Flotación de una canoa±bloque en un estanque

El bloque sobre la canoa

Un estanque de área A_l contiene agua de densidad ρ_a, hasta una profundidad h₀. El volumen de agua en el estanque es A_lh₀

Una canoa de área A_c y masa m_c contiene un bloque de masa m_r

Equilibrio de la canoa más el bloque en su interior. El peso es igual al empuje

$\begin{array}{l} (m_{c} + m_{r}) g = ρ_{a} A_{c} d_{1} g \\ d_{1} = \frac{m_{c} + m_{r}}{ρ_{a} A_{c}} \end{array}$

El volumen de agua en el estanque no cambia

$h_{0} A_{l} = h_{1} A_{l} - A_{c} d_{1}$

Despejamos la altura de agua en el estanque, h₁

$\begin{array}{l} h_{1} = h_{0} + \frac{A_{c}}{A_{l}} d_{1} \\ h_{1} = h_{0} + \frac{A_{c}}{A_{l}} \frac{m_{c} + m_{r}}{ρ_{a} A_{c}} = h_{0} + \frac{1}{A_{l}} (\frac{m_{c}}{ρ_{a}} + \frac{m_{r}}{ρ_{a}}) \end{array}$

Por tanto, el nivel de agua se eleva, h₁>h₀

Calculamos la distancia entre la quilla y el fondo del estanque H₁. Un dato importante para la navegación de un barco

$H_{1} = h_{1} - d_{1} = h_{0} + \frac{1}{A_{l}} (\frac{m_{c}}{ρ_{a}} + \frac{m_{r}}{ρ_{a}}) - \frac{m_{c} + m_{r}}{ρ_{a} A_{c}} = h_{0} - \frac{m_{c} + m_{r}}{ρ_{a}} (\frac{1}{A_{c}} - \frac{1}{A_{l}})$

Como las áreas A_l>A_c, H₁<h₀

Se arroja el bloque al fondo del estanque

Si la densidad del bloque ρ_r es mayor que la densidad del agua ρ_a, el bloque se hunde y termina en el fondo del estanque

Equilibrio de la canoa

$\begin{array}{l} m_{c} g = ρ_{a} A_{c} d_{2} g \\ d_{2} = \frac{m_{c}}{ρ_{a} A_{c}} \end{array}$

El volumen de de agua en el estanque no cambia

El volumen del bloque es V_r=m_r/ρ_r

$h_{0} A_{l} + V_{r} = h_{2} A_{l} - d_{2} A_{c}$

Despejamos la altura de agua en el estanque, h₂

$h_{2} = h_{0} + \frac{\frac{m_{r}}{ρ_{r}} + d_{2} A_{c}}{A_{l}} = h_{0} + \frac{1}{A_{l}} (\frac{m_{r}}{ρ_{r}} + \frac{m_{c}}{ρ_{a}})$

Como la densidad del bloque es mayor que la del agua, ρ_r>ρ_a, h₁>h₂>h₀, ya que

$\frac{m_{r}}{ρ_{a}} > \frac{m_{r}}{ρ_{r}}$

Calculamos la distancia entre la quilla y el fondo del estanque H₂

$H_{2} = h_{2} - d_{2} = h_{0} + \frac{1}{A_{l}} (\frac{m_{r}}{ρ_{r}} + \frac{m_{c}}{ρ_{a}}) - \frac{m_{c}}{ρ_{a} A_{c}} = h_{0} + \frac{m_{r}}{A_{l} ρ_{r}} - \frac{m_{c}}{ρ_{a}} (\frac{1}{A_{c}} - \frac{1}{A_{l}})$

