Movimiento en campos eléctrico y magnético cruzados

Supongamos que el campo magnético B tiene la dirección del eje Z, el campo eléctrico E la dirección del eje Y . La partícula cargada parte de la posición inicial (x0, y0) con velocidad inicial (v0x, v0y)

La ecuación del movimiento de es

m d 2 r d t 2 =q E +q v × B { B =B k ^ E =E j ^

o bien,

m( d v x dt i ^ + d v y dt j ^ + d v z dt k ^ )=qE j ^ +q| i ^ j ^ k ^ v x v y v z 0 0 B |

Se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales

d v x dt = qB m v y d v y dt = qE m qB m v x d v z dt =0

La velocidad a lo largo del eje Z es constante e igual a la velocidad inicial, vz=v0z=0

Se denomina frecuencia de giro ω al cociente ω =qB/m, que es la velocidad angular de un partícula cargada en un campo magnético uniforme.

Despejamos vy en la primera ecuación y la introducimos en la segunda. Obtenemos la ecuación diferencial de segundo orden.

d 2 v x d t 2 + ω 2 v x = q 2 EB m 2

La solución de esta ecuación diferencial es de la forma

vx=cos(ω·t)+D·sin(ω·t)+c

Introduciendo vx en la ecuación diferencial determinamos la solución particular c de la ecuación diferencial de segundo orden.

v x =Ccos( ω·t )+Dsin( ω·t )+ E B

Calculamos la componente vy de la velocidad de la partícula

v y = 1 ω d v x dt =Csin( ω·t )+Dcos( ω·t )

Las constantes C y D se determinan a partir de las condiciones iniciales. En el instante t=0, las componentes de la velocidad de la partícula son (v0x, v0y).

v x =( v 0x E B )cos( ω·t )+ v 0y sin( ω·t )+ E B v y =( v 0x E B )sin( ω·t )+ v 0y cos( ω·t )

Para simplificar y generalizar las expresiones de las componentes de la velocidad, denominados velocidad de deriva

v d = E B

cuyo significado ya hemos visto en el selector de velocidades. Las expresiones de vx y vy quedarán como sigue

v x =( v 0x v d )cos( ω·t )+ v 0y sin( ω·t )+ v d v y =( v 0x v d )sin( ω·t )+ v 0y cos( ω·t )

Sabiendo que en el instante t=0, la posición de la partícula es (x0, y0), calculamos la coordenada x del centro de la bola integrando la expresión de la velocidad vx en función del tiempo, lo mismo para la ordenada y.

x= x 0 + 1 ω { ( v 0x v d )sin(ω·t)+ v 0y (1cos(ω·t)) }+ v d t y= y 0 + 1 ω { ( v 0x v d )(cos(ω·t)1)+ v 0y sin(ω·t) }

Expresamos esta ecuación de la forma

x x 0 v 0y ω v d t= 1 ω { ( v 0x v d )sin(ω·t) v 0y cos(ω·t) } y y 0 + 1 ω ( v 0x v d )= 1 ω { ( v 0x v d )cos(ω·t)+ v 0y sin(ω·t) }

Elevando al cuadrado y sumando

( x x 0 v 0y ω v d t ) 2 + ( y y 0 + v 0x ω v d ω ) 2 = 1 ω 2 { ( v 0x v d ) 2 + v 0y 2 }

Se trata de la ecuación de una circunferencia centrada en el punto (a, b) y tiene radio Rc

(x-a)2+(y-b)2=Rc2

donde

a= x 0 + v 0y ω + v d tb= y 0 v 0x ω + v d ω R c = 1 ω ( v 0x v d ) 2 + v 0y 2

El centro de la circunferencia se mueve a lo largo del eje X con velocidad vd

Ejemplo

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Se observa el movimiento de la partícula cargada en el campo electromagnético.

Ejemplo 1

La velocidad angular ω y la velocidad de deriva vd valen, respectivamente,

ω= qB m =4.79· 10 6 rad/s v d = E B =0.4· 10 6 m/s

Suponiendo que el tiempo se mide en μs=10-6 s, introducimos en el control titulado Velocidad angular 4.79 y en el control titulado Velocidad deriva, 0.4. Probar con distintas velocidades iniciales, por ejemplo, v0=0.5, y orientaciones del vector velocidad inicial.

Ejemplo 2

La velocidad angular ω, y la velocidad de deriva vd valen, respectivamente,

ω= qB m =8.791· 10 6 rad/s v d = E B =0.4· 10 6 m/s

Suponiendo que el tiempo se mide en μs=10-6 s, introducimos en el control titulado Velocidad angular 8.791 y en el control titulado Velocidad deriva, 0.4. Probar con distintas velocidades iniciales, por ejemplo v0=0.5 m/s y con distintas orientaciones del vector velocidad inicial.



