Movimiento en campos eléctrico y magnético cruzados

Supongamos que el campo magnético B tiene la dirección del eje Z, el campo eléctrico E la dirección del eje Y y el vector velocidad v está en el plano XY. La partícula cargada parte de la posición inicial (x0, y0) con velocidad inicial (v0x, v0y)

La fuerza que ejerce el campo eléctrico E sobre una carga q es

f e =q E

La fuerza que ejerce el campo magnético B sobre una partícula de carga q cuya velocidad es v es

f m =q v × B

La ecuación del movimiento de es

m d 2 r d t 2 =q E +q v × B { B =B k ^ E =E j ^ v 0 = v 0x i ^ + v 0y j ^

o bien,

m( d v x dt i ^ + d v y dt j ^ + d v z dt k ^ )=qE· j ^ +q| i ^ j ^ k ^ v x v y 0 0 0 B |

Se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales

d v x dt = qB m v y d v y dt = qE m qB m v x d v z dt =0

La velocidad a lo largo del eje Z es constante e igual a la velocidad inicial, vz=v0z=0

Se denomina frecuencia de giro ω al cociente ω =qB/m, que es la velocidad angular de un partícula cargada en un campo magnético uniforme.

Despejamos vy en la primera ecuación y la introducimos en la segunda. Obtenemos la ecuación diferencial de segundo orden.

d 2 v x d t 2 + ω 2 v x = q 2 EB m 2

La solución de esta ecuación diferencial es de la forma

vx=cos(ω·t)+D·sin(ω·t)+c

Introduciendo vx en la ecuación diferencial determinamos la solución particular c de la ecuación diferencial de segundo orden.

v x =Ccos( ω·t )+Dsin( ω·t )+ E B

Calculamos la componente vy de la velocidad de la partícula

v y = 1 ω d v x dt =Csin( ω·t )+Dcos( ω·t )

Las constantes C y D se determinan a partir de las condiciones iniciales. En el instante t=0, las componentes de la velocidad de la partícula son (v0x, v0y).

v x =( v 0x E B )cos( ω·t )+ v 0y sin( ω·t )+ E B v y =( v 0x E B )sin( ω·t )+ v 0y cos( ω·t )

Para simplificar y generalizar las expresiones de las componentes de la velocidad, denominados velocidad de deriva

v d = E B

cuyo significado ya hemos visto en el selector de velocidades. Las expresiones de vx y vy quedarán como sigue

v x =( v 0x v d )cos( ω·t )+ v 0y sin( ω·t )+ v d v y =( v 0x v d )sin( ω·t )+ v 0y cos( ω·t )

Sabiendo que en el instante t=0, la posición de la partícula es (x0, y0), calculamos la coordenada x del centro de la bola integrando la expresión de la velocidad vx en función del tiempo, lo mismo para la ordenada y.

x= x 0 + 1 ω { ( v 0x v d )sin(ω·t)+ v 0y (1cos(ω·t)) }+ v d t y= y 0 + 1 ω { ( v 0x v d )(cos(ω·t)1)+ v 0y sin(ω·t) }

Expresamos esta ecuación de la forma

x x 0 v 0y ω v d t= 1 ω { ( v 0x v d )sin(ω·t) v 0y cos(ω·t) } y y 0 + 1 ω ( v 0x v d )= 1 ω { ( v 0x v d )cos(ω·t)+ v 0y sin(ω·t) }

Elevando al cuadrado y sumando

( x x 0 v 0y ω v d t ) 2 + ( y y 0 + v 0x ω v d ω ) 2 = 1 ω 2 { ( v 0x v d ) 2 + v 0y 2 }

Se trata de la ecuación de una circunferencia centrada en el punto (a, b) y tiene radio Rc

(x-a)2+(y-b)2=Rc2

donde

a= x 0 + v 0y ω + v d tb= y 0 v 0x ω + v d ω R c = 1 ω ( v 0x v d ) 2 + v 0y 2

El centro de la circunferencia se mueve a lo largo del eje X con velocidad vd

Ejemplo

Casos particulares

El lector puede explorar otras posibilidades

Actividades

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Se observa el movimiento de la partícula cargada en el campo electromagnético.

Probar otros ejemplos:

La velocidad angular ω y la velocidad de deriva vd valen, respectivamente,

ω= qB m =4.79· 10 6 rad/s v d = E B =0.4· 10 6 m/s

Suponiendo que el tiempo se mide en μs=10-6 s, introducimos en el control titulado Velocidad angular 4.79 y en el control titulado Velocidad deriva, 0.4. Probar con distintas velocidades iniciales, por ejemplo, v0=0.5, y orientaciones del vector velocidad inicial.

La velocidad angular ω, y la velocidad de deriva vd valen, respectivamente,

ω= qB m =8791.2· 10 6 rad/s v d = E B =0.4· 10 6 m/s

Suponiendo que el tiempo se mide en μs=10-6 s, introducimos en el control titulado Velocidad angular 8791.2 y en el control titulado Velocidad deriva, 0.4. Probar con distintas velocidades iniciales, por ejemplo v0=1000 m/s y con distintas orientaciones del vector velocidad inicial.