Efecto Hall

En la figura se muestra una lámina de material conductor, por ejemplo, cobre, que conduce una corriente de intensidad i. Si medimos la diferencia de potencial entre los lados opuestos, nos dará cero, tal como se muestra en la figura de la izquierda.

La situación cambia cuando se aplica un campo magnético B perpendicular a la corriente en la lámina, veremos que aparece una diferencia de potencial muy pequeña entre los lados opuestos tal como se muestra en la figura de la derecha.

Recordamos el concepto de intensidad de la corriente: i=nqv(hd)

La fuerza que ejerce el campo magnético sobre un portador de carga (supuesto positivo) es

fm=qv×B

Los portadores de carga positivos son empujados por la fuerza magnética fm a la superficie izquierda (pintada de color rosa), quedando la superficie derecha cargada negativamente (pintada de color azul claro).

Se establece un campo eléctrico E que va de la placa izquierda a la derecha, que ejerce una fuerza sobre el portador de carga qE que contrarresta la fuerza que ejerce el campo magnético. El portador de carga no se desvía cuando, fm=fe, es decir cuando qvBsin90=qE

La diferencia de potencial que se establece entre los lados opuestos es

V'V=Ed=vBd= i nqh B

La diferencia de potencial V'-V es proporcional a la intensidad i y al campo magnético B.

Si el portador de carga es negativo, figura de la derecha, el campo eléctrico cambia de sentido y el voltímetro medirá una diferencia de potencial de sentido contrario. El efecto Hall distingue el signo de los portadores de carga lo que se aplica en los semiconductores.

Efecto Hall en los metales

En un conductor los electrones se mueven con diferentes velocidades y en todas las direcciones, la velocidad media es cero. Cuando se establece un campo eléctrico los electrones se mueven con diferentes velocidades y en todas las direcciones pero en valor medio no nulo v en la dirección del campo eléctrico.

Conocida la intensidad i, calculamos la velocidad media v si conocemos el número de portadores de carga por unidad de volumen n

Sea una placa de cobre, supongamos que cada átomo de cobre tiene un electrón en su capa exterior que contribuye al establecimiento de una corriente eléctrica.

n= N A M ρ

El número de átomos por unidad de volumen es n=8.426·1022 cm-3, que es igual al número de electrones que contribuyen a la conducción de la corriente eléctrica

Conocida la intensidad i de la corriente en amperios, A, despejamos la velocidad v en cm/s

v= i nq(hd)

Ejemplo

Una lámina de cobre de ancho d=1.5 cm y espesor h=0.125 cm se coloca perpendicularmente a un campo magnético B=1.17 T. A lo largo de la lámina circula una corriente de intensidad i=100 A. Calcular:

Soluciones de sal en agua

Supongamos una solución de agua salada que fluye a través de una tubería de sección rectangular tal como se aprecia en la figura. Dos lados opuestos de la tubería son láminas metálicas de altura h.

Sea v la velocidad media del fluido o de los iones sodio (positivos) y cloro (negativos). Como vemos en la figura, la fuerza que ejerce el campo magnético fm=qvB desvía a los iones positivos hacia la izquierda y los iones negativos hacia la derecha. Se establece un campo eléctrico E de izquierda a derecha que se opone a la acumulación de carga fe=qE. Los iones no se desvían cuando E=vB y diferencia de potencial entre las dos placas metálicas es V'-V=vBd

Por ejemplo, si fluye agua a razón de Q=1 litro/s y h=0.05 m. y B=1.0 T

V'-V=QBd/(hd)=QB/h=10-3·1/0.05=20 mV

Distribución de carga

Cuando estudiamos la viscosidad de un fluido que circula en régimen laminar por una tubería, obtuvimos un perfil de velocidades en función de la distancia radial, al eje del tubo.

