Movimiento de un dipolo eléctrico en un campo magnético uniforme

Consideremos un dipolo eléctrico, formado por dos partículas de la misma masa m con cargas +q y -q unidas por una varilla rígida de longitud l y de masa despreciable, que se mueve en el plano XY bajo la acción de un campo magnético a lo largo del eje Z, tal como se muestra en la figura.
La posición del centro de masas es
La velocidad del centro de masas
La posición relativa de las partículas
La velocidad relativa
es un vector de longitud fija
Representamos dicho vector en el instante t y en el instante t+Δt
El cambio , es un vector dibujado en color rojo, cuya longitud es aproximadamente el arco de la circunferencia lsinθ·Δφ. La razon del cambio con el tiempo es
En el límite cuando Δt→0
cuya dirección es tangente a la circunferencia. En forma vectorial
Ecuaciones del movimiento y magnitudes que se conservan (I)
Tenemos dos ecuaciones del movimiento: traslación del centro de masas y movimiento de rotación alrededor de un eje perpendicular al plano XY y que pasa por el centro de masas del dipolo
Traslación del c.m.
Calculamos la fuerza que ejerce el campo magnético sobre cada una de las dos cargas del dipolo
La ecuación del movimiento del centro de masas es
La carga q es constante y el vector campo magnético es constante
Tenemos una magnitud, momento lineal, , que se mantiene constante
Movimiento de rotación alrededor de un eje que pasa por el c.m.
Calculamos el momento de las fuerzas que actúan sobre cada una de las dos partículas respecto del centro de masas
El momento angular del dipolo respecto del centro de masas
La ecuación del movimiento de rotación alrededor de un eje perpenducular que pasa por el c.m. es
Conservación de la magnitud J
Existe otra constante del movimiento que se obtiene, evaluando la expresión
Teniendo en cuenta la propiedad
El resultado es
Denominamos J a la nueva constante del movimiento
Conservación de la energía
La fuerza que ejerce el campo magnético sobre una partícula cargada es perpendicular al desplazamiento. No realiza trabajo alguno, la energía permanece constante. Lo comprobamos evaluando la expresión
La energía E permanece constante
Ecuaciones del movimiento y magnitudes que se conservan (II)
En este apartado, vamos a escribir las ecuaciones del movimiento y las magnitudes que se conservan de forma apropiada para el cálculo y la representación gráfica.
Movimiento de traslación del centro de masas
Movimiento de rotación
Conservación de la energía
Conservación de la magnitud J
Donde px y py son constantes que se determinan a partir de las condiciones iniciales.
El centro de masas del dipolo parte del origen en reposo, orientado a lo largo del eje X, se le imparte una velocidad angular inicial ω0. En el instante t=0, x=0, y=0, vx=0, vy=0, φ=0, ω=dφ/dt=ω0. Por tanto, px=0 y py=qlB
La frecuencia angular ωc aparece en la página titulada Movimiento de una partícula cargada en un campo eléctrico y en un campo magnético
La ecuación del movimiento de rotación es similar a la del péndulo simple
Con las condiciones iniciales especificadas al principio de este apartado. En el instante inicial, t=0, x=0, φ=0, dφ/dt=ω0
La conservación de J se escribe
Casos particulares
Resumimos las ecuaciones del movimiento
junto con las magnitudes que se conservan
Cuando la amplitud de las oscilaciones, en el movimiento de rotación, es pequeña
Hacemos la aproximación sinφ≈φ
La solución de la ecuación diferencial es la de un Movimiento Armónico Simple
La amplitud A y la fase inicial δ se determinan a partir de la condiciones iniciales, t=0, φ=0, dφ/dt=ω0
A partir, de la conservación de la energía, obtenemos la ordenada y/l del centro de masas
A partir de la conservación de de la magnitud J, obtenemos la abscisa x/l del centro de masas
Fijamos ωc=1, y hacemos que la velocidad angular inicial de rotación sea ω0=0.1, pequeña para asegurar que las oscilaciones angulares φ son aproximadamente armónicas
Resolvemos el sistema de tres ecuaciones diferenciales utilizando el procedimiento
Representamos la posición angular φ del dipolo en función del tiempo
w0=0.1; wc=1; f=@(t,x) [wc*sin(x(3))/2; wc*sin(x(3)/2)^2; x(4); -wc^2*sin(x(3))]; [t,x]=ode45(f,[0,10],[0,0,0,w0]); hold on plot(t,x(:,3)) fplot(@(t) w0*sin(wc*t)/wc,[0,10]) hold off grid on legend('numérica','analítica aprox.','location','best') xlabel('t') ylabel('\phi') legend('numérica','analítica aprox.','location','best') title('Dipolo eléctrico en campo magnético')
Representamos la abscisa x/l del centro de masa del dipolo en función del tiempo
w0=0.1; wc=1; f=@(t,x) [wc*sin(x(3))/2; wc*sin(x(3)/2)^2; x(4); -wc^2*sin(x(3))]; [t,x]=ode45(f,[0,10],[0,0,0,w0]); hold on plot(t,x(:,1)) fplot(@(t) w0*sin(wc*t/2).^2/wc,[0,10]) hold off grid on legend('numérica','analítica aprox.','location','best') xlabel('t') ylabel('x/l') title('Dipolo eléctrico en campo magnético')
Representamos la ordenada y/l del centro de masa del dipolo en función del tiempo
w0=0.1; wc=1; f=@(t,x) [wc*sin(x(3))/2; wc*sin(x(3)/2)^2; x(4); -wc^2*sin(x(3))]; [t,x]=ode45(f,[0,10],[0,0,0,w0]); hold on plot(t,x(:,2)) fplot(@(t) w0^2*(t-sin(2*wc*t)/(2*wc))/(8*wc),[0,10]) hold off grid on legend('numérica','analítica aprox.','location','best') xlabel('t') ylabel('y/l') title('Dipolo eléctrico en campo magnético')
Oscilaciones y rotaciones
Utilizando la conservación de la energía, vemos que el mínimo valor de la velocidad angular dφ/dt se obtiene para φ=π, lo mismo que en un péndulo simple
Si ω0<2ωc, el dipolo no alcanza la posición angular φ=π, tenemos oscilaciones. Fijamos ωc=1, y probamos con ω0=1.8
Representamos la trayectoria del centro de masas hasta el instante t=10
w0=1.8; wc=1; f=@(t,x) [wc*sin(x(3))/2; wc*sin(x(3)/2)^2; x(4); -wc^2*sin(x(3))]; [t,x]=ode45(f,[0,10],[0,0,0,w0]); plot(x(:,1),x(:,2)) grid on xlabel('x/l') ylabel('y/l') title('Dipolo eléctrico en campo magnético') %conservación E=x(:,4).^2+4*wc^2*sin(x(:,3)/2).^2; J=x(:,4)+2*wc*x(:,1);
Representamos la posición angular φ en función del tiempo, modificando las líneas de código
... plot(t,x(:,3)) xlabel('t') ylabel('\phi') ...
