Estudiamos el movimiento de la carga positiva, el movimiento de la carga negativa será simétrico.

La fuerza de atracción eléctrica que ejerce la carga negativa sobre la carga positiva es

${\displaystyle \overrightarrow{F_e}=-\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{q^2}{{(2x)}^2}\widehat{i}}$

La fuerza que ejerce el campo magnético sobre la carga positiva es

${\displaystyle \overrightarrow{F_m}=q\overrightarrow{v}\times \overrightarrow{B}=q(v_x\widehat{i}+v_y\widehat{j})\times B·\widehat{k}=qB{v}_y\widehat{i}-qB{v}_x\widehat{j}}$

La ecuación del movimiento es

${\displaystyle m\frac{d^2\overrightarrow{r}}{d{t}^2}={\overrightarrow{F}}_e+\overrightarrow{F_m}}$

o bien,

${\displaystyle \begin{array}{l}m\frac{d^{2}x}{d{t}^2}=-\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{q^2}{4x^2}+qB{v}_y\\ m\frac{d{v}_y}{dt}=-q{v}_{x}B\end{array}}$

La segunda ecuación se puede integrar

${\displaystyle \begin{array}{l}m\frac{d{v}_y}{dt}=-qB\frac{dx}{dt}\\ v_y=-\frac{qB}{m}x+c\end{array}}$

La constante de integración c, se calcula a partir de las condiciones iniciales: en la posición inicial x₀, la velocidad inicial v_y=0

${\displaystyle v_y=\frac{qB}{m}(x_0-x)}$

Nos queda por resolver el sistema formado por una ecuación diferencial de segundo orden y una ecuación diferencial de primer orden

${\displaystyle \begin{array}{l}\frac{d^{2}x}{d{t}^2}=-\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{q^2}{4m}\frac{1}{x^2}+\frac{q^2{B}^2}{m^2}(x_0-x)\\ \frac{dy}{dt}=\frac{qB}{m}(x_0-x)\end{array}}$

con las condiciones iniciales siguientes: en el instante t=0, x=x₀, y=0, v_x=0.

Se resuelve por procedimientos numéricos.

Con los datos: masa del protón m=1.6725·10^-27 kg, carga q=1.6·10^-19 C, campo magnético B en gauss (10^-4 T), posición (x, y) en mm (10^-3 m) y tiempo t en ms (10^-3 s) tenemos el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales

${\displaystyle \begin{array}{l}\frac{d^{2}x}{d{t}^2}=-34.43946\frac{1}{x^2}+91.51825·B^2(x_0-x)\\ \frac{dy}{dt}=9.56652·B·(x_0-x)\end{array}}$

Donde B es la intensidad del campo magnético en gauss, por ejemplo B=0.8, x₀ es la posición de partida, en el instante t=0, x₀=2.0, vx=0.

Escribir un script que realice las siguientes tareas:

1. Establezca:
• El campo magnético B en gauss
• La posición inicial de las partículas cargadas que parten del reposo x₀ e y=0,
• El tiempo final t_f
2. Resuelva el sistema de ecuaciones diferenciales mediante el comado ode45
3. Represente la trayectoria.

B=1; %campo magnético 
%condiciones iniciales
x0=[2, 0, 0]; %[x0, vx, y]
tspan=[0 3]; %tiempo inicial y final

%parámetros
a=-34.43946;
b=91.51825*B*B;
c=9.56652*B;
fg=@(t,x) [x(2);a/x(1)^2+b*(x0(1)-x(1));c*(x0(1)-x(1))];
[t,x]=ode45(fg,tspan,x0);

plot(x(:,1),x(:,3),'r')
xlabel('x')
ylabel('y');
grid on
title('Movimiento de partículas cargadas')

Campo magnético crítico

Como vemos en las figuras, en unos casos las partículas chocan en un punto del eje Y (figura de la izquierda) y en otros, la partícula describe una trayectoria cíclica en la que se acerca al eje Y y regresa a la misma abscisa de partida x₀ (figura de la derecha). Existirá un caso crítico en el que la carga se mueve paralelamente al eje Y, es decir x=cte, v_x=0 (figura de en medio). En este caso

1. La fuerza de atracción eléctrica se compensa con la fuerza magnética



${\displaystyle \begin{array}{l}\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{q^2}{{(2x)}^2}=q{v}_{y}B\\ \frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{q^2}{{(2x)}^2}=\frac{q^2{B}^2}{m}(x_0-x)\\ x^2(x_0-x)=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{m}{4B^2}\end{array}}$

2. Como la fuerza magnética no realiza trabajo alguno, el trabajo de la fuerza eléctrica es igual a la variación de energía cinética

${\displaystyle \begin{array}{l}\underset{A}{\overset{B}{{\displaystyle \int }}}\overrightarrow{F_e}·\overrightarrow{dr}=\underset{x_0}{\overset{x}{{\displaystyle \int }}}-\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{q^2}{4x^2}dx=\frac{1}{2}m{v}^2\hfill \\ v^2=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{q^2}{2m}\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{x_0}\right)\hfill \end{array}}$

Esta ecuación nos indica que la abscisa de la partícula x≤x₀, ya que v² es positivo

Cuando la partícula se mueve paralelamente al eje Y, v_x=0

${\displaystyle \begin{array}{l}{v}_y^2=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{q^2}{2m}\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{x_0}\right)\\ \frac{q^2{B}^2}{m^2}{\left(x-x_0\right)}^2=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{q^2}{2m}\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{x_0}\right)\\ (x-x_0)x{x}_0=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{m}{2B^2}\end{array}}$

De las ecuaciones de equilibrio y del trabajo-energía obtenemos x y x₀.

${\displaystyle x=\frac{x_0}{2}{x}_0^3=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{2m}{B^2}}$

Ejemplo.

Colocamos un protón y un antiprotón en el eje X en las posiciones simétricas x₀=±1.0 mm. Calculamos el campo magnético crítico B_c que hace que las partículas se muevan paralelamente al eje Y.

Datos: masa del protón m=1.6725·10^-27 kg, carga q=1.6·10^-19 C

${\displaystyle B^2=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{2m}{x_0^3}{B}_c=\sqrt{\frac{2·9·{10}^9·1.6725·{10}^{-27}}{{\left(1.0·{10}^{-3}\right)}^3}}=1.7351·{10}^{-4}\text{T}=1.7351\text{gauss}}$

La carga positiva se mueve al cabo de cierto tiempo paralelamente al eje Y a una distancia x=0.5 mm con una velocidad

${\displaystyle v_y=\frac{qB}{m}\frac{x_0}{2}{v}_y=\frac{1.6·{10}^{-19}·1.7351·{10}^{-4}}{2·1.6725·{10}^{-27}}1.0·{10}^{-3}=8.3\text{m/s}}$

Actividades

Se introduce

• La posición inicial de la carga positiva x₀, en el control titulado Posición
• El valor del campo magnético B, perpendicular el plano de la pantalla y dirigido hacia el lector, en el control titulado Campo

Se pulsa el botón titulado Nuevo

Se dibuja la trayectoria de las partículas cargadas, se proporcionan los datos del tiempo t en ms, de la posición (x,y) en mm y de la velocidad (v_x, v_y) en m/s

Referencias

Physics Challenge for teachers and students. Solution to April 2007 challenge. The Physics Teacher, Vol 45, 2007.