Supongamos que la velocidad del fluido varía a lo largo del eje Z, de modo que es cero en las caras metálicas opuestas (z=-d/2 y z=d/2) y máximo en el centro z=0. La velocidad media v y el gasto Q se calculan del siguiente modo

Q=vhd= d/2 d/2 v(z)h·dz v= 1 d d/2 d/2 v(z)·dz

Como la velocidad del fluido varía con z, el campo eléctrico no es constante E=v(z)B, es nulo en las caras metálicas opuestas (z=-d/2 y z=d/2). La consecuencia es que la densidad de carga λ(z) no es constante.

La diferencia de potencial V'-V es proporcional al campo magnético B y a la velocidad media v del fluido o al gasto Q

V'V= d/2 d/2 E(z)dz =B d/2 d/2 v(z)dz =Bvd

Aplicamos la ley de Gauss, tomando una superficie cerrada en forma de prisma de longitud L, altura h y anchura d/2+z, en color azul en la figura. El campo eléctrico es paralelo al eje Z, de modo que solamente hay flujo a través de una cara

E(z)·(hL)

La carga en el interior de la superficie cerrada es

d/2 z λ(z)dz

siendo λ(z)=ρ(zhL la carga por unidad de longitud a lo largo del eje Z y ρ(z) la carga por unidad de volumen. Sea ε la permitividad del fluido, la ley de Gauss se escribe

E(z)·hL= 1 ε d/2 z λ(z)dz v(z)= 1 hLBε d/2 z λ(z)dz

Obtenemos v(z) a partir de λ(z) integrando u obtenemos λ(z) en términos de v(z) diferenciando

λ(z)=εhLB dv(z) dz

La densidad de carga es la suma de la densidad de carga de los iones positivos y de la densidad de carga de los iones negativos

λ(z)= λ P (z)| λ N (z) |

Perfiles de velocidad

Supongamos el siguiente perfil v(z), la velocidad del fluido es nula en las caras opuestas (z=-d/2 y z=d/2) y es máxima v0 en el centro z=0

v(z)= v 0 ( 14 z 2 d 2 )

Calculamos la velocidad media v

v= 1 d d/2 d/2 v 0 ( 14 z 2 d 2 )·dz = 2 3 v 0

El resultado de la integral nos dice que a velocidad media del fluido es dos tercios de la velocidad máxima en el centro v0.

Para este perfil de velocidades la densidad de carga es

λ(z)=8 hL d εB v 0 z d

v=@(x) 1-4*x^2;
l=@(x) -x;
subplot(2,1,1)
fplot(v,[-0.5,0.5])
grid on
xlabel('z/d')
ylabel('v(z)')
title('Perfil de velocidades')
subplot(2,1,2)
fplot(l,[-0.5,0.5])
grid on
xlabel('z/d')
ylabel('\lambda(z)')
title('Densidad de carga')

La densidad de carga varía linealmente con z, es positiva entre z=-d/2 y z=0 y es negativa desde z=0 a z=d/2.

Consideremos ahora otra función v(z), que podría describir mejor el perfil de velocidades de los fluidos reales, de modo que la velocidad del fluido es máxima y casi constante en el interior de la tubería y disminuye rápidamente a cero en las proximiades de las paredes. Está dado por la siguiente fórmula, en la que k es un parámetro ajustable

v(z)= v 0 cosh( k/2 )cosh( kz /d ) cosh( k/2 )1

La densidad de carga es

λ(z)=εhLB dv(z) dz =ε hL d B v 0 ksinh( kz /d ) cosh( k/2 )1

k=10;
v=@(x) (cosh(k/2)-cosh(k*x))/(cosh(k/2)-1);
l=@(x) -k*sinh(k*x);
subplot(2,1,1)
fplot(v,[-0.5,0.5])
grid on
xlabel('z/d')
ylabel('v(z)')
title('Perfil de velocidades')
subplot(2,1,2)
fplot(l,[-0.5,0.5])
grid on
xlabel('z/d')
ylabel('\lambda(z)')
title('Densidad de carga')

Referencias

R De Luca. Lorentz force on sodium and chlorine ions in a salt water solution flow under a transverse magnetic field. Eur. J. Phys. 30 (2009) 459-466