Un depósito cilíndrico, de sección S₁ tiene un orificio de sección S₂ mucho más pequeña que S₁. Aplicamos la ecuación de Bernoulli a los puntos (1) y (2) situados en la superficie libre del fluido y en el centro del orificio.

${\displaystyle p_1+\rho g{y}_1+\frac{1}{2}\rho v_1^2=p_2+\rho g{y}_2+\frac{1}{2}\rho v_2^2}$

El fluido en los puntos (1) y (2) está en contacto con el aire a la misma presión. Luego, p₁=p₂=p₀.

La diferencia de alturas es y₁-y₂=H-h. Siendo H la altura de la columna de fluido y h la altura del centro del orificio de radio r

Con estos datos la ecuación de Bernoulli se escribe

${\displaystyle g\left(H-h\right)+\frac{1}{2}{v}_1^2=\frac{1}{2}{v}_2^2}$

La ecuación de continuidad se escribe

v₁S₁=v₂S₂

Despejamos la velocidad v₂ del fluido en el orificio

${\displaystyle \begin{array}{l}g\left(H-h\right)+\frac{1}{2}{\left(\frac{S_2}{S_1}\right)}^2{v}_2^2=\frac{1}{2}{v}_2^2\\ g\left(H-h\right)=\frac{1}{2}\left(1-\frac{S_2^2}{S_1^2}\right)v_2^2\\ v_2=\sqrt{\frac{2g\left(H-h\right)}{1-\frac{S_2^2}{S_1^2}}}\end{array}}$

Para el caso de que $S_1>>S_2=\pi r^2$

${\displaystyle v_2\approx \sqrt{2g\left(H-h\right)}}$

Este es el teorema de Torricelli que calcula la velocidad con la que sale un líquido por un pequeño orificio en un recipiente abierto, bajo la acción de la gravedad. Es la velocidad con la que cae un objeto desde una altura H-h

El chorro de líquido que sale del orificio con velocidad horizontal v₂ tiene la forma de una parabóla. Situamos el origen en el centro del orificio, el eje horizontal X y el eje vertical Y orientado hacia abajo

${\displaystyle \{\begin{array}{l}{a}_x=0\\ a_y=g\end{array}\{\begin{array}{l}{v}_x=\sqrt{2g\left(H-h\right)}\\ v_y=gt\end{array}\{\begin{array}{l}x=\sqrt{2g\left(H-h\right)}·t\\ y=\frac{1}{2}g{t}^2\end{array}}$

Eliminando el tiempo t, obtenemos la ecuación de una parábola

${\displaystyle y=\frac{1}{2}g\frac{x^2}{2g\left(H-h\right)}=\frac{1}{4}\frac{x^2}{H-h}}$

Impacta en el suelo en el instante T tal que

${\displaystyle h=\frac{1}{2}g{T}^2,T=\sqrt{\frac{2h}{g}}}$

Su alcance R es

${\displaystyle R=\sqrt{2g\left(H-h\right)}\sqrt{\frac{2h}{g}}=2\sqrt{h\left(H-h\right)}}$

El alcance R depende de la altura H del recipiente y de la altura del orificio h

La altura h del orificio que produce el máximo valor del alcance R es

${\displaystyle \begin{array}{l}\frac{dR}{dh}=\mathrm{0,}\frac{H-2h}{\sqrt{h\left(H-h\right)}}=\mathrm{0,}h=\frac{H}{2}\\ R_{máx}=2\sqrt{\frac{H}{2}\left(H-\frac{H}{2}\right)}=H\end{array}}$

Sea un recipiente cilíndrico de altura H=10 m. Hacemos orificios a alturas h=1, 3, 5, 7, 9 m desde el suelo. El alcance máximo se obtiene para el orificio situado a h=5 m de altura

H=10; %altura del recipiente
hold on
for h=1:2:9
    vx=sqrt(2*9.8*(H-h));
    fplot(@(t) vx*t, @(t) H-h+9.8*t.^2/2,[0,sqrt(2*h/9.8)])
end
line([0,H],[H,H],'color','k')
hold off
grid on
set(gca, 'YDir','reverse')
xlabel('x (m)')
ylabel('y (m)')
title('Chorros de líquido')

Un modelo que se aproxima a la experencia

En el caso real, el alcance R se desvía de las predicción teórica, en especial cuando el diámetro del orificio es pequeño.

