Movimiento en campos eléctrico y magnético cruzados (II)

Estudiamos el movimiento de la carga positiva, el movimiento de la carga negativa será simétrico.

La fuerza de atracción eléctrica que ejerce la carga negativa sobre la carga positiva es

F e = 1 4π ε 0 q 2 (2x) 2 i ^

La fuerza que ejerce el campo magnético sobre la carga positiva es

F m =qv×B=q( v x i ^ + v y j ^ )×B k ^ =qB v y i ^ qB v x j ^

La ecuación del movimiento es

m d 2 r d t 2 = F e + F m

o bien,

m d 2 x d t 2 = 1 4π ε 0 q 2 4 x 2 +qB v y m d v y dt =q v x B

La segunda ecuación se puede integrar

m d v y dt =qB dx dt v y = qB m x+c

La constante de integración c, se calcula a partir de las condiciones iniciales: en la posición inicial x0, la velocidad inicial vy=0

v y = qB m ( x 0 x)

Nos queda por resolver el sistema formado por una ecuación diferencial de segundo orden y una ecuación diferencial de primer orden

d 2 x d t 2 = 1 4π ε 0 q 2 4m 1 x 2 + q 2 B 2 m 2 ( x 0 x) dy dt = qB m ( x 0 x)

con las condiciones iniciales siguientes: en el instante t=0, x=x0, y=0, vx=0.

Se resuelve por procedimientos numéricos.

Con los datos: masa del protón m=1.6725·10-27 kg, carga q=1.6·10-19 C, campo magnético B en gauss (10-4 T), posición (x, y) en mm (10-3 m) y tiempo t en ms (10-3 s) tenemos el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales

d 2 x d t 2 =34.43946 1 x 2 +91.51825· B 2 ( x 0 x) dy dt =9.56652·B·( x 0 x)

Donde B es la intensidad del campo magnético en gauss, por ejemplo B=0.8, x0 es la posición de partida, en el instante t=0, x0=2.0, vx=0.

Escribir un script que realice las siguientes tareas:

  1. Establezca:
  2. Resuelva el sistema de ecuaciones diferenciales mediante el comado ode45
  3. Represente la trayectoria.
B=1; %campo magnético 
%condiciones iniciales
x0=[2, 0, 0]; %[x0, vx, y]
tspan=[0 3]; %tiempo inicial y final

%parámetros
a=-34.43946;
b=91.51825*B*B;
c=9.56652*B;
fg=@(t,x) [x(2);a/x(1)^2+b*(x0(1)-x(1));c*(x0(1)-x(1))];
[t,x]=ode45(fg,tspan,x0);

plot(x(:,1),x(:,3),'r')
xlabel('x')
ylabel('y');
grid on
title('Movimiento de partículas cargadas')

Campo magnético crítico

Como vemos en las figuras, en unos casos las partículas chocan en un punto del eje Y (figura de la izquierda) y en otros, la partícula describe una trayectoria cíclica en la que se acerca al eje Y y regresa a la misma abscisa de partida x0 (figura de la derecha). Existirá un caso crítico en el que la carga se mueve paralelamente al eje Y, es decir x=cte, vx=0 (figura de en medio). En este caso

  1. La fuerza de atracción eléctrica se compensa con la fuerza magnética

    1. 1 4π ε 0 q 2 (2x) 2 =q v y B 1 4π ε 0 q 2 (2x) 2 = q 2 B 2 m ( x 0 x) x 2 ( x 0 x)= 1 4π ε 0 m 4 B 2

  2. Como la fuerza magnética no realiza trabajo alguno, el trabajo de la fuerza eléctrica es igual a la variación de energía cinética

  3. A B F e ·dr = x 0 x 1 4π ε 0 q 2 4 x 2 dx= 1 2 m v 2 v 2 = 1 4π ε 0 q 2 2m ( 1 x 1 x 0 )

    Esta ecuación nos indica que la abscisa de la partícula xx0, ya que v2 es positivo

    Cuando la partícula se mueve paralelamente al eje Y, vx=0

    v y 2 = 1 4π ε 0 q 2 2m ( 1 x 1 x 0 ) q 2 B 2 m 2 ( x x 0 ) 2 = 1 4π ε 0 q 2 2m ( 1 x 1 x 0 ) (x x 0 )x x 0 = 1 4π ε 0 m 2 B 2

De las ecuaciones de equilibrio y del trabajo-energía obtenemos x y x0.

x= x 0 2 x 0 3 = 1 4π ε 0 2m B 2

Ejemplo.

Colocamos un protón y un antiprotón en el eje X en las posiciones simétricas x0=±1.0 mm. Calculamos el campo magnético crítico Bc que hace que las partículas se muevan paralelamente al eje Y.

Datos: masa del protón m=1.6725·10-27 kg, carga q=1.6·10-19 C

B 2 = 1 4π ε 0 2m x 0 3 B c = 2·9· 10 9 ·1.6725· 10 27 ( 1.0· 10 3 ) 3 =1.7351· 10 4 T=1.7351gauss

La carga positiva se mueve al cabo de cierto tiempo paralelamente al eje Y a una distancia x=0.5 mm con una velocidad

v y = qB m x 0 2 v y = 1.6· 10 19 ·1.7351· 10 4 2·1.6725· 10 27 1.0· 10 3 =8.3m/s

Actividades

Se introduce

Se pulsa el botón titulado Nuevo

Se dibuja la trayectoria de las partículas cargadas, se proporcionan los datos del tiempo t en ms, de la posición (x,y) en mm y de la velocidad (vx, vy) en m/s


Referencias

Physics Challenge for teachers and students. Solution to April 2007 challenge. The Physics Teacher, Vol 45, 2007.