Supondremos que el agua y el aire son fluidos ideales, que no ejercen fuerzas de rozamiento sobre la esfera en movimiento.

Para describir el movimiento, situamos el origen del eje X en la superficie del agua y llamamos x a la posición del centro de la esfera

• Cuando x=-R, la esfera se encuentra completamente sumergida

• Cuando x=+R la esfera se encuentra justamente fuera del agua

Cuando la esfera se encuentra parcialmente sumergida las fuerzas que actúan son:

• El peso mg

• El empuje E

Para una esfera de densidad ρ relativa al agua (cuya densidad es la unidad) la masa es

${\displaystyle m=\rho \frac{4}{3}\pi R^3}$

El empuje es el peso en agua del volumen de la parte sumergida. Calculamos el volumen de la parte de la esfera sumergida en agua. Este volumen V es la suma (integral) de los elementos diferenciales de volumen de radio y y de altura dx, uno de los cuales se muestra en la figura.

${\displaystyle V={\displaystyle \underset{x}{\overset{R}{\int }}\pi y^{2}dx}={\displaystyle \underset{x}{\overset{R}{\int }}\pi (R^2-x^2)dx}=\frac{\pi R^3}{3}\left(2-3\frac{x}{R}+\frac{x^3}{R^3}\right)}$

Cuando x=-R obtenemos el volumen de la esfera 4πR³/3

La ecuación del movimiento es

${\displaystyle m\frac{d^{2}x}{d{t}^2}=E-mg\frac{d^{2}x}{d{t}^2}=g\left(\frac{1}{4\rho }\left(2-3\frac{x}{R}-\frac{x^3}{R^3}\right)-1\right)}$

Para calcular la posición x del centro de la esfera en función del tiempo t, resolvemos esta ecuación diferencial por procedimientos numéricos con las siguientes condiciones iniciales, en el instante t=0, x=-R, dx/dt=0. Cuando la esfera se encuentra completamente sumergida x=-R se suelta (su velocidad inicial es cero)

Transformamos la ecuación diferencial de segundo orden, en la ecuación diferencial de primer orden

${\displaystyle \begin{array}{l}\frac{d^{2}x}{d{t}^2}=\frac{dv}{dt}=\frac{dv}{dx}\frac{dx}{dt}=v\frac{dv}{dx}\\ v\frac{dv}{dx}=g\left(\frac{1}{4\rho }\left(2-3\frac{x}{R}-\frac{x^3}{R^3}\right)-1\right)\end{array}}$

Integramos esta ecuación entre x=-R donde la velocidad de la esfera es nula (posición inicial)  y la posición x≤R, donde la velocidad es v.

${\displaystyle v^2=2gR\left(-1-\frac{x}{R}+\frac{1}{16\rho }\left(13+8\frac{x}{R}-6\frac{x^2}{R^2}+\frac{x^4}{R^4}\right)\right)}$

Cuando x=R la esfera se encuentra completamente fuera del agua y su velocidad es

${\displaystyle v_1^2=2gR\left(\frac{1-2\rho }{\rho }\right)}$

a partir de este momento se eleva en el aire hasta una altura máxima y vuelve a caer en el agua, volviendo a sumergirse hasta alcanzar la posición inicial de partida, repitiéndose de nuevo la oscilación.

La esfera sale completamente fuera del agua en el caso de que su densidad sea ρ<0.5. Si la densidad es mayor que esta cantidad, la esfera permanece parcialmente sumergida durante su movimiento oscilatorio.

• Cuando la densidad relativa de la esfera es ρ<0.5.



A partir de la posición x=R, la esfera sale completamente fuera del agua y sobre la esfera solamente actúa la fuerza constante peso. Las ecuaciones del movimiento son

${\displaystyle \begin{array}{l}v=v_1+(-g)(t-t_1)\\ x=R+v_1·(t-t_1)+\frac{1}{2}(-g){\left(t-t_1\right)}^2\end{array}}$

Siendo t₁ el instante en el que el centro de la esfera pasa por la posición x=R.

Alternativamente, aplicando el principio de conservación de la energía

${\displaystyle \begin{array}{l}\frac{1}{2}m{v}^2+mgx=\frac{1}{2}m{v}_1^2+mgR\\ v^2=v_1^2-2g(x-R)\end{array}}$

El centro de la esfera se eleva hasta la altura máxima cuando v=0.

${\displaystyle x_{máx}=R\left(\frac{1-\rho }{\rho }\right)}$

Por ejemplo:

• Densidad ρ=0.4

• El radio de la esfera R=1

La esfera parte de la posición x=-1 con velocidad v=0 y llega a la posición x=+1 con una velocidad v₁.

${\displaystyle v_1^2=2·9.8\left(\frac{1-2·0.4}{0.4}\right)v_1=\sqrt{9.8}\text{m/s}}$

Asciende en el aire hasta que el centro de la esfera alcanza la altura máxima

${\displaystyle x=1+\frac{v_1^2}{2·9.8}=1.5\text{m}}$

• Cuando la esfera tiene una densidad relativa ρ>0.5.

