Movimiento de dos cargas del mismo signo en campo magnético uniforme

Como vemos en la figura, las fuerzas de repulsión eléctrica, F e son iguales y opuestas. Cuando se liberan las partículas de su posición inicial, se mueven a lo largo del eje X, y actúa la fuerza magnética, F m =q v × B

Como vemos, la fuerza que ejerce el campo magnético, F m sobre cada una de las cargas en movimiento son iguales y opuestas. Si la partícula de la derecha se encuentra en el instante t en la posición (x,y), la partícula de la izquierda se encontrará en el mismo instante en la posición (-x,-y). El origen O es centro de simetría y por tanto, la línea que une ambas partículas pasa por el origen. Debido a esta simetría solamente precisaremos calcular la trayectoria de una de las partículas, la que está a la derecha del origen.

Comparamos un sistema formado por dos cargas positivas (en rojo) y el formado por dos cargas negativas (en azul), vemos que la fuerza eléctrica es la misma, y la fuerza magnética cambia de signo. De modo que, la carga positiva y la carga negativa describen trayectorias similares, simétricas respecto del eje X, la carga positiva recorrerá la trayectoria en el sentido de las agujas del reloj y la negativa en el sentido contrario.

Deduciremos la ecuación de la trayectoria suponiendo que las dos cargas son positivas

Coordenadas polares

La posición de una partícula es (x, y) en coordenadas rectangulares y (r, θ) en coordenadas polares. La relación es

x=r·cosθ, y=r·sinθ

Expresamos la velocidad de la partícula en coordenadas polares

v = d r dt = r ^ dr dt +r d r ^ dt

Calculamos las componentes rectangulares de los vectores unitarios r ^ y θ ^

r ^ = i ^ cosθ+ j ^ sinθ θ ^ = i ^ sinθ+ j ^ cosθ

vemos que

d r ^ dt =( i ^ sinθ+ j ^ cosθ) dθ dt = θ ^ dθ dt d θ ^ dt =( i ^ cosθ j ^ sinθ) dθ dt = r ^ dθ dt

Las expresión del vector velocidad en coordenadas polares es

v = dr dt r ^ +r dθ dt θ ^

Las expresión del vector aceleración es:

a = d v dt = d 2 r d t 2 r ^ + dr dt d r ^ dt +( r d 2 θ d t 2 + dr dt dθ dt ) θ ^ +r dθ dt d θ ^ dt = d 2 r d t 2 r ^ + dr dt dθ dt θ ^ +( r d 2 θ d t 2 + dr dt dθ dt ) θ ^ r ( dθ dt ) 2 r ^ = ( d 2 r d t 2 r ( dθ dt ) 2 ) r ^ +( r d 2 θ d t 2 +2 dr dt dθ dt ) θ ^

Ecuación del movimiento

Analizamos el movimiento de la partícula cargada positivamente situada en el instante t=0 en la posición (r0,0)

La fuerza de repulsión eléctrica entre las dos cargas tiene dirección radial y vale

F e = 1 4π ε 0 q 2 ( 2r ) 2 r ^

El campo magnético, paralelo al eje Z, B =B k ^ , ejerce una fuerza sobre la partícula cargada en movimiento con velocidad v

F m =q v × B =qB v × k ^ =qB( dr dt r ^ +r dθ dt θ ^ )× k ^ =qB( r dθ dt r ^ dr dt θ ^ )

Las ecuaciones del movimiento son

m a = F e + F m { m( d 2 r d t 2 r ( dθ dt ) 2 )= 1 4π ε 0 q 2 ( 2r ) 2 +qBr dθ dt m( r d 2 θ d t 2 +2 dr dt dθ dt )=qB dr dt

Se resuelve el sistema de dos ecuaciones diferenciales con las siguientes condiciones iniciales.

t=0{ r= r 0 dr dt =0 θ=0 dθ dt =0

Llamando v=dr/dt y ω=dθ/dt, la segunda ecuación diferencial se escribe

r dω dt +2ωV= qB m V r dω dr dr dt +2ωV= qB m V r dω dr V+2ωV= qB m V r dω dr +2ω=k

que se puede integrar fácilmente

0 ω dω k+2ω = r 0 r dr r 1 2 ln( k+2ω ) | 0 ω = lnr | r 0 r ln k+2ω k =ln 1 r 2 ln 1 r 0 2 ω= qB 2m ( 1 r 0 2 r 2 )

La primera ecuación diferencial con la notación v=dr/dt y ω=dθ/dt, se escribe

m( d 2 r d t 2 r ( dθ dt ) 2 )= 1 4π ε 0 q 2 ( 2r ) 2 +qBr dθ dt dv dt r ω 2 = q 2 16π ε 0 m 1 r 2 + qB m rω v dv dr =r q 2 B 2 4 m 2 ( 1 r 0 2 r 2 ) 2 + q 2 16π ε 0 m 1 r 2 q 2 B 2 2 m 2 r( 1 r 0 2 r 2 ) v dv dr = 1 4 q 2 B 2 m 2 r+ q 2 16π ε 0 m 1 r 2 + 1 4 q 2 B 2 m 2 r 0 4 r 3

Integramos entre los siguientes límites: para r=r0, la velocidad es v=0, para r, la velocidad es v

