Oscilaciones de un líquido en un tubo en U que gira

Analizamos en esta página, un tubo en forma de U que gira alrededor de un eje que pasa por el brazo vertical izquierdo. Cuando está en reposo, la altura de líquido, de densidad ρ, en ambos brazos verticales es h y la distancia entre los mismos es d. Supondremos que la sección S del tubo es muy pequeña.

Situación de equilibrio

Nos situamos en el Sistema de Referencia no Inercial vinculado al tubo que gira.

Brazo horizontal

Al girar el tubo, la fuerza centrífuga actúa en los elementos del líquido situados en el brazo horizontal. La fuerza centrífuga que actúa sobre un elemento de masa dm situado a una distancia x del eje de rotación es

dFc2·x·dm=ρSω2x·dx

La fuerza centrífuga total sobre el líquido situado en el brazo horizontal es

F c = 0 d ρS ω 2 x·dx = 1 2 ρS ω 2 d 2

Brazos verticales

El peso del líquido contenido en el brazo vertical más alejado del eje de rotación es Fg=ρSg(h+z)  y actúa en su centro de masa a una altura (h+z)/2

El peso del líquido contenido en el brazo vertical más cercano del eje de rotación es F’g=ρSg(h-z) y actúa en su centro de masa a una altura (h-z)/2

Equilibrio

En el equilibrio, la suma de fuerzas sobre el líquido contenido en el tubo debe ser cero

Fc+F'g-Fg=0

1 2 ρS ω 2 d 2 +ρS(hz)gρS(h+z)g=0 ω 2 = 4gz d 2

Cuando la velocidad angular es ω, el desplazamiento de equilibrio es ze es

z e = d 2 ω 2 4g

A medida que incrementamos la velocidad angular de rotación ω, la altura z de líquido por encima de la de equilibrio h, en el brazo vertical más alejado del eje de rotación, va creciendo proporcionalmente ω2 y decrece en el brazo más cercano al eje. Cuando ze=h, desaparece el líquido en este brazo vertical. La velocidad angular ω vale

ω =2 gh d

Energías

Calculamos las energías cinética y potencial del líquido contenido en un tubo en forma de U gira alrededor de un eje que pasa por el brazo vertical izquierdo

Energía potencial

Comparamos la energía potencial en la situación de equilibrio en reposo (los dos brazos verticales tienen altura h) con la energía potencial cuando el desnivel del líquido en las dos brazos es 2z. Esta parte, ya se ha discutido en el primer apartado

El líquido contenido en el brazo horizontal no cambia su energía potencial. Los centros de masas de las columnas verticales de fluido se han marcado mediante un punto de color rojo, cuya altura es la mitad de la longitud de dicha columna.

La variación de energía potencial es

Ep=ρS·g·z2

Energía cinética

Si el fluido se mueve en el tubo con velocidad dz/dt. Su energía cinética es

E t = 1 2 ρS(d+2h) ( dz dt ) 2

Por otra parte, el tubo gira con velocidad angular ω=dθ/dt.

La energía cinética de rotación es

E r = 1 2 { 1 3 ( ρSd ) d 2 +( ρS(h+z) ) d 2 } ( dθ dt ) 2 = 1 2 ρS d 2 ( d 3 +h+z ) ( dθ dt ) 2

Ecuación del movimiento

La Lagrangiana L=Et+Er-Ep es

L= 1 2 ρS(d+2h) ( dz dt ) 2 + 1 2 ρS d 2 ( z+h+ d 3 ) ( dθ dt ) 2 ρSg z 2

La ecuación del movimiento del fluido en el tubo es

d dt ( L z ˙ ) L z =0 (d+2h) d 2 z d t 2 +2gz 1 2 d 2 ( dθ dt ) 2 =0

Como la Lagrangiana no depende del ángulo θ, hay una cantidad que se conserva

d dt ( L θ ˙ ) L θ =0 L θ ˙ =cte ρ d 2 ( z+h+ d 3 )( dθ dt )=cte ( z+h+ d 3 )( dθ dt )=( z 0 +h+ d 3 ) ω 0

z0 es el desplazamiento del fluido en el tubo cuando la velocidad angular de rotación es ω0

La ecuación diferencial que describe el movimiento del fluido en el tubo es

(d+2h) d 2 z d t 2 +2gz 1 2 d 2 ( z 0 +h+ d 3 ) 2 ω 0 2 ( z+h+ d 3 ) 2 =0

Resolvemos la ecuación diferencial por procedimientos numéricos, con las siguientes condiciones iniciales: en el instante t=0, z=z0, dz/dt=0, dθ/dt=ω0

La energía del tubo en U es la suma de las energías cinéticas y potencial gravitatoria, E=Et+Er+Ep

E= 1 2 ρS(d+2h) ( dz dt ) 2 + 1 2 ρS d 2 ( z 0 +h+ d 3 ) 2 ω 0 2 ( z+h+ d 3 ) +ρSg z 2

La energía se mantiene constante e igual a la inicial con dz/dt=0 y z=z0

Resolvemos la ecuación diferencial en z con los datos:

Para que la columna de fluido oscile, el desplazamiento inicial z0 tiene que ser diferente del de equilibrio ze. Supongamos que z0=0.

