Los primeros polinomios de Legendre son.

${\displaystyle \begin{array}{l}{P}_0(x)=1\\ P_1(x)=x\\ P_2(x)=\frac{1}{2}\left(3x^2-1\right)\\ P_3(x)=\frac{1}{2}\left(5x^3-3x\right)\\ P_4(x)=\frac{1}{8}\left(35x^4-30x^2+3\right)\\ P_5(x)=\frac{1}{8}\left(63x^5-70x^3+15x\right)\\ P_6(x)=\frac{1}{16}\left(231x^6-315x^4+105x^2-5\right)\\ P_7(x)=\frac{1}{16}\left(429x^7-693x^5+315x^3-35x\right)\\ \mathrm{.....}\end{array}}$

Utilizamos la función legendreP de MATLAB para mostrar los primeros polinomios de Legendre

>> syms x;
>> for n=1:7
   legendreP(n,x)
end

ans =x
ans =(3*x^2)/2 - 1/2
ans =(5*x^3)/2 - (3*x)/2
ans =(35*x^4)/8 - (15*x^2)/4 + 3/8
ans =(63*x^5)/8 - (35*x^3)/4 + (15*x)/8
ans =(231*x^6)/16 - (315*x^4)/16 + (105*x^2)/16 - 5/16
ans =(429*x^7)/16 - (693*x^5)/16 + (315*x^3)/16 - (35*x)/16  

Mediante del comando diff de MATLAB, obtenemos la expresión de P₄(x) y P₅(x)

>> syms x;
>> n=4;
>> P4=diff((x^2-1)^n,n)/(2^n*factorial(n));
>> P4=simplify(P4)
P4 =(35*x^4)/8 - (15*x^2)/4 + 3/8
>> n=5;
>> P5=diff((x^2-1)^n,n)/(2^n*factorial(n));
>> P5=simplify(P5)
P5 =(x*(63*x^4 - 70*x^2 + 15))/8

Definimos la función legendre_p para obtener los coeficientes de los polinomios de Legendre, utilizando la relación de recurrencia

function p=legendre_p(n)
    p1=1;    
    p2=[1,0]; 
    if n==0
        p=p1; %P0
    elseif n==1
        p=p2; %P1
    else
        for i=2:n
            p=((2*(i-1)+1)*[p2,0]-(i-1)*[0,0,p1])/i;
            p1=p2;
            p2=p;
        end
    end
end

Generamos los polinomios de Legendre y comprobamos sus propiedades, etc. La función poly2sym convierte el vector de los coeficientes en un polinomio simbólico p(x).

>> syms x;
>> P4=poly2sym(legendre_p(4))
P4 =(35*x^4)/8 - (15*x^2)/4 + 3/8
>> P5=poly2sym(legendre_p(5))
P5 =(63*x^5)/8 - (35*x^3)/4 + (15*x)/8

Creamos la función recursiva legendre_r para obtener el valor de los polinomios cuando se proporciona el valor de x utilizando la relación de recurrencia, partiendo de P₀(x) =0 y P₁(x) =x

function res=legendre_r(n,x)
    if n==0
        res=ones(1,length(x));
    elseif n==1
        res=x;
    else       
        res=((2*(n-1)+1)*x.*legendre_r(n-1,x)-(n-1)*legendre_r(n-2,x))/n;
    end
end

Las llamadas a las funciones legendre_r y legendre_p, para calcular el valor del polinomio n=4 para x=0.5, P₄(0.5)

>> x=0.5;
>> legendre_r(4,x)
ans =   -0.2891
>> polyval(legendre_p(4),x)
ans =   -0.2891
>> legendreP(4,x)
ans =   -0.2891

producen los mismos resultados.