0 v v·dv = r 0 r ( 1 4 q 2 B 2 m 2 r+ q 2 16π ε 0 m 1 r 2 + 1 4 q 2 B 2 m 2 r 0 4 r 3 ) dr v 2 = 1 4 q 2 B 2 m 2 ( r 2 r 0 2 )+ q 2 8π ε 0 m ( 1 r 0 1 r )+ 1 4 q 2 B 2 m 2 r 0 4 ( 1 r 0 2 1 r 2 )

Ecuación de la trayectoria

Una partícula cargada que se mueve en un campo magnético uniforme perpendicular a su vector velocidad, describe una trayectoria circular de radio r, tardando un tiempo P en completarla, independiente de su velocidad, solamente de la relación q/m. Aplicando la ecuación de la dinámica del movimiento circular unifome

F m =m v 2 r qvB=m v 2 r r= mv qB P= 2πr v = 2πm qB

Para simplificar las ecuaciones denominamos s=r/r0

La velocidad angular ω=dθ/dt, se expresa en términos de s

ω= π P ( 1 1 s 2 )

La velocidad radial v=dr/dt o bien, u=ds/dt=v/r0, se expresa en términos de s

r 0 2 u 2 = π 2 P 2 r 0 2 ( s 2 1 )+ q 2 8π ε 0 m 1 r 0 ( 1 1 s )+ π 2 P 2 r 0 2 ( 1 1 s 2 ) u 2 = π 2 P 2 ( ( s 2 1 )+ q 2 8π ε 0 m P 2 π 2 1 r 0 3 ( 1 1 s )+( 1 1 s 2 ) ) u 2 = π 2 P 2 ( 2 s 2 1 s 2 + 1 4π ε 0 2m B 2 r 0 3 ( 1 1 s ) ) u 2 = π 2 P 2 ( c( 1 1 s ) ( s 1 s ) 2 ) u 2 = π 2 P 2 s1 s 2 ( cs ( s+1 ) 2 ( s1 ) )

La velocidad radial se anula u=0, para un valor máximo de s, solución de la ecuación cúbica

(s+1)2(s-1)-cs=0
s3+s2-(1+c)s-1=0

Denominamos smáx a la raíz real positiva de esta ecuación.

>> c=1;
>> roots([1,1,-(1+c),-1]);
ans =
   -1.8019
    1.2470
   -0.4450

El comando roots nos devuelve las raíces de polinomio, alternativamente, podríamos elaborar una función que calcule las raíces de una ecuación cúbica, tal como se describe en la página titulada Raíces de una ecuación (I)

Teniendo en cuenta que

u ω = ds/dt dθ/dt = ds dθ dθ= ω u ds

Integramos entre s=1 y s hasta un máximo de smáx para obtener la ecuación implícita de la trayectoria

θ= 1 s π P ( 1 1 s 2 ) π 2 P 2 s1 s 2 ( cs ( s+1 ) 2 ( s1 ) ) ds θ= 1 s 1 s s+1 cs ( s+1 ) 2 ( s1 ) ds

Para evitar confusiones entre la variable s en el integrando y s en el límite superior, escribimos la ecuación de la trayectoria de forma equivalente en términos de la variable x

θ= 1 s x+1 x x1 cx ( x+1 ) 2 ( x1 ) dx s s max

Cuando el límite superior de la integral es smáx, (raíz positiva de la ecuación cúbica), obtenmos el ángulo θmáx.

La ecuación implícita solamente calcula la parte de trayectoria comprendida entr 0 y θmáx, el resto de la trayectoria como se muestra en la figura se traza de la siguiente manera:

La recta que pasa por el origen y forma un ángulo θmáx es un eje de simetría. El punto Q es simétrico de P. Si las coordenadas de P son (s, θ) las coordenadas de Q son (s, 2θmáx)

La recta que pasa por el origen y forma un ángulo 2θmáx es un eje de simetría. Si las coordendas de un punto son (s, θ) las coordenadas de su simétrico serán (s, 4θmáx) y así, sucesivamente

Elaboramos el siguiente script para dibujar la trayectoria

c=1; %parámetro
%calcula la raíz real positiva
 ra=roots([1,1,-(1+c),-1]);
 for i=1:3
     if ra(i)>0
         break;
     end
 end
s_m=ra(i);
f=@(x) (x+1).*sqrt((x-1)./(c*x-((x+1).^2).*(x-1)))./x;
fi_m=quad(f,1,s_m);
%trayectoria implícita
ss=linspace(1,s_m,100);
fi=zeros(1,length(ss));
i=1;
for s=ss
    fi(i)=integral(f,1,s);
    i=i+1;
end
hold on
plot(ss.*cos(fi),ss.*sin(fi),'r')

N=round(2*pi/fi_m);
for n=2:2:N %simetría
    plot(ss.*cos(n*fi_m-fi),ss.*sin(n*fi_m-fi),'r')
    plot(ss.*cos(n*fi_m+fi),ss.*sin(n*fi_m+fi),'r')
end
hold off
grid on
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
title('repulsión entre cargas')

Cambiamos el valor del parámetro c para dibujar otras trayectorias, por ejemplo para c=10

Referencias

Carl E Mungan Orbits of two electrons released from rest in a uniform transverse magnetic field. Eur. J. Phys. 39 (2018) 025204