El principio de Arquímedes.Energía potencial mínima

Supongamos un cuerpo en forma de paralepípedo de altura h, sección A y de densidad ρs. El fluido está contenido en un recipiente de sección S hasta una altura b. La densidad del fluido es ρf> ρs.

Se libera el cuerpo, oscila hacia arriba y hacia abajo, hasta que alcanza el equilibrio flotando sobre el líquido sumergido una longitud x.  El líquido del recipiente asciende hasta una altura d. Como la cantidad de líquido no ha variado S·b=S·d-A·x

d=b+ A S x

Hay que calcular x, de modo que la energía potencial del sistema formado por el cuerpo y el fluido sea mínima.

Tomamos el fondo del recipiente como nivel de referencia de la energía potencial.

El centro de masa del cuerpo se encuentra a una altura d-x+h/2. Su energía potencial es Es=(ρs·A·h)g(d-x+h/2)

E s = ρ s Ahg( b+ A S xx+ h 2 )

Para calcular el centro de masas del fluido, consideramos el fluido como una figura sólida de sección S y altura d a la que le falta una porción de sección A y altura x.

y f = (Sd)(d/2)(A·x)(dx/2) SdAx = 1 Sb { 1 2 S ( b+ A S x ) 2 +A x 2 2 Ax( b+ A S x ) }

La energía potencial del fluido es Ef=ρf(Sb)g·yf

La energía potencial total es Ep=Es+Ef

E P = 1 2 ρ f gA( 1 A S ) x 2 ρ s ghA( 1 A S )x+ 1 2 ρ f S b 2 g+ ρ s hA( b+ h 2 )g= 1 2 ρ f gA( 1 A S ){ x 2 2 ρ s ρ f hx }+cte

El valor de la constante aditiva cte, depende de la elección del nivel de referencia de la energía potencial.

En la figura, se representa la energía potencial Ep(x) para un cuerpo de altura h=1.0, densidad ρs=0.4, parcialmente sumergido en un líquido de densidad ρf=1.0.

La función presenta un mínimo, que se calcula derivando la energía potencial con respecto de x e igualando a cero

d E p dx = 1 2 ρ f gA( 1 A S ){ 2x2 ρ s ρ f h }=0

En la posición de equilibrio, el cuerpo se encuentra sumergido

x e = ρ s ρ f h

Energía potencial de un cuerpo que se mueve en el seno de un fluido

Cuando un globo de helio asciende en el aire actúan sobre el globo las siguientes fuerzas:

Dada la fuerza conservativa, la expresión de la energía potencial asociada, se obtiene integrando

A B Fdr = E pA E pB E p = E p (y)

Dada la energía potencial, obtenemos la expresión de la fuerza conservativa, derivando

F y = d E p ( y ) dy

La energía potencial asociada con las dos fuerzas conservativas es

Ep=(mg- ρfVg)y

A medida que el globo asciende en el aire con velocidad constante experimenta una fuerza de rozamiento Fr debida a la resistencia del aire. La resultante de las fuerzas que actúan sobre el globo debe ser cero.

ρf Vg- mg-Fr=0

Como ρfVg> mg a medida que el globo asciende su energía potencial Ep disminuye.

Empleando el balance de energía obtenemos la misma conclusión

A B F nc dr = ( E k + E p ) B ( E k + E p ) A

El trabajo de las fuerzas no conservativas Fnc modifica la energía total (cinética más potencial) de la partícula. Como el trabajo de la fuerza de rozamiento es negativo y la energía cinética Ek no cambia (velocidad constante), concluimos que la energía potencial final EpB es menor que la energía potencia inicial EpA.

Energía potencial de un cuerpo parcialmente sumergido

En el apartado anterior, estudiamos la energía potencial de un cuerpo totalmente sumergido en un fluido (un globo de helio en la atmósfera). Ahora vamos a suponer un bloque cilíndrico que se sitúa sobre la superficie de un fluido (por ejemplo agua).

Pueden ocurrir dos casos:

Cuando el cuerpo está parcialmente sumergido, sobre el cuerpo actúan dos fuerzas el peso mg=ρsSh·g que es constante y el empuje ρfSx·g que no es constante. Su resultante es

F=(-ρsShg+ρfSxg)j.

Donde S el área de la base del bloque, h la altura del bloque y x la parte del bloque que está sumergida en el fluido.

Tenemos una situación análoga a la de un cuerpo que se coloca sobre un muelle elástico en posición vertical. La energía potencial gravitatoria mgy del cuerpo disminuye, la energía potencial elástica del muelle kx2/2 aumenta, la suma de ambas alcanza un mínimo en la posición de equilibrio, cuando se cumple –mg+kx=0, cuando el peso se iguala a la fuerza que ejerce el muelle.

E p =mgy+ 1 2 k x 2 =mgy+ 1 2 k ( y 0 y ) 2 F y = d E p dy =mg+k( y 0 y )=mg+kx

El mínimo de Ep se obtiene cuando la derivada de Ep respecto de y es cero, es decir en la posición de equilibrio.