Representamos gráficamente los polinomios de P₁(x) a P₆(x) empleando el comando fplot. Utilizamos indistintamente las funciones legrendre_p que devuelve los coeficientes del polinomio en combinación con polyval, la función recursiva legendre_r o la función de MATLAB legendreP

hold on
for n=1:6
    %f=@(x) polyval(legendre_p(n),x);
    %f=@(x) legendre_r(n,x);
    f=@(x) legendreP(n,x);
    fplot(f,[-1,1]);
end
xlabel('x')
ylabel('P_n(x)')
title('Polinomios de Legendre')
grid on
hold off

Propiedades

• En la gráfica vemos que

P_n(1)=1

P_n(-1)=(-1)ⁿ

Si n es impar P_n(x)=-P_n(-x), de modo que P_n(0)=0

• Comprobamos numéricamente mediante la función integral que el área bajo P_n(x) es nula, para n>1

${\displaystyle {\displaystyle \underset{-1}{\overset{1}{\int }}{P}_n(x)dx=0},n\ge 1}$

>> syms x;
>> for n=1:4
int(legendreP(n,x),x,-1,1)
end
 
ans =0
ans =0
ans =0
ans =0

• Ortogonalidad

${\displaystyle {\displaystyle \underset{-1}{\overset{1}{\int }}{P}_n(x)P_m(x)dx=\{\begin{array}{l}0m\ne n\\ \frac{2}{2n+1}m=n\end{array}}}$

>> syms x;
>> int(legendreP(3,x)*legendreP(4,x),x,-1,1)
ans =0
>> int(legendreP(4,x)*legendreP(4,x),x,-1,1)
ans =2/9

• Derivadas

${\displaystyle \begin{array}{l}\frac{d{P}_{n+1}(x)}{dx}=(n+1)P_n(x)+x\frac{d{P}_n(x)}{dx}\\ \frac{d{P}_0(x)}{dx}=\mathrm{0,}\frac{d{P}_1(x)}{dx}=\mathrm{1,}\frac{d{P}_2(x)}{dx}=3x\mathrm{,....}\end{array}}$

>> syms x;
>> diff(legendreP(3,x))
ans =(15*x^2)/2 - 3/2
>> 3*legendreP(2,x)+x*diff(legendreP(2,x))
ans =(15*x^2)/2 - 3/2

Aproximación de una función mediante los polinomios de Legendre

Polinomio p(x) de grado N

${\displaystyle \begin{array}{l}1=P_0(x)\\ x=P_1(x)\\ x^2=\frac{1}{3}\left(2P_2(x)+P_0(x)\right)\\ x^3=\frac{1}{5}\left(2P_3(x)+3P_1(x)\right)\\ x^4=\frac{1}{35}\left(8P_4(x)+20P_2(x)+7P_0(x)\right)\\ x^5=\frac{1}{63}\left(8P_5(x)+28P_3(x)+27P_1(x)\right)\\ x^6=\frac{1}{231}\left(16P_6(x)+72P_4(x)+110P_2(x)+33P_0(x)\right)\end{array}}$

Un polinomio de grado N se puede expresar como una combinación lineal de N+1 polinomios de Legendre P_n(x), n=0, 1,2...N, utilizando las relaciones de ortogonalidad

${\displaystyle \begin{array}{l}f(x)={\displaystyle \sum _{n=0}^N{c}_n{P}_n(x)}\hfill \\ {\displaystyle \underset{-1}{\overset{1}{\int }}f(x)P_m(x)dx}={\displaystyle \sum _{n=0}^N{c}_n{\displaystyle \underset{-1}{\overset{1}{\int }}{P}_n(x)P_m(x)dx}}\hfill \\ {\displaystyle \underset{-1}{\overset{1}{\int }}f(x)P_n(x)dx}=\frac{2}{2n+1}{c}_n\hfill \\ c_n=\frac{2n+1}{2}{\displaystyle \underset{-1}{\overset{1}{\int }}f(x)P_n(x)dx}n=\mathrm{0,1,2...}N\hfill \end{array}}$

Por ejemplo, P₂(x) es una función simétrica y f(x)=x³ es una función antisimétrica, entonces

${\displaystyle {\displaystyle \underset{-1}{\overset{1}{\int }}{x}^3{P}_2(x)dx}=0}$

Por ejemplo, P₃(x) es una función antisimétrica y f(x)=x² es una función simétrica, entonces