La velocidad de su centro es cero cuando

${\displaystyle \frac{x^4}{R^4}-6\frac{x^2}{R^2}+(8-16\rho )\frac{x}{R}+(13-16\rho )=0}$

Una de las raíces de esta ecuación es x/R=-1, ya que la esfera parte del reposo cuando x=-R.

${\displaystyle \left(\frac{x}{R}+1\right)\left(\frac{x^3}{R^3}-\frac{x^2}{R^2}-5\frac{x}{R}+13-16\rho \right)=0}$

Resolvemos la ecuación cúbica

x³+ax²+bx+c=0

a=-R, b=-5R², c=(13-16ρ)R³

Se calcula los parámetros

${\displaystyle \begin{array}{l}Q=\frac{a^2-3b}{9}=\frac{16}{9}{R}^2\\ S=\frac{2a^3-9ab+27c}{54}=\frac{152-216\rho }{27}{R}^3\end{array}}$

Si S²<Q³ entonces la ecuación tiene tres raíces reales. Esta desigualdad equivale a

729ρ²-1026ρ+297<0        que se cumple para ρ<1

Las tres raíces reales se calculan según las fórmulas

${\displaystyle \begin{array}{l}\theta =\arccos \left(\frac{S}{\sqrt{Q^3}}\right)\\ x_1=-2\sqrt{Q}\cos \left(\frac{\theta }{3}\right)-\frac{a}{3}\\ x_2=-2\sqrt{Q}\cos \left(\frac{\theta +2\pi }{3}\right)-\frac{a}{3}\\ x_3=-2\sqrt{Q}\cos \left(\frac{\theta -2\pi }{3}\right)-\frac{a}{3}\end{array}}$

Por ejemplo, para ρ=0.7, las raíces son x₁=-1.98·R, x₂=2.64·R, x₃=0.34·R.  La última es la que corresponde a v=0.

>> rho=0.7;
>> R=1;
>> p=[1,-R,-5*R^2,(13-16*rho)*R^3];
>> roots(p)
ans =
    2.6372
   -1.9816
    0.3444

Cuando ρ=13/16=0.8125, la velocidad de la esfera v=0 se hace cero cuando x=0.

>> rho=13/16;
>> R=1;
>> p=[1,-R,-5*R^2,(13-16*rho)*R^3];
>> roots(p)
ans =
         0
    2.7913
   -1.7913

• Cuando la esfera tiene una densidad relativa ρ=0.5.

La velocidad del centro de la esfera es

${\displaystyle v^2=\frac{gR}{4}\left(5-6u^2+u^4\right)u=\frac{x}{R}}$

que se hace cero cuando x=R

El periodo o tiempo que tarda en efectuar una oscilación completa es

${\displaystyle P=2{\displaystyle \underset{-R}{\overset{+R}{\int }}\frac{dx}{v}=}4\sqrt{\frac{R}{g}}{\displaystyle \underset{-1}{\overset{+1}{\int }}\frac{du}{\sqrt{5-6u^2+u^4}}=}8\sqrt{\frac{R}{g}}{\displaystyle \underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{du}{\sqrt{5-6u^2+u^4}}}}$

Haciendo el cambio de variable u=sinφ, el periodo P se expresa mediante una integral elíptica completa de primera especie

${\displaystyle P=\frac{8}{\sqrt{5}}\sqrt{\frac{R}{g}}{\displaystyle \underset{0}{\overset{\pi /2}{\int }}\frac{\text{d}\phi }{\sqrt{1-\frac{1}{5}{\sin }^2\phi }}}=\frac{8}{\sqrt{5}}·1.6596\sqrt{\frac{R}{g}}=5.9376\sqrt{\frac{R}{g}}}$

>> 8*ellipke(1/5)/sqrt(5)
ans =    5.9376

Ejemplo

• Densidad ρ=0.5

• El radio de la esfera R=1

El periodo de una oscilación completa es

${\displaystyle P=5.9376\sqrt{\frac{1.0}{9.8}}=1.90\text{s}}$

Actividades

Se introduce

• La densidad relativa ρ de la esfera, en el control titulado Densidad relativa

• El radio de la esfera se ha fijado en R=1

Se pulsa el botón titulado Nuevo.

En la parte izquierda, observamos el movimiento de la esfera

En la parte derecha, se representa su comportamiento en el espacio de las fases

• En el eje vertical se representa la velocidad en unidades $w=\frac{v}{\sqrt{2gR}}$

• En el eje horizontal, los desplazamientos en unidades del radio de la esfera u=x/R

Referencias

Lapidus I. R. Problem: oscillating buoyant sphere.  Am. J. Phys. 54 (9) September 1986. Enunciado en pág 831, Solución en pág. 849