Oscilaciones de un líquido contenido en un tubo en U de sección variable

En la figura, se muestra un tubo de sección variable A(s) que contiene líquido. La línea a trazos señala la situación de equilibrio. Trazamos el eje del tubo y designamos s=0, el punto de color negro situado en el brazo izquierdo, intersección de la línea a trazos con el eje, y s=L el punto de color negro situado en el brazo derecho, intersección de la línea a trazos con dicho eje

En un instante dado t, la superficie libre del líquido en el brazo iquierdo se encuentra en A y en el brazo derecho en B. Como el fluido se supone incompresible, se cumplirá que

0 s A A(s)·ds= L s B A(s)·ds

Con sB=L+y, siendo y la posición de B respecto del nivel de equilibrio (línea a trazos)

Energías

Ecuación del movimiento

Como la energía total permenece constante, la derivada con respecto del tiempo, será cero

d dt ( E k + E p )=0

La regla de Leibniz para calcular la derivada de una integral en el que el integrando y los límites varían con el tiempo es

d dt a(t) b(t) f(x,t)dx=f(b,t) db dt f(a,t) da dt + a b f t dx

Sumamos ambas contribuciones

1 2 ρ A 2 ( s B ) v B 2 { 1 A( s B ) v B A( s B ) A 2 ( s A ) v B }+ρ{ A( s B ) ( dA(s) ds ) B v B 3 + A 2 ( s B ) v B d v B dt } s A s B ds A(s) +ρg( s B L+ s A )A( s B ) v B =0

Dividimos por ρA(sB)vB

1 2 v B 2 { 1 A 2 ( s B ) A 2 ( s A ) }+{ ( dA(s) ds ) B v B 2 +A( s B ) d v B dt } s A s B ds A(s) +g( s B L+ s A )=0

Teniendo en cuenta que sB=L+y, y vB=dy/dt, obtenemos la ecuación diferencial del movimiento

1 2 ( dy dt ) 2 { 1 A 2 (L+y) A 2 ( s A ) }+{ ( dA(s) ds ) L+y ( dy dt ) 2 +A(L+y) d 2 y d t 2 } s A L+y ds A(s) +g( y+ s A )=0

La forma del tubo A(s) estabecerá la relación entre las variables sA e y, las expresiones de la derivada de A(s) en L+y y de la integral definida

Tubo de sección constante

El caso más simple es un tubo de sección constante A(s)=A. Al ser el fluido imcompresible, sA=sB-L=y. La ecuación del movimiento se reduce a

{ A d 2 y d t 2 } L A +g( y+ s A )=0 d 2 y d t 2 +2 g L y=0

Tubo de sección variable

Consideremos un tubo de sección variable cuyo radio viene dado por la fórmula r=(s+r0)k. El área de la sección en la posición s a lo largo del eje del tubo es A(s)=π( s+ r 0 ) k 2

Para s=0, el radio es r=r0k y para s=L, r=(L+r0)k

Para un fluido incompresible

0 s A π ( s+ r 0 ) 2 · k 2 ·ds= L s B π ( s+ r 0 ) 2 · k 2 ·ds 0 s A ( s 2 + r 0 2 +2s r 0 )·ds= L s B ( s 2 + r 0 2 +2s r 0 )·ds s A 3 3 + r 0 2 s A + r 0 s A 2 = s B 3 3 + r 0 2 s B + r 0 s B 2 L 3 3 r 0 2 L r 0 L 2

Sabiendo que sB=L+y, establecemos la relación entre sA e y

s A 3 +3 r 0 s A 2 +3 r 0 2 s A ( y+L+ r 0 ) 3 + ( L+ r 0 ) 3 =0

Obtenemos la raíz real de esta ecuación cúbica

a=3 r 0 ,b=3 r 0 2 ,c= ( y+L+ r 0 ) 3 + ( L+ r 0 ) 3 P=b a 2 3 =0 Q= ab 3 c 2 27 a 3 = r 0 3 + ( y+L+ r 0 ) 3 ( L+ r 0 ) 3 v 3 =Q,u=0 s A =(uv) a 3 = ( r 0 3 + ( y+L+ r 0 ) 3 ( L+ r 0 ) 3 ) 1/3 r 0

