Movimiento de una partícula cargada en el campo magnético de una corriente rectilínea indefinida.
Coordenadas cilíndricas
Las coordenadas cilíndricas, tienen por origen O y vectores unitaros, , y

Vector posición
Vector velocidad
Vector aceleración
Momento angular
Movimiento de una partícula cargada en el campo magnético producido por una corriente rectilínea indefinida.

La corriente rectilínea indefinida tiene la dirección del eje Z. El campo magnético producido por esta corriente es perpendicular a la dirección radial y su sentido viene determinado por la regla de la mano derecha.
La fuerza que ejerce el campo magnético sobre una partícula cargada es
Las ecuaciones del movimiento son
Constantes del movimiento
Movimiento en la dirección
Movimiento a lo largo del eje Z
Movimiento en la dirección radial
Multiplicando la segunda ecuación por ρ, obtenemos una constante del movimiento
Lz es la componente Z del momento angular
Integramos la tercera ecuación del movimiento
Denominamos ρ0 a esta constante del movimiento
Dado que la fuerza que ejerce un campo magnético sobre una partícula cargada es perpendicular a la velocidad. La energía cinética de la partícula se mantiene constante.
El producto escalar de dos vectores perpendiculares es nulo. La energía cinéica Ek es constante. La energía de la partícula cargada es
La partícula se mueve en la dirección radial, en un potencial
Representamos la energía potencial Ep(ρ)
La energía potencial presenta un mínimo en ρm
Obtenemos una ecuación transcendente en ρ
cuya raíz es ρm que se obtiene mediante la función
Siempre que la energía E de la partícula sea mayor que la mínima, Em=Ep(ρm), la partícula oscila entre las posiciones ρ1 y ρ2, soluciones de la ecuación transcendente
Ep(ρ)-E=0
El código para representar parte de la figura es
Lz=1; %momento angular Z m=1; %masa alfa=1; %parámetro rho_0=1; %parámetro f=@(x) Lz^2./(2*m*x.^2)+m*alfa^2*(log(x/rho_0)).^2/2; %energía potencial g=@(x) log(x/rho_0)-(Lz/(m*alfa*x))^2; rho_m=fzero(g,[0.5,5]); %mínimo E=1; h=@(x) f(x)-E; rho_1=fzero(h,[0.5,rho_m]); %retorno rho_2=fzero(h,[rho_m, 5]); %retorno hold on Em=f(rho_m); %energía mínima line([rho_m, rho_m],[0,Em],'lineStyle','--') line([0, rho_m],[Em,Em],'lineStyle','--') line([rho_1, rho_1],[0,f(rho_1)],'color','k') line([rho_2, rho_2],[0,f(rho_2)],'color','k') line([0, 3],[E,E],'color','r') fplot(f,[0.5,3]) hold off grid on ylim([0,2]) xlabel('\rho') ylabel('E_p') title('Energía potencial')
El periodo de las oscilaciones en la dirección radial es el doble del tiempo que la partícula tarda en desplazarse desde ρ1 a ρ2
Para amplitudes pequeñas de las oscilación, aproximamos la energía potencial
La constante k=mω2 del muelle elástico equivalente es
La frecuencia angular ω es
El periodo es P=2π/ω
Añadimos al script anterior este código, para calcular el periodo
... f=@(x) 1./sqrt(2*E/m-(Lz./(m*x)).^2-(alfa*log(x/rho_0)).^2); P=2*integral(f, rho_1,rho_2); %periodo w=alfa*sqrt(2*log(rho_m/rho_0)+1)/rho_m; %frecuencia angular disp([P, 2*pi/w])