• Movimiento horizontal

La componente v_x de la velocidad no se mantiene constante e igual a $v_x=\sqrt{2g\left(H-h\right)}$, sino que varía con el tiempo de la forma

${\displaystyle m\frac{d{v}_x}{dt}=-ks{v}_x}$

• Donde m=ρπr², es la masa/longitud del chorro
• s=2πr es el área de la superficie del chorro/longitud
• k es un coeficiente de resistencia que se ha de determinar para cada líquido

 

Esta fórmula describe el efecto combinado de la viscosidad del líquido y su interacción con el medio (aire).

${\displaystyle \begin{array}{l}\rho \pi r^2\frac{d{v}_x}{dt}=-k\left(2\pi r\right)v_x\\ \frac{d{v}_x}{dt}=-k\frac{2\pi r}{\rho \pi r^2}{v}_x=\frac{a}{r}{v}_x,a=\frac{2k}{\rho }\end{array}}$

Integramos para obtener la componente horizontal v_x de la velocidad, sabiendo que la velocidad inicial es v₀

${\displaystyle \begin{array}{l}{\displaystyle \underset{v_0}{\overset{v_x}{\int }}\frac{d{v}_x}{v_x}}=-\frac{a}{r}{\displaystyle \underset{0}{\overset{t}{\int }}dt}\\ \ln \frac{v_x}{v_0}=-\frac{a}{r}t\\ \frac{dx}{dt}=v_0\exp \left(-\frac{a}{r}t\right)\end{array}}$

Integramos para obtener la abscisa x

${\displaystyle \begin{array}{l}{\displaystyle \underset{0}{\overset{x}{\int }}dx}=v_0{\displaystyle \underset{0}{\overset{t}{\int }}\exp \left(-\frac{a}{r}t\right)dt}\\ x={-v_0\frac{r}{a}\exp \left(-\frac{a}{r}t\right)|}_0^t\\ x=-v_0\frac{r}{a}\exp \left(-\frac{a}{r}t\right)+v_0\frac{r}{a}\\ x=v_0\frac{r}{a}\left(1-\exp \left(-\frac{a}{r}t\right)\right)\end{array}}$

v₀ es la velocidad inicial el fluido en el orificio, supondremos que

${\displaystyle v_0\approx \sqrt{2g\left(H-h\right)}}$

• Movimiento vertical

En este caso, hay que tener en cuenta el peso/longitud mg del chorro

${\displaystyle \begin{array}{l}m\frac{d{v}_y}{dt}=mg-ks{v}_y\\ \frac{d{v}_y}{dt}=g-\frac{a}{r}{v}_y\end{array}}$

Integramos para obtener la componente vertical v_y de la velocidad, sabiendo que la velocidad inicial en la dirección vertical es nula

${\displaystyle \begin{array}{l}{\displaystyle \underset{0}{\overset{v_y}{\int }}\frac{d{v}_y}{g-\frac{a}{r}{v}_y}}={\displaystyle \underset{0}{\overset{t}{\int }}dt}\\ -\frac{1}{\frac{a}{r}}\ln \frac{g-\frac{a}{r}{v}_y}{g}=t\\ \ln \frac{g-\frac{a}{r}{v}_y}{g}=-\frac{a}{r}t\\ g-\frac{a}{r}{v}_y=g\exp \left(-\frac{a}{r}t\right)\\ \frac{dy}{dt}=\frac{r}{a}g\left(1-\exp \left(-\frac{a}{r}t\right)\right)\end{array}}$

Integramos para obtener la ordenada y

${\displaystyle \begin{array}{l}{\displaystyle \underset{0}{\overset{y}{\int }}dy}=\frac{r}{a}g{\displaystyle \underset{0}{\overset{t}{\int }}\left(1-\exp \left(-\frac{a}{r}t\right)\right)dt}\\ y={\frac{r}{a}g\left(t+\frac{r}{a}\exp \left(-\frac{a}{r}t\right)\right)|}_0^t\\ y=\frac{r}{a}g\left(t+\frac{r}{a}\exp \left(-\frac{a}{r}t\right)\right)-\frac{r^2}{a^2}g\\ y=\frac{r}{a}g\left(t+\frac{r}{a}\left(\exp \left(-\frac{a}{r}t\right)-1\right)\right)\end{array}}$

Tiempo de vuelo

El chorro impacta en el suelo en el instante T tal que y=h

${\displaystyle h=\frac{r}{a}g\left(T+\frac{r}{a}\left(\exp \left(-\frac{a}{r}T\right)-1\right)\right)}$