Para resolver la ecuación diferencial del movimiento nos falta la expresión de la derivada de A(s) evaluada en L+y

( dA(s) ds ) L+y =2π( L+y+ r 0 ) k 2

y la integral definida

s A L+y ds A(s) = s A L+y ds π ( s+ r 0 ) 2 k 2 = 1 π k 2 ( s+ r 0 ) 1 1 | s A L+y = 1 π k 2 { 1 s A + r 0 1 L+y+ r 0 }

La ecuación diferencial del movimiento se transforma en

1 2 ( dy dt ) 2 { 1 A 2 (L+y) A 2 ( s A ) }+{ 2π( L+y+ r 0 ) k 2 ( dy dt ) 2 +A(L+y)· d 2 y d t 2 } 1 π k 2 { 1 s A + r 0 1 L+y+ r 0 }+g( y+ s A )=0 { 1 2 ( 1 A 2 (L+y) A 2 ( s A ) )+2( L+y+ r 0 s A + r 0 1 ) } ( dy dt ) 2 + A(L+y) π k 2 { 1 s A + r 0 1 L+y+ r 0 } d 2 y d t 2 +g( y+ s A )=0

que junto a la relación entre sA e y resolveremos por el procedimiento numérico ode45 de MATLAB

Conservación de la energía

Una forma de verificar la solución de la ecuación del movimiento es la de comprobar si la energía se mantiene aproximadamente constante

La suma de las dos energías se ha de mantener aproximadamente constante

Ejemplo

Consideremos un tubo en U de sección variable tal que

Las condiciones iniciales son: en el instanet t=0, se desplaza la supoerficie libre del fluido y=1 mm y y se suelta dy/dt=0

Representamos la posición de la superficie libre derecha yB=y y la izquierda yA=-sA en función del tiempo t

function tubo_U
    r0=0.1;
    L=0.2; 
    k=0.001;
    [t,x]=ode45(@tubo,[0,2],[0.001,0]);
    hold on
    plot(t,x(:,1)) %movimiento B
    sA=(r0^3+(x(:,1)+L+r0).^3-(L+r0)^3).^(1/3)-r0;
    plot(t,-sA) %movimiento A, y_A=-sA
    hold off
    grid on
    xlabel('t')
    ylabel('y_A, y_B');
    title('Oscilaciones')
%energía
    Ep=9.8*((L+x(:,1)).^4/4-L^4/4+(2*r0-L)*((L+x(:,1)).^3/3-L^3/3)+r0*
(r0-2*L)*((L+x(:,1)).^2/2-L^2/2)-L*r0^2*x(:,1)+sA.^4/4+2*r0*sA.^3/3+r0^2*sA.^2/2);
    Ek=((x(:,2).^2).*(L+x(:,1)+r0).^4).*(1./(sA+r0)-1./(L+x(:,1)+r0))/2;
    disp(Ek+Ep)
    
    function z=tubo(~,x)   
        sA=(r0^3+(x(1)+L+r0)^3-(L+r0)^3)^(1/3)-r0;
        A_a=pi*(sA+r0)^2*k^2;
        A_b=pi*(L+x(1)+r0)^2*k^2;
        num=A_b*(1/(sA+r0)-1/(L+x(1)+r0))/(pi*k^2);
        z=[x(2); -(9.8*(x(1)+sA)+((1-A_b^2/A_a^2)/2+2*((L+x(1)+r0)/(sA+r0)-1))
*x(2)^2)/num]; 
    end
end

Comprobamos que la energía se mantiene aproximadamente constante

 1.0e-05 *
    0.4222
    0.4222
    .....
    0.4214
    0.4214
    0.4214    

Referencias

Carl E Mungan, Garth A Sheldon-Coulson. Liquid oscillating in a U-tube of variable cross section. Eur. J. Phys. 42 (2021) 025008

Artículo disponible en la dirección: https://www.usna.edu/Users/physics/mungan/Publications/Publications.php#fndtn-panel120162017