Movimiento en un campo electromagnético

Las direcciones del campo magnético B y del campo eléctrico E están contenidas en el plano ZY. La dirección del campo magnético es el eje Z, tal como se muestra en la figura. La partícula cargada parte del origen con velocidad inicial (v0x, v0y, v0z)

La ecuación del movimiento de la partícula cargada es

m d 2 r d t 2 =q E +q v × B { B =B k ^ E = E y j ^ + E z k ^ m( d v x dt i ^ + d v y dt j ^ + d v z dt k ^ )=q( E y j ^ + E z k ^ )+q| i ^ j ^ k ^ v x v y v z 0 0 B |

El resultado es el sistema de tres ecuaciones diferenciales

{ d v x dt =ω v y d v y dt = q E y m ω v x d v z dt = q E z m

La última ecuación corresponde a un movimiento uniformemente acelerado

v z = q E z m t+ v 0z z= 1 2 q E z m t 2 + v 0z t

Las dos primeras ecuaciones diferenciales se resuelven de forma similar al apartado anterior. Derivamos la segunda ecuación respecto del tiempo

d 2 v y d t 2 =ω d v x dt d 2 v y d t 2 + ω 2 v y =0

La solución de esta ecuación diferencial es conocida

v y =Ccos( ωt )+Dsin( ωt )

Donde C y D se determinan a partir de la velocidad inicial. En el instante t=0, v0y=C. De la ecuación

d v y dt = q E y m ω v x ω( Csin( ωt )+Dcos( ωt ) )= q E y m ω v x v x = E y B +Csin( ωt )Dcos( ωt )

En el instante inicial t=0, vx=v0x

D= q E y ωm v 0x

Las componentes de la velocidad vx y vy en función del tiempo son

v y = v 0y cos( ωt )+( E y B v 0x )sin( ωt ) v x = E y B + v 0y sin( ωt )( E y B v 0x )cos( ωt )

Integrando, obtenemos las coordenadas x, y y z en función del tiempo t, sabiendo que la partícula parte del origen

x= E y B t+ 1 ω { ( v 0x E y B )sin( ωt )+ v 0y ( 1cos( ωt ) ) } y= 1 ω { v 0y sin( ωt )( v 0x E y B )( 1cos( ωt ) ) } z= 1 2 ω E z B t 2 + v 0z t

Ejemplo 1

Los campos eléctrico y magnético son paralelos al eje Z, Ey=0

Las dos primeras ecuaciones de la trayectoria se escriben

{ x v 0y ω = v 0x ω sin( ωt ) v 0y ω cos( ωt ) y+ v 0x ω = v 0y ω sin( ωt )+ v 0x ω cos( ωt )

Elevando al cuadrado y sumando, obtenemos en el plano XY, la ecuación de una circunferencia centrada en (v0x, -v0y)

( x v 0y ω ) 2 + ( y+ v 0x ω ) 2 = 1 ω 2 ( v 0x 2 + v 0y 2 ) z= 1 2 ω E z B t 2 + v 0z t

El resultado es una hélice de paso constante si Ez=0, y v0z≠0. Si Ez≠0, el paso es variable

w=1; %qB/m
vd_y=0; %E_y/B
vd_z=0.2; %E_z/B
v0x=0.3; %velocidad inicial
v0y=0; 
v0z=0;
%trayectoria
x=@(t) vd_y*t+((v0x-vd_y)*sin(w*t)+v0y*(1-cos(w*t)))/w;
y=@(t) (v0y*sin(w*t)-(v0x-vd_y)*(1-cos(w*t)))/w;
z=@(t) vd_z*w*t.^2/2+v0z*t;
fplot3(x,y,z,[0,20])
grid on
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
title('Movimiento en un campo eléctrico y magnético')

Ejemplo 2

Si v0x=Ey y v0y=0

x= E y B t y=0 z= 1 2 ω E z B t 2 + v 0z t

La trayectoria es una parábola en el plano XZ

z= 1 2 ω E z B E y 2 x 2 + v 0z B E y x

w=1; %qB/m
vd_y=1; %E_y/B
vd_z=0.2; %E_z/B
v0x=vd_y; %velocidad inicial
v0y=0; 
v0z=0;
%trayectoria
x=@(t) vd_y*t+((v0x-vd_y)*sin(w*t)+v0y*(1-cos(w*t)))/w;
y=@(t) (v0y*sin(w*t)-(v0x-vd_y)*(1-cos(w*t)))/w;
z=@(t) vd_z*w*t.^2/2+v0z*t;
fplot3(x,y,z,[0,20])
grid on
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
title('Movimiento en un campo eléctrico y magnético')

Ejemplo 3

Si v0x=0 y v0y=0.

x= 1 ω E y B ( ωtsin( ωt ) ) y= 1 ω E y B ( 1cos( ωt ) ) z= 1 2 ω E z B t 2 + v 0z t

Tenemos una cicloide en el plano XY

w=1; %qB/m
vd_y=1; %E_y/B
vd_z=0.2; %E_z/B
v0x=0; %velocidad inicial
v0y=0; 
v0z=0;
%trayectoria
x=@(t) vd_y*t+((v0x-vd_y)*sin(w*t)+v0y*(1-cos(w*t)))/w;
y=@(t) (v0y*sin(w*t)-(v0x-vd_y)*(1-cos(w*t)))/w;
z=@(t) vd_z*w*t.^2/2+v0z*t;
fplot3(x,y,z,[0,20])
grid on
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
title('Movimiento en un campo eléctrico y magnético')

Otras trayectorias más complejas, se obtienen modificando las velocidades iniciales v0x y v0y

w=1; %qB/m
vd_y=1; %E_y/B
vd_z=0.2; %E_z/B
v0x=vd_y; %velocidad inicial
v0y=3; 
v0z=0;
%trayectoria
x=@(t) vd_y*t+((v0x-vd_y)*sin(w*t)+v0y*(1-cos(w*t)))/w;
y=@(t) (v0y*sin(w*t)-(v0x-vd_y)*(1-cos(w*t)))/w;
z=@(t) vd_z*w*t.^2/2+v0z*t;
fplot3(x,y,z,[0,40])
grid on
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
title('Movimiento en un campo eléctrico y magnético')