El tiempo T se calcula resolviendo una ecuación transcendente

Desarrollando en serie la exponencial

>> syms k t;
>> taylor(exp(-k*t), t)
 ans =- (k^5*t^5)/120 + (k^4*t^4)/24 - (k^3*t^3)/6 + (k^2*t^2)/2 - k*t + 1

${\displaystyle \begin{array}{l}h=\frac{r}{a}g\left(T+\frac{r}{a}\left(1-\frac{a}{r}T+\frac{1}{2}\frac{a^2}{r^2}{T}^2-\frac{1}{6}\frac{a^3}{r^3}{T}^3+\frac{1}{24}\frac{a^4}{r^4}{T}^4-\mathrm{...}-1\right)\right)\\ h=\frac{r}{a}g\left(\frac{1}{2}\frac{a}{r}{T}^2-\frac{1}{6}\frac{a^2}{r^2}{T}^3+\frac{1}{24}\frac{a^3}{r^3}{T}^4-\mathrm{...}\right)\\ h=\frac{1}{2}g{T}^2-\frac{1}{6}g\frac{a}{r}{T}^3+\frac{1}{24}g\frac{a^2}{r^2}{T}^4-\mathrm{...}\end{array}}$

El alcance

En el instamte T la distancia horizontal R es

${\displaystyle R=v_0\frac{r}{a}\left(1-\exp \left(-\frac{a}{r}T\right)\right)}$

Midiendo R y T despejamos el valor del parámetro a

Ecuación del chorro

Eliminamos el tiempo t en las ecuaciones paramétricas x(t) e y(t)

${\displaystyle \begin{array}{l}x=v_0\frac{r}{a}\left(1-\exp \left(-\frac{a}{r}t\right)\right)\\ \exp \left(-\frac{a}{r}t\right)=1-\frac{ax}{v_{0}r}\\ t=-\frac{r}{a}\ln \left(1-\frac{ax}{v_{0}r}\right)\end{array}}$

Sustituímos en y(t)

${\displaystyle \begin{array}{l}y=\frac{r}{a}g\left(t+\frac{r}{a}\left(\exp \left(-\frac{a}{r}t\right)-1\right)\right)\\ y=\frac{r}{a}g\left(-\frac{r}{a}\ln \left(1-\frac{ax}{v_{0}r}\right)-\frac{r}{a}\frac{ax}{v_{0}r}\right)\\ y=-g\frac{r}{a}\left(\frac{r}{a}\ln \left(1-\frac{ax}{v_{0}r}\right)+\frac{x}{v_0}\right)\end{array}}$

Representamos la forma del chorro, que sale de un orificio con los siguientes datos

• Altura del orificio, h=31.5 cm medida desde el suelo
• Altura del orificio H-h=10.3 cm medida desde la superficie libre
• Radio del orificio, r=0.021 cm
• Parámetro a=0.12 para el agua

r=0.021; %radio del orificio
h=31.5;
a=0.12;
v0=sqrt(2*980*10.3);
x=@(t) v0*r*(1-exp(-a*t/r))/a;
y=@(t) r*980*(t+r*(exp(-a*t/r)-1)/a)/a;
f=@(x) x+r*(exp(-a*x/r)-1)/a-a*h/(r*980);
T=fzero(f,[0,1]);
disp(T)
hold on
fplot(x,y,[0,T])
fplot(@(t) v0*t, @(t) 980*t.^2/2,[0, sqrt(2*h/980)])
line([0,v0*sqrt(2*h/980)],[h,h],'color','k')
set(gca, 'YDir','reverse')
hold off
grid  on
xlabel('x (cm)')
ylabel('y (cm)')
title('Chorro de líquido')

En azul la forma del chorro y en rosa la parábola (chorro ideal)

    0.3325   21.1458

El tiempo de vuelo es T=0.332 s y el alcance R=21.14 cm

Representamos el alcance R en función del radio del orificio r

• Agua

Representamos el alcance R en función del radio del orificio r=0.021, 0.062, 0.084, 0.107, 0.245, 0.442 cm, para el agua a=0.12

