Oscilaciones de una esfera que flota en el agua

Supondremos que el agua y el aire son fluidos ideales, que no ejercen fuerzas de rozamiento sobre la esfera en movimiento.
Para describir el movimiento, situamos el origen del eje X en la superficie del agua y llamamos x a la posición del centro de la esfera
-
Cuando x=-R, la esfera se encuentra completamente sumergida
- Cuando x=+R la esfera se encuentra justamente fuera del agua
Cuando la esfera se encuentra parcialmente sumergida las fuerzas que actúan son:
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El peso mg
-
El empuje E
Para una esfera de densidad ρ relativa al agua (cuya densidad es la unidad) la masa es
El empuje es el peso en agua del volumen de la parte sumergida. Calculamos el volumen de la parte de la esfera sumergida en agua. Este volumen V es la suma (integral) de los elementos diferenciales de volumen de radio y y de altura dx, uno de los cuales se muestra en la figura.
Cuando x=-R obtenemos el volumen de la esfera 4πR3/3
La ecuación del movimiento es
Para calcular la posición x del centro de la esfera en función del tiempo t, resolvemos esta ecuación diferencial por procedimientos numéricos con las siguientes condiciones iniciales, en el instante t=0, x=-R, dx/dt=0. Cuando la esfera se encuentra completamente sumergida x=-R se suelta (su velocidad inicial es cero)
Transformamos la ecuación diferencial de segundo orden, en la ecuación diferencial de primer orden
Integramos esta ecuación entre x=-R donde la velocidad de la esfera es nula (posición inicial) y la posición x≤R, donde la velocidad es v.
Cuando x=R la esfera se encuentra completamente fuera del agua y su velocidad es
a partir de este momento se eleva en el aire hasta una altura máxima y vuelve a caer en el agua, volviendo a sumergirse hasta alcanzar la posición inicial de partida, repitiéndose de nuevo la oscilación.
La esfera sale completamente fuera del agua en el caso de que su densidad sea ρ<0.5. Si la densidad es mayor que esta cantidad, la esfera permanece parcialmente sumergida durante su movimiento oscilatorio.
- Cuando la densidad relativa de la esfera es ρ<0.5.
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Densidad ρ=0.4
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El radio de la esfera R=1
-
Cuando la esfera tiene una densidad relativa ρ>0.5.

A partir de la posición x=R, la esfera sale completamente fuera del agua y sobre la esfera solamente actúa la fuerza constante peso. Las ecuaciones del movimiento son
Siendo t1 el instante en el que el centro de la esfera pasa por la posición x=R.
Alternativamente, aplicando el principio de conservación de la energía
El centro de la esfera se eleva hasta la altura máxima cuando v=0.
Por ejemplo:
La esfera parte de la posición x=-1 con velocidad v=0 y llega a la posición x=+1 con una velocidad v1.
Asciende en el aire hasta que el centro de la esfera alcanza la altura máxima
La velocidad de su centro es cero cuando
Una de las raíces de esta ecuación es x/R=-1, ya que la esfera parte del reposo cuando x=-R.
Resolvemos la ecuación cúbica
x3+ax2+bx+c=0
a=-R, b=-5R2, c=(13-16ρ)R3
Se calcula los parámetros
Si S2<Q3 entonces la ecuación tiene tres raíces reales. Esta desigualdad equivale a
729ρ2-1026ρ+297<0 que se cumple para ρ<1
Las tres raíces reales se calculan según las fórmulas
Por ejemplo, para ρ=0.7, las raíces son x1=-1.98·R, x2=2.64·R, x3=0.34·R. La última es la que corresponde a v=0.
>> rho=0.7; >> R=1; >> p=[1,-R,-5*R^2,(13-16*rho)*R^3]; >> roots(p) ans = 2.6372 -1.9816 0.3444
Cuando ρ=13/16=0.8125, la velocidad de la esfera v=0 se hace cero cuando x=0.
>> rho=13/16; >> R=1; >> p=[1,-R,-5*R^2,(13-16*rho)*R^3]; >> roots(p) ans = 0 2.7913 -1.7913
Cuando la esfera tiene una densidad relativa ρ=0.5.
La velocidad del centro de la esfera es
que se hace cero cuando x=R
El periodo o tiempo que tarda en efectuar una oscilación completa es
Haciendo el cambio de variable u=sinφ, el periodo P se expresa mediante una integral elíptica completa de primera especie
>> 8*ellipke(1/5)/sqrt(5) ans = 5.9376
Ejemplo
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Densidad ρ=0.5
-
El radio de la esfera R=1
El periodo de una oscilación completa es
Actividades
Se introduce
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La densidad relativa ρ de la esfera, en el control titulado Densidad relativa
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El radio de la esfera se ha fijado en R=1
Se pulsa el botón titulado Nuevo.
En la parte izquierda, observamos el movimiento de la esfera
En la parte derecha, se representa su comportamiento en el espacio de las fases
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En el eje vertical se representa la velocidad en unidades
-
En el eje horizontal, los desplazamientos en unidades del radio de la esfera u=x/R
Referencias
Lapidus I. R. Problem: oscillating buoyant sphere. Am. J. Phys. 54 (9) September 1986. Enunciado en pág 831, Solución en pág. 849