Comparamos H₂ y H₁

$\begin{array}{l} H_{2} - H_{1} = h_{0} + \frac{m_{r}}{A_{l} ρ_{r}} - \frac{m_{c}}{ρ_{a}} (\frac{1}{A_{c}} - \frac{1}{A_{l}}) - h_{0} + \frac{m_{c} + m_{r}}{ρ_{a}} (\frac{1}{A_{c}} - \frac{1}{A_{l}}) = \frac{m_{r}}{A_{l} ρ_{r}} + \frac{m_{r}}{ρ_{a}} (\frac{1}{A_{c}} - \frac{1}{A_{l}}) \\ H_{2} = H_{1} + \frac{m_{r}}{A_{c} ρ_{r}} (\frac{A_{c}}{A_{l}} + \frac{ρ_{r}}{ρ_{a}} (1 - \frac{A_{c}}{A_{l}})) \end{array}$

H₂>H₁ ya que A_c<A_l

Se arroja el bloque y flota en el estanque

Si la densidad del bloque ρ_r es menor que la densidad del agua ρ_a, el bloque flota

Equilibrio de la canoa

$\begin{array}{l} m_{c} g = ρ_{a} A_{c} d_{3} g \\ d_{3} = \frac{m_{c}}{ρ_{a} A_{c}} \end{array}$

Equilibrio del bloque

$\begin{array}{l} m_{r} g = ρ_{a} v_{r} g \\ v_{r} = \frac{m_{r}}{ρ_{a}} \end{array}$

v_r es el volumen de la parte sumergida del bloque

El volumen de de agua en el estanque no cambia

$h_{0} A_{l} + v_{r} = h_{3} A_{l} - d_{3} A_{c}$

Despejamos la altura de agua en el estanque, h₃

$h_{3} = h_{0} + \frac{v_{r} + d_{3} A_{c}}{A_{l}} = h_{0} + \frac{\frac{m_{r}}{ρ_{a}} + \frac{m_{c}}{ρ_{a} A_{c}} A_{c}}{A_{l}} = h_{0} + \frac{1}{A_{l}} (\frac{m_{r}}{ρ_{a}} + \frac{m_{c}}{ρ_{a}}) = h_{1}$

Coincide con h₁

Calculamos la distancia entre la quilla y el fondo del estanque H₃

$H_{3} = h_{3} - d_{3} = h_{0} + \frac{1}{A_{l}} \frac{m_{r} + m_{c}}{ρ_{a}} - \frac{m_{c}}{ρ_{a} A_{c}} = h_{0} + \frac{m_{r}}{A_{l} ρ_{a}} - \frac{m_{c}}{ρ_{a}} (\frac{1}{A_{c}} - \frac{1}{A_{l}})$

Comparamos H₃ y H₁

$\begin{array}{l} H_{3} - H_{1} = h_{0} + \frac{m_{r}}{A_{l} ρ_{a}} - \frac{m_{c}}{ρ_{a}} (\frac{1}{A_{c}} - \frac{1}{A_{l}}) - h_{0} + \frac{m_{c} + m_{r}}{ρ_{a}} (\frac{1}{A_{c}} - \frac{1}{A_{l}}) = \frac{m_{r}}{ρ_{a} A_{c}} \\ H_{3} = H_{1} + \frac{m_{r}}{ρ_{a} A_{c}} \end{array}$

Comparamos H₃ y H₂

$\begin{array}{l} H_{3} - H_{2} = h_{0} + \frac{m_{r}}{A_{l} ρ_{a}} - \frac{m_{c}}{ρ_{a}} (\frac{1}{A_{c}} - \frac{1}{A_{l}}) - h_{0} - \frac{m_{r}}{A_{l} ρ_{r}} + \frac{m_{c}}{ρ_{a}} (\frac{1}{A_{c}} - \frac{1}{A_{l}}) = \frac{m_{r}}{A_{l} ρ_{a}} - \frac{m_{r}}{A_{l} ρ_{r}} \\ H_{3} = H_{2} - \frac{m_{r}}{A_{l}} (\frac{1}{ρ_{r}} - \frac{1}{ρ_{a}}) \end{array}$

Referencias

Kirk T. McDonald. Canoe±Rock. November 2013