Teorema de Torricelli

Un depósito cilíndrico, de sección S₁ tiene un orificio muy pequeño en el fondo de sección S₂ mucho más pequeña que S₁. Aplicamos el teorema de Bernoulli a los puntos (1) y (2) situados en la superficie libre del fluido y en el centro del orificio inferior.

${\displaystyle p_1+\rho g{y}_1+\frac{1}{2}\rho v_1^2=p_2+\rho g{y}_2+\frac{1}{2}\rho v_2^2}$

suponiendo que la velocidad del fluido en la sección mayor S₁ es despreciable v₁≈ 0 comparada con la velocidad del fluido v₂ en la sección menor S₂.

Por otra parte, el elemento de fluido delimitado por las secciones S₁ y S₂ está en contacto con el aire a la misma presión. Luego, p₁=p₂=p₀.

La diferencia de alturas es y₁-y₂=h. Siendo h la altura de la columna de fluido

Con estos datos la ecuación de Bernoulli se escribe

${\displaystyle gh=\frac{1}{2}{v}_2^2{v}_2=\sqrt{2gh}}$

Vaciado de un depósito

En la deducción del teorema de Torricelli hemos supuesto que la velocidad del fluido en la sección mayor S₁ es despreciable v₁≈ 0 comparada con la velocidad del fluido v₂ en la sección menor S₂.

Supondremos ahora, que v₁ no es despreciable frente a v₂.

La ecuación de continuidad se escribe

v₁S₁=v₂S₂

y la ecuación de Bernoulli

${\displaystyle \rho gh+\frac{1}{2}\rho v_1^2=\frac{1}{2}\rho v_2^2}$

De estas dos ecuaciones obtenemos v₁ y v₂

${\displaystyle v_2=S_1\sqrt{\frac{2gh}{S_1^2-S_2^2}}}$

Si S₁>>S₂ obtenemos el resultado de Torricelli

El volumen de fluido que sale del depósito en la unidad de tiempo es S₂v₂ y en el tiempo dt será S₂v₂dt . Como consecuencia disminuirá la altura h del depósito

-S₁dh= S₂v₂dt

Si la altura inicial del depósito en el instante t=0 es H. Integrando esta ecuación diferencial, obtenemos la expresión de la altura h en función del tiempo.

${\displaystyle \begin{array}{l}-{\displaystyle \underset{H}{\overset{h}{\int }}\frac{dh}{\sqrt{h}}}=S_2\sqrt{\frac{2g}{S_1^2-S_2^2}}{\displaystyle \underset{0}{\overset{t}{\int }}dt}\\ 2\sqrt{H}-2\sqrt{h}=S_2\sqrt{\frac{2g}{S_1^2-S_2^2}}\cdot t\end{array}}$

Cuando h=0, despejamos el tiempo t que tarda el depósito en vaciarse por completo.

${\displaystyle t=\sqrt{\left(\frac{S_1^2}{S_2^2}-1\right)\frac{2H}{g}}}$

Si S₁>>S₂, se puede despreciar la unidad

${\displaystyle t=\frac{S_1}{S_2}\sqrt{\frac{2H}{g}}}$

Ejemplo.

• Radio del depósito 10 cm, luego, S₁=π (0.1)² m²
• Radio del orificio 0.8 cm, luego, S₂=π(0.008)² m²
• Altura inicial 45 cm, H=0.45 m

Sustituyendo estos datos en la fórmula del tiempo obtenemos t=47.34 s, que es el tiempo que tarda en vaciarse completamente el depósito. Si aplicamos la aproximación S₁>>S₂, obtenemos prácticamente el mismo tiempo t=47.35 s.

S1=pi*0.1^2;  %sección del depósito
S2=pi*0.008^2; %sección del orificio
H=0.45; %altura inicial del fluido
tMax=sqrt(2*H*(S1^2/S2^2-1)/9.8); %tiempo que tarda en salir el fluido
t=linspace(0,tMax,100);
h=(sqrt(H)-S2*sqrt(2*9.8/(S1^2-S2^2))*t/2).^2;
plot(t,h)
grid on
xlabel('t(s)')
ylabel('h(m)')
title('Vaciado de un depósito')

tMax =   47.3499

Actividades

Se introduce:

• el radio del depósito R₁, en el control titulado Radio depósito
• el radio del orificio R₂ situado en el fondo, en el control titulado Radio del orificio
• la altura inicial H de agua en el depósito, se ha fijado en 45 cm.

Se pulsa en el botón titulado Nuevo

El fluido comienza a salir por el orificio, a la vez que se representa gráficamente la altura de la columna de fluido en función del tiempo.

Referencias

Njock J, Mechanics of the slow draining of a large tank under gravity. Am. J. Phys. 71 (11) November 2003, pp. 1204-1207