La energía potencial del cuerpo parcialmente sumergido será, de forma análoga

E p = ρ s Shgy+ 1 2 ρ f Sg x 2 = ρ s Shgy+ 1 2 ρ f Sg ( y 0 y ) 2 F y = d E p dy = ρ s Shg+ ρ f Sg( y 0 y )= ρ s Shg+ ρ f Sgx

El mínimo de Ep se obtiene cuando la derivada de Ep respecto de y es cero, es decir, en la posición de equilibrio, cuando el peso se iguale al empuje. sShg+ρfSxg=0

x= ρ s h ρ f =ρh

El bloque permanece sumergido una longitud x. En esta fórmula, se ha designado ρ como la densidad relativa del sólido (respecto del fluido) es decir, la densidad del sólido tomando la densidad del fluido como la unidad.

Fuerzas sobre el bloque

  1. Cuando ρ<1 o bien ρs<ρf, el cuerpo permanece parcialmente sumergido en la situación de equilibrio.
  2. Cuando ρ>1 o bien ρs>ρf, el peso es siempre mayor que el empuje, la fuerza neta que actúa sobre el bloque es
  3. Fy=-ρsShg+ρfShg<0.

    No existe por tanto, posición de equilibrio, el bloque cae hasta que llega al fondo del recipiente que supondremos muy grande.

  4. Cuando ρ=1 o bien ρs=ρf, el peso es mayor que el empuje mientras el bloque está parcialmente sumergido (x<h).
  5. Fy=-ρ Shg+ρ Sxg<0.

    La fuerza neta que actúa sobre el bloque cuando está completamente sumergido (x≥ h) es cero, y cualquier posición del bloque, completamente sumergido en el seno del fluido, es de equilibrio.

Curvas de energía potencial

  1. La energía potencial correspondiente a la fuerza conservativa peso es
  2. EgsShgy

  3. La energía potencial correspondiente a la fuerza de empuje tiene dos partes
  4. La energía potencial total es la suma de las dos contribuciones
  5. Ep=Eg+Ef

    Cuando la densidad del sólido es igual a la del fluido ρs=ρf, la energía potencial total Ep es constante e independiente de x (o de y) para x≥ h como puede comprobarse fácilmente.

Actividades

Se introduce

Se pulsa el botón titulado Nuevo.

El bloque tiene una altura h=1 y una sección S. Se coloca el bloque justamente encima de la superficie del fluido. La altura de su centro de masas es y0=1.5 unidades.

Se suelta el bloque, llega hasta la posición final de equilibrio ye=ρh, si la densidad ρ<1, o hasta el fondo del recipiente si la densidad ρ>1.

El programa interactivo no hace ninguna suposición acerca del modo en el que el bloque parte de la posición inicial y llega a la posición final (no calcula la posición y velocidad del cuerpo en cada instante), ya que el objetivo del programa es el de mostrar los cambios en la energía potencial Ep del cuerpo con la posición y del c.m. del mismo.

En la parte derecha, se traza:

La representación de la energía potencial gravitatoria Eg (en color negro) es una recta cuyo valor máximo está en la posición inicial y=1.5 y es cero cuando el bloque llega al fondo y=0.

La curva de la energía potencial correspondiente al empuje Ef (en color azul) es algo más complicada y consta de dos partes: Una parábola mientras el cuerpo está parcialmente sumergido (x<h) ó (y>0.5), unida a una línea recta cuando el cuerpo está completamente sumergido (x≥ h) ó (y≤ 0.5). La energía potencial inicial es cero y se va incrementando a medida que el cuerpo se sumerge en el fluido.

La curva de la energía potencial total Ep (en color rojo) es la suma de las dos contribuciones, Ep=Eg+Ef

Para trazar estas gráficas se ha tomado como unidad de energía, la energía potencial inicial del bloque ρsShg·y0 con y0=1.5, h=1 y ρs=ρ, densidad del sólido relativa al fluido ρf=1. De este modo, la energía potencial inicial del bloque es una unidad.

Se presentan tres casos:

  1. Cuando ρ<1, la energía potencial presenta un mínimo en x=ρh. En este caso con x=y0-y, h=1 e y0=1.5, tendremos que la posición del c.m. en el equilibrio será ye=1.5-ρ.

  2. Cuando ρ>1, la curva de la energía potencial no tiene mínimo y por tanto, no hay posición de equilibrio estable.

  3. En el caso límite en el que ρ=1 la energía potencial para y≤0.5 es una línea recta horizontal y la posición de equilibrio del c.m. del bloque puede ser cualquier y≤0.5.

Referencias

Reed B. C. Archimedes' law sets a good energy-minimization example. Physics Education, 39 (4) July 2004, pp. 322-323.

Keeports D. How does the potencial energy of a rising helium-filled balloon change?. The Physics Teacher, Vol 40, March 2002, pp. 164-165.

Silva A., Archimedes' law and the potential energy: modelling and simulation with a sreadsheet. Phys. Educ. 33 (2) March 1998. pp. 87-92.