4.8790 4.3439
El periodo exacto es 4.8790 y el aproximado (oscilaciones de pequeña amplitud) 4.3439
Velocidad de deriva
Se denomina velocidad de deriva, a la razón del desplazamiento a lo largo del eje Z durante un periodo P de oscilación
Trayectorias
Para representar la trayectoria hay que integrar las ecuaciones del movimiento
Con las siguientes condiciones iniciales
La partícula parte t=0, de una posición que dista ρ(0) de la corriente rectilínea (eje Z). Tomamos el ángulo φ(0)=0 y z(0)=0
Las componentes de la velocidad inicial, vienen determinadas por las constantes del movimiento (Lz, ρ0, E) y el parámetro α
Representamos la trayectoria de la partícula cargada para los siguientes valores
- Componente Z del momento angular, Lz=1
- Masa de la partícula, m=1
- Parámetro, α=1
- Constante, ρ0=0.5
- Energía de la partícula, E=1
- Distancia inicial de la partícula a la corriente rectilínea (eje Z), ρ(0)=1
Lz=1; %momento angular Z m=1; %masa alfa=1; %parámetro rho_0=0.5; %parámetro E=1; %energía f=@(t,x) [x(2); x(1)*x(4)^2-alfa*x(6)/x(1); x(4); -2*x(2)*x(4)/x(1); x(6); alfa*x(2)/x(1)]; r_0=1; %distancia radial inicial %componentes de la velocidad inicial vr=sqrt(2*E/m-(Lz/(m*r_0))^2-(alfa*log(r_0/rho_0))^2); vphi=Lz/(m*r_0^2); vz=alfa*log(r_0/rho_0); [t,x]=ode45(f,[0,25],[r_0,vr, 0, vphi, 0,vz]); plot3(x(:,1).*cos(x(:,3)),x(:,1).*sin(x(:,3)),x(:,5)) grid on xlabel('x') ylabel('y') zlabel('z') title('Trayectoria')
Casos particulares
Cuando la energía de la partícula E coincide con el mínimo E=Ep(ρm)
La distancia radial ρm permanece constante. La trayectoria de la partícula es una hélice
Lz=1; %momento angular Z m=1; %masa alfa=1; %parámetro rho_0=0.5; %parámetro f=@(x) Lz^2./(2*m*x.^2)+m*alfa^2*(log(x/rho_0)).^2/2; %energía potencial g=@(x) log(x/rho_0)-(Lz/(m*alfa*x))^2; rho_m=fzero(g,[0.5,5]); %mínimo E=f(rho_m); %energía mínima r_0=rho_m; %distancia radial inicial %componentes de la velocidad inicial vr=0; vphi=Lz/(m*r_0^2); vz=alfa*log(r_0/rho_0); f=@(t,x) [x(2); x(1)*x(4)^2-alfa*x(6)/x(1); x(4); -2*x(2)*x(4)/x(1); x(6); alfa*x(2)/x(1)]; [t,x]=ode45(f,[0,25],[r_0,vr, 0, vphi, 0,vz]); plot3(x(:,1).*cos(x(:,3)),x(:,1).*sin(x(:,3)),x(:,5)) grid on xlabel('x') ylabel('y') zlabel('z') title('Trayectoria')
Cuando la componente Lz del momento angular es nula
Entonces φ=cte. La trayectoria está contenida en el plano XZ (φ=0)
Se resuelven las ecuaciones del movimiento
con las condiciones iniciales:
La partícula parte t=0, de una posición que dista ρ(0) del eje Z. Tomamos z(0)=0
m=1; %masa alfa=1; %parámetro rho_0=0.5; %parámetro E=1; %energía f=@(t,x) [x(2); -alfa*x(4)/x(1); x(4); alfa*x(2)/x(1)]; r_0=1; z_0=0; vr=sqrt(2*E/m-(alfa*log(r_0/rho_0))^2); vz=alfa*log(r_0/rho_0); [t,x]=ode45(f,[0,15],[r_0,vr, z_0,vz]); plot(x(:,1),x(:,3)) grid on xlabel('x') ylabel('z') title('Trayectoria')
Referencias
Joel Franklin, David J. Griffiths, Nelia Mann. Motion of a charged particle in the static fields of an infinite straight wire. Am. J. Phys. 90 (7), July 2022. pp. 513-519