Oscilaciones del líquido contenido en dos vasos comunicantes

Consideremos dos recipientes de sección S1 y S2, comunicados por su parte inferior a través de un tubo de longitud d y pequeña sección S. Se cierra la llave de paso del tubo horizontal y se vierte un líquido en los recipientes hasta una altura h01 y h02 tal como se muestra en la figura
Cuando se abre la llave de paso y se comunican los dos recipientes, el líquido fluye a través del tubo desde un recipiente al otro, hasta que al cabo de un tiempo se alcanza una altura de equilibrio h
Como el volumen total de líquido no ha cambiado, desde la situación inicial a la de equilibrio, tendemos que
S1h01+S2h02=S1h+S2h
En esta página, se considera que el líquido que se vierte en los recipientes es ideal, el estado de equilibrio no se alcanza. El líquido pasa de un recipiente hacia el otro y vicersa, oscilando entre alturas constantes, h02 y 2h-h02 en el recipiente de la derecha.

En un instante dado t, el nivel del líquido por debajo de la altura de equilibrio en el primer vaso es x1 y en el segundo, el nivel está por encima x2. Como el volumen de líquido no ha cambiado
S1x1=S2x2
Si v1 es la velocidad del fluido en el primer recipiente, v2 en el segundo y u en el tubo que comunica ambos recipientes. Se cumplirá por la ecuación de continuidad que
S1v1=S2v2=Su
Energías
La energía cinética del líquido contenido en el recipiente de la izquierda es
La energía cinética del líquido contenido en el recipiente de la derecha es
La energía cinética del líquido contenido en tubo horizontal que comunica los recipientes es
La energía cinética total es