${\displaystyle {\displaystyle \underset{-1}{\overset{1}{\int }}{x}^2{P}_3(x)dx}=0}$

x³ es una combinación de polinomios de Legendre de índice impar y x² es una combinación de polinomios de Legendre de índice par

Sea el polinomio, f(x)=8x⁴-8x²+1=c₀P₀(x)+c₁P₁(x)+c₂P₂(x)+c₃P₃(x)+c₄P₄(x)

Elaboramos un script para calcular los coeficientes c₀, c₁, c₂, c₃ y c₄

syms x;
p=[8,0,-8,0,1]; %coeficientes del polinomio
pol=poly2sym(p); %polinomio
for n=0:length(p)-1
    P=poly2sym(legendre_p(n));
    c=(2*n+1)*int(pol*P,x,-1,1)/2; %coeficientes
    disp([n,c])
end

[ 0, -1/15]
[ 1, 0]
[ 2, -16/21]
[ 3, 0]
[ 4, 64/35]

${\displaystyle 8x^4-8x^2+1=\frac{64}{35}{P}_4(x)-\frac{16}{21}{P}_2(x)-\frac{1}{15}{P}_0(x)}$

Comprobación

>> 64*poly2sym(legendre_p(4))/35-16*poly2sym(legendre_p(2))/21-1/15
ans =8*x^4 - 8*x^2 + 1

Utilizando la función legendreP de MATLAB obtenemos los mismos resultados

syms x;
p=[8,0,-8,0,1]; %coeficientes del polinomio
pol=poly2sym(p); %polinomio
for n=0:length(p)-1
    c=(2*n+1)*int(pol*legendreP(n,x),x,-1,1)/2; %coeficientes
    disp([n,c])
end

Comprobación

>> 64*legendreP(4,x)/35-16*legendreP(2,x)/21-1/15
 ans =8*x^4 - 8*x^2 + 1

Función f(x)

Aproximamos la función f(x) mediante la serie

${\displaystyle \begin{array}{l}f(x)={\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{c}_n{P}_n(x)}\\ c_n=\frac{2n+1}{2}{\displaystyle \underset{-1}{\overset{1}{\int }}f(x)P_n(x)dx}\end{array}}$

Vamos a aproximar la función f(x)=sgn(x) (función signo de MATLAB) de la figura a la combinación lineal de los N+1 primeros polinomios de Legendre

Para calcular cada uno de los coeficientes c_n (n=0...N) utilizamos la función integral para calcular numéricamente la integral definida entre los límites -1 y 1.

sign es una función de MATLAB que devuelve el signo de x.

Primero, calculamos los coeficientes c_n y después, la aproximación a la función f(x)

${\displaystyle f(x)\approx {\displaystyle \sum _{n=0}^N{c}_n{P}_n(x)}}$

N=10;
c=zeros(1,N+1);
for n=0:N
    c(n+1)=integral(@(x)sign(x).*legendreP(n,x),-1,1)*(n+1/2);
end

x=-1:0.02:1;
y=zeros(1,length(x));
for n=0:N
    y=y+c(n+1)*legendreP(n,x);
end
hold on
line([-1,0],[-1,-1])
line([0,1],[1,1])
plot(x,y,'r')
hold off
xlabel('x')
ylabel('f(x)')
title('Aproximación mediante polinomios de Legendre')
grid on

En color azul se dibuja la función f(x) y en color rojo la aproximación mediante la combinación lineal de los N+1=11 primeros polinomios de Legendre.