Representamos

Si observamos que z>h (desaparece el líquido del tubo vertical izquierdo) habrá que repetir el cálculo dismininuyendo la velocidad angular de rotación ω0 o incrementando el nivel inicial h de líquido en el tubo vertical

d=2; %brazo horizontal
h=0.6; %altura inicial en el brazo vertical
w0=1; %velocidad angular inicial de rotación

z0=0; %desplazamiento inicial
f=@(t,x) [x(2);-2*9.8*x(1)/(d+2*h)+d^2*(z0+h+d/3)^2*w0^2/
(2*(d+2*h)*(x(1)+h+d/3)^2)]; 
[t,x]=ode45(f,[0,5],[z0,0]);
subplot(2,1,1)
plot(t,x(:,1))
grid on
xlabel('t')
ylabel('z');
title('Oscilador, z')
subplot(2,1,2)
w=(z0+h+d/3)*w0./(x(:,1)+h+d/3);
plot(t,w)
grid on
xlabel('t')
ylabel('\omega');
title('Velocidad angular de rotación')

Con el cursor Data Tip medimos el periodo P≈2.4, de las oscilaciones en la ventana gráfica

Comprobamos que la energía E=Et+Er+Ep se conserva

>> E=(d+2*h)*x(:,2).^2/2+d^2*(z0+h+d/3)^2*w0^2./(2*(x(:,1)+h+d/3))+9.8*x(:,1).^2
E =
    2.5333
    2.5333
   ...

Como apreciamos, ω0 es la velocidad angular máxima, a medida que se desplaza el fluido hacia el brazo derecho, el momento de inercia aumenta y disminuye la velocidad angular de rotación ω

Aproximación

Cuando los desplazamientos z respecto de la posición de equilibrio, ze son pequeños, en la ecuación del movimiento sustituimos z, por z=ze.

(d+2h) d 2 (ζ+ z e ) d t 2 +2g(ζ+ z e )= 1 2 d 2 ( z 0 +h+ d 3 ) 2 ω 0 2 ( ζ+ z e +h+ d 3 ) 2 (d+2h) d 2 ζ d t 2 +2g(ζ+ z e )= 1 2 d 2 ( z 0 +h+ d 3 ) 2 ω 0 2 ( z e +h+ d 3 ) 2 ( 1+ ζ z e +h+ d 3 ) 2

Hacemos la aproximación, 1/(1+x)2≈1-2x, cuando x<<1

>> syms x;
>> taylor(1/(1+x)^2,x)
ans =- 6*x^5 + 5*x^4 - 4*x^3 + 3*x^2 - 2*x + 1

(d+2h) d 2 ζ d t 2 +2g(ζ+ z e ) 1 2 d 2 ( z 0 +h+ d 3 ) 2 ω 0 2 ( z e +h+ d 3 ) 2 ( 12 ζ z e +h+ d 3 ) d 2 ζ d t 2 + 1 d+2h { 2g+ d 2 ( z 0 +h+ d 3 ) 2 ω 0 2 ( z e +h+ d 3 ) 3 }ζ= 1 d+2h { 1 2 d 2 ( z 0 +h+ d 3 ) 2 ω 0 2 ( z e +h+ d 3 ) 2 2g z e }

Se trata de la ecuación de un MAS de frecuencia angular Ω o periodo 2π/Ω

Ω 2 = 1 d+2h { 2g+ d 2 ( z 0 +h+ d 3 ) 2 ω 0 2 ( z e +h+ d 3 ) 3 }

d=2; %brazo horizontal
h=0.6; %altura inicial en el brazo vertical
w0=1; %velocidad angular inicial de rotación

z0=0; %desplazamiento inicial
ze=d^2*w0^2/(4*9.8); %equilibrio
W=sqrt((2*9.8+d^2*(z0+h+d/3)^2*w0^2/(ze+h+d/3)^3)/(d+2*h));
P=2*pi/W; %periodo
disp(P)
  2.3907

En la ventana gráfica medimos un periodo similar, utilizando el cursor Data Tip

Actividades

Se introduce

Se pulsa el botón titulado Nuevo y a continuación, . El tubo empieza a girar con velocidad angular ω0

Observamos el movimiento del fluido en el tubo en forma de U y del tubo girando alrededor del eje que pasa por el brazo izquierdo. Se proporcionan los datos

Si desaparece el líquido del tubo vertical izquierdo, z>h, un mensaje nos lo advierte y el programa interactivo se detiene. Se invita al lector a disminuir la velocidad angular inicial de rotación ω0 o incrementar el nivel inicial h de líquido en el tubo vertical


Referencias

Lim Yung-kuo. Problems and Solutions on Mechanics. World Scientific (1994). Problem 2073, pp. 629-632