La posición del centro de masas del recipiente izquierdo y derecho, se señalan por un punto de color rojo en la figura. La posición del centro de masas del líquido contenido en los dos recipientes es
La energía potencial del centro de masas es
Ecuación del movimiento
La lagrangiana L=Ek-Ep es
Para simplificar la notación, denominaremos y=x2. La ecuación del movimiento es
Resolveremos la ecuación del movimiento por procedimientos numéricos con la siguientes condiciones iniciales: en el instante t=0, la altura del fluido en el recipiente de la derecha por encima de la de equilibrio es y0=x02=h02-h (véase la primera figura). La velocidad inicial del líquido en los recipientes es cero, dy/dt=0
Oscilaciones armónicas
Cuando las secciones de los recipientes son iguales, S1=S2. La ecuación del movimiento es
Se trata de la ecuación diferencial de las oscilaciones libres de frecuencia angular ω0 y periodo P=2π/ω0
Energía
Hemos calculado, la energía cinética y potencial del sistema formado por los dos recipientes y el tubo horizontal que los comunica
La energía inicial es solamente potencial
La energía en el instante t es
Si el líquido es ideal, la energía se mantiene constante
Periodo
Despejamos dt e integramos
Donde C=A/B. Buscamos la solución a la integral
E(θ,k), se denomina integral elíptica incompleta de segunda especie. Identificamos: u=y, c=-C=-A/B, a=y0, b=-y0
El periodo es el doble del tiempo que tarda el nivel del líquido en el recipiente de la derecha, en subir desde h-y0 a h+y0. Cuando el límite superior de la integral y=y0
E(k), es una integral elíptica completa
Solución numérica
Consideremos el sistema formado por dos vasos comunicantes
- Radio del recipiente cilíndrico de la derecha r2= 5 cm, se mantiene fijo
- Radio del recipiente cilíndrico de la izquierda r1= 10 cm, mayor que r2
- Radio del tubo horizontal, rd=0.2 cm
- Longitud del tubo horizontal, d=10 cm
En el instante inicial t=0, los niveles del líquido en cada uno de los recipientes es
- Recipiente de la izquierda h1= 10 cm, se mantiene fijo
- Recipiente de la derecha h2= 20 cm, mayor que h1
Calculamos la altura h de equilibrio
Se deberá cumplir que 2h-h2≥0. en caso contrario se modifica h2
Calculamos el periodo P y resolvemos la ecuación diferencial por el procedimiento numérico
El nivel del líquido en el recipiente de la derecha en el instante t es h2=h+x2=h+y
r2=5; % fijo r1=10; %mayor que r2 h2=20; %mayor que h1 h1=10; %fijo d=10; %tubo que comunica los recipientes rd=0.2; %altura de equilibrio h=(r1^2*h1+r2^2*h2)/(r1^2+r2^2); if 2*h-h2<0 disp('Diminuir la altura inicial') return; end A=h+r1^2*r2^2*d/(rd^2*(r1^2+r2^2)); B=1-r2^2/r1^2; %periodo if r1==r2 P=2*pi*sqrt((h+r2^2*d/(2*rd^2))/9.8); else k2=2*(h2-h)/(h2-h+A/B); [K,E]=ellipke(k2); P=4*sqrt(B/9.8)*sqrt(h2-h+A/B)*E; end f=@(t,x) [x(2);(-9.8*x(1)-B*x(2)^2/2)/(A+B*x(1))]; [t,x]=ode45(f,[0,P],[h2-h,0]); plot(t,x(:,1)+h) line([0,P],[h,h],'lineStyle','--','color','k') grid on xlabel('t (s)') ylabel('h_2 (cm)'); title('Vasos comunicantes ')
La línea a trazos señala la altura h de equilibrio. El periodo P en s, vale
P = 142.0929
Comprobamos que la energía se mantiene constante.
En el lado izquierdo, tenemos el cambio de energía cinética, en el derecho, el cambio de energía potencial, la suma debe anularse, ΔEk+ΔEp=0
>> (A+B*x(:,1)).*x(:,2).^2-9.8*((h2-h)^2-x(:,1).^2) ans = 0 0.0000 -0.0000 ... -0.1115 -0.1116
Solución analítica
La ecuación
nos proporciona la ecuación implícita t=f(y). Damos valores a y en el intervalo -y0≤y≤y0, obteniendo el nivel de líquido en el recipiente derecho h+y en función del tiempo t durante medio periodo de la oscilación
Comprobamos que la solución analítica coincide con la solución utilizando procedimientos numéricos
r2=5; %cm fijo r1=10; %mayor que r2 h2=20; %mayor que h1 h1=10; %fijo d=10; %tubo que comunica los recipientes rd=0.2; %altura de equilibrio h=(r1^2*h1+r2^2*h2)/(r1^2+r2^2); if 2*h-h2<0 disp('Diminuir la altura inicial') return; end A=h+r1^2*r2^2*d/(rd^2*(r1^2+r2^2)); B=1-r2^2/r1^2; %periodo if r1==r2 %armónico P=2*pi*sqrt((h+r2^2*d/(2*rd^2))/9.8); else k2=h2/(h2+A/B); [K,E]=ellipke(k2); P=4*sqrt(B/9.8)*sqrt(h2+A/B)*E; end %solución analítica if r1==r2 %armónico w0=sqrt(9.8/(h+r2^2*d/(2*rd^2))); t=linspace(0,pi/w0,100); y=-(h2-h)*cos(w0*t); else y=linspace(-(h2-h),(h2-h),100); k2=2*(h2-h)/(h2-h+A/B); th=asin(sqrt((h2-h+A/B)*(y+h2-h)./(2*(h2-h)*(y+A/B)))); E=ellipticE(th,k2); t=2*sqrt(B/9.8)*(sqrt((h2-h)+A/B)*E-sqrt((h2-h-y).*(y+h2-h)./(y+A/B))); end hold on plot(t,y+h) plot(t+P/2,-y+h) line([0,P],[h,h],'lineStyle','--','color','k') %solución numérica f=@(t,x) [x(2);(-9.8*x(1)-B*x(2)^2/2)/(A+B*x(1))]; [t,x]=ode45(f,[0,P],[-h2+h,0]); plot(t,x(:,1)+h) hold off grid on xlabel('t (s)') ylabel('h_2 (cm)'); title('Vasos comunicantes ')
Actividades
Se introduce
- Radio del recipiente cilíndrico de la derecha r2= 5 cm, se mantiene fijo
- Radio del recipiente cilíndrico de la izquierda r1, mayor que r2, en el control titulado Radio izquierda
- Radio del tubo horizontal, rd=0.2 cm
- Longitud del tubo horizontal, d=10 cm
En el instante inicial t=0, los niveles del líquido en cada uno de los recipientes son
- Recipiente de la izquierda h1= 10 cm, se mantiene fijo
- Recipiente de la derecha h2, mayor que h1 en el contro titulado Altura derecha
Calculamos la altura h de equilibrio. Si 2h-h2<0, un mensaje nos invita a modificar la altura h2 o el radio r1
Ecuación de Bernoulli no estacionaria
El flujo Q no es constante, por lo que aplicamos aplicamos la ecuación de Bernoulli en el estado no estacionario a los puntos 1 y 2 (en color rojo) situados en la superficie libre del fluido a uno y otro lado del tubo en U
En este caso

En un instante dado t, el nivel del líquido por debajo de la altura de equilibrio en el primer vaso es x1 y en el segundo, el nivel está por encima x2. Como el volumen de líquido no ha cambiado
S1x1=S2x2
Si v1 es la velocidad del fluido en el primer recipiente y v2 en el segundo Se cumplirá por la ecuación de continuidad que
S1v1=S2v2
Denominamos y=x2, dy/dt=v2. Obtenemos la ecuación diferencial
La misma que mediante la ecuación de Lagrange
Referencias
I.S. Gradshteyn, I.M. Ryzhik. Table of Integrals, Series, and Products. Seventh Edition. Elsevier (2007). 3.141, n° 16, pág. 267,
A.R. Kazachkov, V.A. Lykah, K.A. Minakova, E.S. Syrkin, O.Y. Tkachenko. Liquid nonlinear oscillatios in the U-tube system. Proceedings of the 5th International Conference on Nonlinear Dynamics, ND-KhPI2016. September 27-30, 2016, Kharkov, Ukraine