Para tres alturas del orificio, h=31.1, 26.1 y 20.1 cm

La altura desde la superficie libre es H-h=10.3 cm

colores=['b','r','k'];
a=0.12;
v0=sqrt(2*980*10.3);
hold on
rr=[0.021,0.062,0.084,0.107,0.245,0.442];
R=zeros(1,length(rr));
i=1;
for h=[31.5,26.1,20.1]
    k=1;
    for r=rr
        f=@(x) x+r*(exp(-a*x/r)-1)/a-a*h/(r*980);
        T=fzero(f,[0,1]);
        R(k)=v0*r*(1-exp(-a*T/r))/a;
        plot(r,R(k),'ro','markersize',3,'markerfacecolor','r')
        k=k+1;
    end
    plot(rr,R,colores(i))
    i=i+1;
end
grid  on
xlabel('r (cm)')
ylabel('R (cm)')
title('Agua')



• Diesel

Representamos el alcance R en función del radio del orificio r=0.036, 0.072, 0.140, 0.210, 0.407, 0.612, 0.753, 0.867, 1.2 cm, para el diesel a=0.19

Para dos alturas del orificio, h=25.0, 18.4 cm

La altura desde la superficie libre es H-h=8.5 cm

colores=['b','r'];
a=0.19;
v0=sqrt(2*980*8.5);
hold on
rr=[0.036,0.072,0.140,0.210,0.407,0.612,0.753,0.867,1.2];
R=zeros(1,length(rr));
i=1;
for h=[25.0,18.4]
    k=1;
    for r=rr
        f=@(x) x+r*(exp(-a*x/r)-1)/a-a*h/(r*980);
        T=fzero(f,[0,1]);
        R(k)=v0*r*(1-exp(-a*T/r))/a;
        plot(r,R(k),'ro','markersize',3,'markerfacecolor','r')
        k=k+1;
    end
    plot(rr,R,colores(i))
    i=i+1;
end
grid  on
xlabel('r (cm)')
ylabel('R (cm)')
title('Diesel')



• Aceite

Representamos el alcance R en función del radio del orificio r=0.036, 0.072, 0.140, 0.210, 0.407, 0.612, 0.753, 0.867, 1.2 cm, para el diesel a=0.47

Para dos alturas del orificio, h=25.0, 18.4 cm

La altura desde la superficie libre es H-h=8.5 cm

colores=['b','r'];
a=0.47;
v0=sqrt(2*980*8.5);
hold on
rr=[0.036,0.072,0.140,0.210,0.407,0.612,0.753,0.867,1.2];
R=zeros(1,length(rr));
i=1;
for h=[25.0,18.4]
    k=1;
    for r=rr
        f=@(x) x+r*(exp(-a*x/r)-1)/a-a*h/(r*980);
        T=fzero(f,[0,1]);
        R(k)=v0*r*(1-exp(-a*T/r))/a;
        plot(r,R(k),'ro','markersize',3,'markerfacecolor','r')
        k=k+1;
    end
    plot(rr,R,colores(i))
    i=i+1;
end
grid  on
xlabel('r (cm)')
ylabel('R (cm)')
title('Aceite')

Actividades

• Se elige el líquido: agua, diesel, aceite
• La posición del orificio desde la superficie libre del líquido, H-h en cm
• La posición del orificio desde el suelo, h en cm
• El radio del orificio, r en cm

Ejemplos

• Agua, a=0.12

H-h=10.3 cm

h=31.5, 26.1, 20.1 cm

r=0.021, 0.062, 0.084, 0.107, 0.245, 0.442 cm

• Diesel, a=0.19

H-h=8.5 cm

h=25.0, 18.4 cm

r=0.036, 0.072, 0.110, 0.140, 0.210, 0.407, 0.612, 0.753, 0.867, 1.200 cm

• Aceite, a=0.47

H-h=8.5 cm

h=25.0, 18.4 cm

r=0.036, 0.072, 0.110, 0.140, 0.210, 0.407, 0.612, 0.753, 0.867, 1.200 cm

Una línea azul señala el chorro que parte del orificio. Se muestra el tiempo T que tarda en alcanzar el suelo y el alcance horizontal R

La línea roja es una parábola, la trayectoria que describiría un objeto lanzado desde el centro del orifico con velocidad horizontal $v_0=\sqrt{2g\left(H-h\right)}$

Referencias

Sanjoy Kumar Pal, Pradipta Panchadhyayee, Kausik S. Das, Debapriyo Syam. Experimental and Theoretical Investigation of Water Jet Trajectories: Deviations from Torricelli’s Theorem and the Role of Viscous Effects. The Physics Teacher, Vol.64, September 2026. pp. 539-543