Comprobamos que la energía E y la magnitud J se mantienen constantes e iguales a sus valores iniciales y ω0, respectivamente
>> E E 3.2400 3.2400 ..... 3.2369 3.2369 >> J J = 1.8000 1.8000 ..... 1.8000 1.8000
Si ω0>2ωc, el dipolo sobrepasa la posición angular φ=π, tenemos rotaciones. Fijamos ωc=1, y probamos con ω0=2.2
Representamos la trayectoria del centro de masas hasta el instante t=10
Representamos la posición angular φ en función del tiempo
Comprobamos que la energía E y la magnitud J se mantienen constantes e iguales a sus valores iniciales y ω0, respectivamente
>> E E 4.8400 4.8400 ..... 4.8719 4.8719 >> J J = 2.2000 2.2000 ..... 2.2000 2.2000
El caso más interesante se produce en la situación crítica, ω0=2ωc
La conservación de la energía establece
Buscamos la integral en la tabla de integrales o bien, la obtenemos con Math Symbolic de MATLAB
>> syms x; >> int(1/cos(x),x) ans =log(1/cos(x)) + log(sin(x) + 1)
Se trata de una función implícita en φ, cuando t→∞ entonces φ→π y dφ/dt→0
La conservación de la magnitud J establece, la abscisa x/l del centro de masas
De la ecuación del movimiento, vemos que la ordenada y/l crece linealmente con el tiempo
Fijamos ωc=1, y probamos con ω0=2, hasta el tiempo t=5
Representamos la posición angular φ en función del tiempo t, observamos que tiende hacia π
w0=2; wc=1; f=@(t,x) [wc*sin(x(3))/2; wc*sin(x(3)/2)^2; x(4); -wc^2*sin(x(3))]; [t,x]=ode45(f,[0,5],[0,0,0,w0]); plot(t,x(:,3)) grid on xlabel('t') ylabel('\phi') title('Dipolo eléctrico en campo magnético')
Modificamos las líneas de código, para representar la abscisa x/l del centro de masas en función del tiempo t, observamos que tiende hacia x/l=1
... plot(t,x(:,1)) xlabel('t') ylabel('x/l') ...
Modificamos las líneas de código, para representar la ordenada y/l del centro de masas en función del tiempo t, observamos que crece linealmente con el tiempo
... plot(t,x(:,2)) xlabel('t') ylabel('y/l') ...
Actividades
Se introduce
- Se fija que el centro de masas del dipolo parta del origen en reposo, orientado a lo largo del eje X. En el instante t=0, x=0, y=0, vx=0, vy=0, φ=0,
- Se puede cambiar la velocidad inicial de rotación ω0 del dipolo, en el control titulado Velocidad angular, dφ/dt=ω0
- Se ha fijado también, el valor del la frecuencia angular, ωc=1
Se pulsa el botón titulado Nuevo
Se observa la trayectoria del centro de masas del dipolo y la rotación del mismo alrededor de un eje perpendicular que pasa por el c.m.
En la parte derecha, se proporcionan los datos de
- El tiempo t
- La posición (x/l, y/l) del centro de masas
- La posición angular φ del dipolo
- La velocidad angular ω=dφ/dt del dipolo
El programa calcula en cada instante el tanto por ciento de error relativo en la energía o el cociente
donde E es la energía del sistema en cualquier instante t y es la energía inicial del sistema.
Este valor se proporciona en caracteres de color rojo en la parte inferior derecha. Su valor debe ser siempre cero, o un valor muy pequeño lo que indica que la energía del sistema permanece constante y el programa realiza los cálculos correctamente.
El mismo criterio se emplea para calcular el error relativo de la magnitud J
Referencias
Asian Physics. (1st – 8th). Olympiad. Problems and Solutions. Editor Zheng Yongling. World Scientific (2010), pp. 36-43