Vaciado de un depósito abierto

Teorema de Torricelli

Un depósito cilíndrico, de sección S1 tiene un orificio muy pequeño en el fondo de sección S2 mucho más pequeña que S1. Aplicamos el teorema de Bernoulli a los puntos (1) y (2) situados en la superficie libre del fluido y en el centro del orificio inferior.

p 1 +ρg y 1 + 1 2 ρ v 1 2 = p 2 +ρg y 2 + 1 2 ρ v 2 2

suponiendo que la velocidad del fluido en la sección mayor S1 es despreciable v10 comparada con la velocidad del fluido v2 en la sección menor S2.

Por otra parte, el elemento de fluido delimitado por las secciones S1 y S2 está en contacto con el aire a la misma presión. Luego, p1=p2=p0.

La diferencia de alturas es y1-y2=h. Siendo h la altura de la columna de fluido

Con estos datos la ecuación de Bernoulli se escribe

gh= 1 2 v 2 2 v 2 = 2gh

Vaciado de un depósito

En la deducción del teorema de Torricelli hemos supuesto que la velocidad del fluido en la sección mayor S1 es despreciable v1≈ 0 comparada con la velocidad del fluido v2 en la sección menor S2.

Supondremos ahora, que v1 no es despreciable frente a v2.

La ecuación de continuidad se escribe

v1S1=v2S2

y la ecuación de Bernoulli

ρgh+ 1 2 ρ v 1 2 = 1 2 ρ v 2 2

De estas dos ecuaciones obtenemos v1 y v2

v 2 = S 1 2gh S 1 2 S 2 2

Si S1>>S2 obtenemos el resultado de Torricelli

El volumen de fluido que sale del depósito en la unidad de tiempo es S2v2 y en el tiempo dt será S2v2dt . Como consecuencia disminuirá la altura h del depósito

-S1dh= S2v2dt

Si la altura inicial del depósito en el instante t=0 es H. Integrando esta ecuación diferencial, obtenemos la expresión de la altura h en función del tiempo.

H h dh h = S 2 2g S 1 2 S 2 2 0 t dt 2 H 2 h = S 2 2g S 1 2 S 2 2 t

Cuando h=0, despejamos el tiempo t que tarda el depósito en vaciarse por completo.

t= ( S 1 2 S 2 2 1 ) 2H g

Si S1>>S2, se puede despreciar la unidad

t= S 1 S 2 2H g

Ejemplo.

Sustituyendo estos datos en la fórmula del tiempo obtenemos t=47.34 s, que es el tiempo que tarda en vaciarse completamente el depósito. Si aplicamos la aproximación S1>>S2, obtenemos prácticamente el mismo tiempo t=47.35 s.

S1=pi*0.1^2;  %sección del depósito
S2=pi*0.008^2; %sección del orificio
H=0.45; %altura inicial del fluido
tMax=sqrt(2*H*(S1^2/S2^2-1)/9.8); %tiempo que tarda en salir el fluido
t=linspace(0,tMax,100);
h=(sqrt(H)-S2*sqrt(2*9.8/(S1^2-S2^2))*t/2).^2;
plot(t,h)
grid on
xlabel('t(s)')
ylabel('h(m)')
title('Vaciado de un depósito')

tMax =   47.3499

Actividades

Se introduce:

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El fluido comienza a salir por el orificio, a la vez que se representa gráficamente la altura de la columna de fluido en función del tiempo.


Referencias

Njock J, Mechanics of the slow draining of a large tank under gravity. Am. J. Phys. 71 (11) November 2003, pp. 1204-1207