Polinomios asociados de Legendre

La ecuación diferencial y su solución, los polinomios asociados de Legendre, son

${\displaystyle \begin{array}{l}\left(1-x^2\right)\frac{d^{2}y}{d{x}^2}-2x\frac{dy}{dx}+\left(n(n+1)-\frac{m^2}{1-x^2}\right)y=0\\ y=P_n^m(x)={\left(1-x^2\right)}^{m/2}\frac{d^m}{d{x}^m}{P}_n(x)\\ P_n^m(x)=\mathrm{0,}m>n\end{array}}$

Los primeros polinomios asociados de Legendre son

${\displaystyle \begin{array}{l}{P}_0^0(x)=P_0(x)=1\\ P_1^0(x)=P_1(x)=x\\ P_1^1(x)=\sqrt{1-x^2}\frac{d}{dx}{P}_1(x)=\sqrt{\left(1-x^2\right)}\\ P_2^0(x)=P_2(x)=\frac{1}{2}(3x^2-1)\\ P_2^1(x)=\sqrt{1-x^2}\frac{d}{dx}{P}_2(x)=3x\sqrt{\left(1-x^2\right)}\\ P_2^2(x)=\sqrt{{\left(1-x^2\right)}^2}\frac{d^2}{d{x}^2}{P}_2(x)=3\left(1-x^2\right)\\ P_3^0(x)=P_3(x)=\frac{1}{2}(5x^3-3x)\\ P_3^1(x)=\sqrt{1-x^2}\frac{d}{dx}{P}_3(x)=\frac{3}{2}(5x^2-1)\sqrt{\left(1-x^2\right)}\\ P_3^2(x)=\sqrt{{\left(1-x^2\right)}^2}\frac{d^2}{d{x}^2}{P}_3(x)=15x\left(1-x^2\right)\\ P_3^3(x)=\sqrt{{\left(1-x^2\right)}^3}\frac{d^3}{d{x}^3}{P}_3(x)=15{\left(1-x^2\right)}^{3/2}\end{array}}$

syms x;
for n=0:4
    for m=0:n
        y=(1-x^2)^(m/2)*diff(legendreP(n,x),m);
        disp([n,m])
        y=simplify(y)
    end
end

     0     0    y =1
     1     0    y =x
     1     1    y =(1 - x^2)^(1/2)
     2     0    y =(3*x^2)/2 - 1/2
     2     1    y =3*x*(1 - x^2)^(1/2)
     2     2    y =3 - 3*x^2
     3     0    y =(x*(5*x^2 - 3))/2
     3     1    y =(1 - x^2)^(1/2)*((15*x^2)/2 - 3/2)
     3     2    y =-15*x*(x^2 - 1)
     3     3    y =15*(1 - x^2)^(3/2)
     4     0    y =(35*x^4)/8 - (15*x^2)/4 + 3/8
     4     1    y =(5*x*(1 - x^2)^(1/2)*(7*x^2 - 3))/2
     4     2    y =-(x^2 - 1)*((105*x^2)/2 - 15/2)
     4     3    y =105*x*(1 - x^2)^(3/2)
     4     4    y =105*(x^2 - 1)^2

Relaciones de ortogonalidad

${\displaystyle \begin{array}{l}{\displaystyle \underset{-1}{\overset{1}{\int }}{P}_n^m(x)P_k^m(x)dx}=\mathrm{0,}n\ne k\\ {\displaystyle \underset{-1}{\overset{1}{\int }}{\left(P_n^m(x)\right)}^{2}dx}=\frac{2}{2n+1}\frac{(n+m)!}{(n-m)!}\end{array}}$

Comprobamos la primera integral. Sea n=3, k=2 y m=2

>> syms x;
>> int(45*x*(1-x^2)^2,x,-1,1)
ans =0

Comprobamos la segunda integral. Sea n=3 y m=3

>> int(15^2*(1-x^2)^3,x,-1,1)
ans =1440/7
>> format rat
>> 2*factorial(6)/7
ans =    1440/7

Ejemplos en el curso de Física

La ecuación de Laplace, coordenadas esféricas

Esfera conductora y esfera dieléctrica en un campo eléctrico uniforme

La ecuación de Laplace, varilla y semiesfera cargada

La ecuación de Laplace, anillo y disco cargado

Vibraciones de una cuerda en rotación

Esfera iluminada por el Sol

La ecuación de Schrödinger en coordenadas esféricas (I)

Potencial de Morse y potencial de Pöschl–Teller

Referencias

Alan Jeffrey, Hui-Hui Dai. Handbook of Mathematical Formulas and Integrals. Elsevier (2008). págs. 310-313