Movimiento de una partícula cargada que desliza a lo largo de un plano inclinado

Una corriente rectilínea indefinida, de intensidad i, produce un campo magnético a una distancia h del hilo cuyo módulo es

B= μ 0 i 2πh

Cuya dirección es perpendicular al plano determinado por la corriente rectilínea y la posición de la partícula (el plano del dibujo) y cuyo sentido viene determinado por la regla de la mano derecha. El campo magnético ejerce una fuerza sobre la partícula cargada en movimiento

fm=qv×B

Cuya dirección es perpendicular al plano inclinado.

La corriente circula en sentido hacia arriba

Las fuerzas sobre la partícula son:

Descomponemos las fuerzas en la dirección del plano inclinado y en dirección perpendicular a dicho plano.

Aplicamos la condición de equilibrio en la dirección perpendicular al plano inclinado

N=qvB+mg·cosθ

Escribimos la ecuación del movimiento a lo largo del plano inclinado

ma=mg·sinθ-Fr

En forma de ecuación diferencial

dv dt =gsinθμgcosθμkvk= qB m dv dt =Fμkv

Integramos la ecuación diferencial con la siguiente condición inicial: en el instante t=0, v=0, la partícula está en reposo.

0 v dv Fμkv = 0 t dt 1 μk ln(Fμkv) | 0 v =t 1 μk ln Fμkv F =t v= F μk ( 1exp(μkt) )

La velocidad va creciendo hasta que alcanza un valor límite constante, cuando t→∞

v = F μk

Integramos de nuevo, para obtener la posición de la partícula en función del tiempo, supondremos que en el instante t=0, parte del origen x=0.

x= 0 t v·dt = 0 t F μk ( 1exp(μkt) )dt= F μk ( t+ 1 μk exp(μkt) ) | 0 t = F μk ( t+ 1 μk exp(μkt) ) F μ 2 k 2

Se cambia de sentido a la corriente

Las fuerzas sobre la partícula son:

Descomponemos las fuerzas en la dirección del plano inclinado y en dirección perpendicular a dicho plano.

Aplicamos la condición de equilibrio en la dirección perpendicular al plano inclinado

N= mg·cosθ-qvB

Escribimos la ecuación del movimiento a lo largo del plano inclinado

ma=mg·sinθ-Fr

En forma de ecuación diferencial

dv dt =gsinθμgcosθ+μkv dv dt =F+μkv

Integramos la ecuación diferencial con la siguiente condición inicial: en el instante t=0, v=0, la partícula está en reposo.

0 v dv F+μkv = 0 t dt 1 μk ln(F+μkv) | 0 v =t 1 μk ln F+μkv F =t v= F μk ( exp(μkt)1 )

Integramos de nuevo, para obtener la posición de la partícula en función del tiempo, supondremos que en el instante t=0, parte del origen x=0.

x= 0 t v·dt = 0 t F μk ( exp(μkt)1 )dt= F μk ( 1 μk exp(μkt)t ) | 0 t = F μk ( 1 μk exp(μkt)t ) F μ 2 k 2

A medida que se incrementa la velocidad v, la reacción N del plano inclinado disminuye, para una velocidad vl la reacción se hace cero, N=0

v l = mgcosθ qB

o bien, en el instante

t l = 1 μk ln F+μk v l F = m μqB ln gsinθμgcosθ+ μqB m mgcosθ qB gsinθμgcosθ = m μqB ln sinθ sinθμcosθ

La partícula no desliza a lo largo del plano inclinado

A partir de dicho instante, las fuerzas sobre la partícula son

Establecemos de nuevo, los ejes a lo largo del plano inclinado, eje X, y perpendicular a dicho plano, eje Y. Las ecuaciones del movimiento son:

{ m d 2 x d t 2 = f m sinα+mgsinθ m d 2 y d t 2 = f m cosαmgcosθ { m d 2 x d t 2 =qvB v y v +mgsinθ m d 2 y d t 2 =qvB v x v mgcosθ { d 2 x d t 2 =( qB m ) dy dt +gsinθ d 2 y d t 2 =( qB m ) dx dt gcosθ

Donde B es el módulo del campo magnético producido por la corriente rectilínea en la posición que ocupa la partícula.

B= μ 0 i 2π(hy)

Si la ordenada de la partícula es y, (h-y) es la distancia de la corriente rectilínea a la partícula.

Se resuelve mediante procedimientos numéricos este sistema de dos ecuaciones diferenciales, con las siguientes condiciones iniciales, en el instante t=tl, la velocidad de la partícula es dx/dt=vl, dy/dt=0, y su posición es x= xl, y=0.

Actividades

Se introduce

k= qB m = q m μ 0 i 2πh = q μ 0 2πm i h =p i h

El primer factor p es proporcional a la relación entre la carga q y la masa m de la partícula. Este factor se puede cambiar en el control titulado Parámetro

Se pulsa el botón titulado Nuevo

Se observa el movimiento de la partícula cargada deslizando a lo largo del plano inclinado. Cuando la intensidad de la corriente es negativa, después de deslizar se eleva y describe una complicada trayectoria en las proximidades de la corriente rectilínea.

En la parte superior derecha, se proporcionan los datos del tiempo t, velocidad v, posición x, y reacción del plano inclinado N.

Ejemplo 1

Velocidad en función del tiempo

= F μk ( 1exp(μkt) ) F=g·sinθμgcosθ=9.8·sin200.2·9.8·cos20=1.51 k= qB m = q μ 0 2πm i h =0.06 40 0.25 =9.6 v= 1.51 0.2·9.6 ( 1exp(0.2·9.6t) )

Al cabo de un cierto tiempo t=2 s la velocidad vale v=0.770 m/s

La velocidad límite cuando t→∞

v = F μk = 1.51 0.2·9.6 =0.786m/s

La posición de la partícula en función del tiempo

= F μk ( t+ 1 μk exp(μkt) ) F μ 2 k 2 = 1.51 0.2·9.6 ( t+ 1 0.2·9.6 exp(0.2·9.6t) ) 1.51 ( 0.2·9.6 ) 2

En el instante t=2, x=1.17 m

Ejemplo 2

La reacción N del plano va disminuyendo, hasta que se hace cero. La velocidad de la partícula vale.

N=mgcosθqvB N=mgcosθq μ o i 2πh v N m =gcosθp i h v 0=9.8·cos200.06 20 0.25 vv=1.92m/s

En el instante

t l = m μqB ln gsinθ gsinθμgcosθ = 1 μ ( m·2π μ 0 q ) h i ln sinθ sinθμcosθ = 1 0.2 1 0.06 0.25 20 ln sin20 sin200.2·cos20 =0.83s

y en la posición

x= F μk ( 1 μk exp(μkt)t ) F μ 2 k 2 F=gsinθμgcosθ=9.8·sin200.2·9.8·cos20=1.51 k= qB m = q μ 0 2πm i h =0.06 20 0.25 =4.8 x= 1.51 0.2·4.8 ( 1 0.2·4.8 exp(0.2·4.8·0.83)0.83 ) 1.51 ( 0.2·4.8 ) 2 =0.69m

A partir de este instante, la partícula abandona el plano inclinado y se mueve bajo la acción de la fuerza magnética y del peso. Se calcula la posición de la partícula en función del tiempo, resolviendo un sistema de dos ecuaciones diferenciales de segundo orden y se dibuja la trayectoria.


Referencias

Problema propuesto en la XIV Olimpiada Española de Física. Cuenca, Abril de 2003