1}& ...& {s}_{2n-1}& {s}_{2n}\\ {s}_{n+1}& {s}_{n+2}& ...& {s}_{2n}& {s}_{2n+1}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{a}_{1}\\ {a}_{2}\\ ...\\ {a}_{n}\\ {a}_{n+1}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{b}_{1}\\ {b}_{2}\\ ...\\ {b}_{n}\\ {b}_{n+1}\end{array}\right)$

Despejamos el vector a de las incógnitas utilizando el operador división por la izquierda \

### Aproximación de la función ex a un polinomio de segundo grado

Calculamos los coeficientes a1, a2 y a3 del polinomio P2(x)=a1x2+a2x+a3

El sistema de ecuaciones en forma matricial se escribe

$\left(\begin{array}{ccc}{s}_{1}& {s}_{2}& {s}_{3}\\ {s}_{2}& {s}_{3}& {s}_{4}\\ {s}_{3}& {s}_{4}& {s}_{5}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{a}_{1}\\ {a}_{2}\\ {a}_{3}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{b}_{1}\\ {b}_{2}\\ {b}_{3}\end{array}\right)$

Los elementos de la matriz sk vales

${s}_{k}=\underset{-1}{\overset{1}{\int }}{x}^{2n+1-k}dx={\frac{{x}^{2n+2-k}}{2n+2-k}|}_{-1}^{1}=\left\{\begin{array}{l}0\text{ }k\text{\hspace{0.17em}}\text{par}\\ \frac{2}{2n+2-k}\text{ }k\text{\hspace{0.17em}}\text{impar}\end{array}$

Para obtener los elementos del vector b, integramos por partes, o bien, con la ayuda de Math Symbolic

>> int('x^2*exp(x)',x,-1,1)
ans =exp(1) - 5*exp(-1)
>> int('x*exp(x)',x,-1,1)
ans =2*exp(-1)
>> int('exp(x)',x,-1,1)
ans =exp(1) - exp(-1)

$\begin{array}{l}{b}_{1}=\underset{-1}{\overset{1}{\int }}{x}^{2}{e}^{x}dx={{x}^{2}{e}^{x}-2x{e}^{x}+2{e}^{x}|}_{-1}^{1}=e-\frac{5}{e}\\ {b}_{2}=\underset{-1}{\overset{1}{\int }}x{e}^{x}dx={x{e}^{x}-{e}^{x}|}_{-1}^{1}=\frac{2}{e}\\ {b}_{3}=\underset{-1}{\overset{1}{\int }}{e}^{x}dx={{e}^{x}|}_{-1}^{1}=e-\frac{1}{e}\end{array}$

El sistema de ecuaciones es el siguinte

$\left(\begin{array}{ccc}\frac{2}{5}& 0& \frac{2}{3}\\ 0& \frac{2}{3}& 0\\ \frac{2}{3}& 0& 2\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{a}_{1}\\ {a}_{2}\\ {a}_{3}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}e-\frac{5}{e}\\ \frac{2}{e}\\ e-\frac{1}{e}\end{array}\right)$

El siguiente script representa en el intervalo [-1,1], la función ex y el polinomio P2(x)=a1x2+a2x+a3

A=[2/5,0,2/3;0,2/3,0;2/3,0,2];
e=exp(1);
b=[e-5/e;2/e;e-1/e];
a=A\b;
p=@(x) polyval(a,x);
hold on
fplot(@exp,[-1,1]);
fplot(p,[-1,1])
hold off
legend('exponencial','polinomio','location','northwest')
grid on
xlabel('x')
ylabel('y')
title('Aproximando exp(x) a un polinomio')

Como vemos en la figura hay una diferencia apreciable entre la función y el polinomio de segundo grado P2(x)=a1x2+a2x+a3, cuyos coeficientes son

a =
0.5367
1.1036
0.9963

### Aproximación de la función ex a un polinomio de tercer grado

Elaboramos un script que nos permita aproximar la función ex a un polinomio de grado n, Pn(x) en el intervalo [-1,1]. Sea por ejemplo, n=3

n=3; %grado del polinomio
syms x;
s=zeros(2*n+1,1);
for k=1:2*n+1
if rem(2*n+2-k,2)==0
s(k)=0;
else
s(k)=2/(2*n+2-k);
end
end
A=zeros(n+1,n+1);
for k=1:n+1
A(k,:)=s(k:n+k);
end
b=zeros(n+1,1);
for k=1:n+1
f=exp(x)*x^(n+1-k);
b(k)=int(f,x,-1,1);
end
a=A\b;
p=@(x) polyval(a,x);
hold on
fplot(@exp,[-1,1]);
fplot(p,[-1,1])
hold off
legend('exponencial','polinomio','location','northwest')
grid on
xlabel('x')
ylabel('y')
title('Aproximando exp(x) a un polinomio')

Como vemos en la figura ya no hay apenas diferencia entre la función y el polinomio de tercer grado P3(x)=a1x3+a2x2+a3x+a4, cuyos coeficientes son

a =
0.1761
0.5367
0.9980
0.9963

### Aproximación de la función sin(πx) a un polinomio de segundo grado

Aproximamos la función sin(πx) a un polinomio de segundo grado en el intervalo [0,1]

Los valores de sk y de bk se calculan del siguiente modo

$\begin{array}{l}{s}_{k}=\underset{0}{\overset{1}{\int }}{x}^{2n+1-k}dx={\frac{{x}^{2n+2-k}}{2n+2-k}|}_{0}^{1}=\frac{1}{2n+2-k}\\ {b}_{k}=\underset{0}{\overset{1}{\int }}{x}^{n+1-k}\mathrm{sin}\left(\pi x\right)dx\text{ }k=1,2,...n+1\end{array}$

n=2; %grado del polinomio
syms x;
s=zeros(2*n+1,1);
for k=1:2*n+1
s(k)=1/(2*n+2-k);
end
A=zeros(n+1,n+1);
for k=1:n+1
A(k,:)=s(k:n+k);
end
b=zeros(n+1,1);
for k=1:n+1
f=sin(pi*x)*x^(n+1-k);
b(k)=int(f,x,0,1);
end
a=A\b;
p=@(x) polyval(a,x);
f=@(x) sin(pi*x);
hold on
fplot(f,[0,1]);
fplot(p,[0,1])
hold off
legend('sin(\pix)','polinomio','location','northwest')
grid on
xlabel('x')
ylabel('y')
title('Aproximando sin(\pix) a un polinomio')

Como vemos en la figura ya hay poca diferencia entre la función sin(πx) y el polinomio de segundo grado P2(x)=a1x2+a2x+a3, cuyos coeficientes son

a =
-4.1225
4.1225
-0.0505