Movimiento en campos eléctrico y magnético cruzados (I)

Supongamos que el campo magnético B tiene la dirección del eje Z, el campo eléctrico E la dirección del eje Y y el vector velocidad v está en el plano XY. La partícula cargada parte de la posición inicial (x0, y0) con velocidad inicial (v0x, v0y)

La fuerza que ejerce el campo eléctrico E sobre una carga q es

Fe=q·E.

La fuerza que ejerce el campo magnético B sobre una partícula de carga q cuya velocidad es v es

Fm=q·v×B

La ecuación del movimiento de es

m d 2 r d t 2 =qE+qv×B

Las componentes de E, B y v son

B (0, 0, B)
E
(0, E, 0)
v
(v0x, v0y, 0,)

m( d v x dt i+ d v y dt j+ d v z dt k )=qEj+q| i j k v x v y 0 0 0 B |

Se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales

d v x dt = qB m v y d v y dt = qE m qB m v x d v z dt =0

La velocidad a lo largo del eje Z es constante e igual a la velocidad inicial, vz=v0z=0

Se denomina frecuencia de giro ω al cociente ω =qB/m, que es la velocidad angular de un partícula cargada en un campo magnético uniforme.

Despejamos vy en la primera ecuación y la introducimos en la segunda. Obtenemos la ecuación diferencial de segundo orden.

d 2 v x d t 2 + ω 2 v x = q 2 EB m 2

La solución de esta ecuación diferencial es de la forma

vx=cos(ω·t)+D·sin(ω·t)+c

Introduciendo vx en la ecuación diferencial determinamos la solución particular c de la ecuación diferencial de segundo orden.

v x =Ccos( ω·t )+Dsin( ω·t )+ E B

Calculamos la componente vy de la velocidad de la partícula

v y = 1 ω d v x dt =Csin( ω·t )+Dcos( ω·t )

Las constantes C y D se determinan a partir de las condiciones iniciales. En el instante t=0, las componentes de la velocidad de la partícula son (v0x, v0y).

v x =( v 0x E B )cos( ω·t )+ v 0y sin( ω·t )+ E B v y =( v 0x E B )sin( ω·t )+ v 0y cos( ω·t )

Para simplificar y generalizar las expresiones de las componentes de la velocidad, denominados velocidad de deriva

v d = E B

cuyo significado ya hemos visto en el selector de velocidades. Las expresiones de vx y vy quedarán como sigue

v x =( v 0x v d )cos( ω·t )+ v 0y sin( ω·t )+ v d v y =( v 0x v d )sin( ω·t )+ v 0y cos( ω·t )

Sabiendo que en el instante t=0, la posición de la partícula es (x0, y0), calculamos la coordenada x del centro de la bola integrando la expresión de la velocidad vx en función del tiempo, lo mismo para la ordenada y.

x= x 0 + 1 ω { ( v 0x v d )sin(ω·t)+ v 0y (1cos(ω·t)) }+ v d t y= y 0 + 1 ω { ( v 0x v d )(cos(ω·t)1)+ v 0y sin(ω·t) }

Expresamos esta ecuación de la forma

x x 0 v 0y ω v d t= 1 ω { ( v 0x v d )sin(ω·t) v 0y cos(ω·t) } y y 0 + 1 ω ( v 0x v d )= 1 ω { ( v 0x v d )cos(ω·t)+ v 0y sin(ω·t) }

Elevando al cuadrado y sumando

( x x 0 v 0y ω v d t ) 2 + ( y y 0 + v 0x ω v d ω ) 2 = 1 ω 2 { ( v 0x v d ) 2 + v 0y 2 }

Se trata de la ecuación de una circunferencia centrada en el punto (a, b) y tiene radio Rc

(x-a)2+(y-b)2=Rc2

donde

a= x 0 + v 0y ω + v d tb= y 0 v 0x ω + v d ω R c = 1 ω ( v 0x v d ) 2 + v 0y 2

El centro de la circunferencia se mueve a lo largo del eje X con velocidad vd

Ejemplo

Casos particulares

La velocidad de deriva vd no depende de la carga de las partículas, por lo que los electrones derivan en la misma dirección que los iones positivos. Pero el movimiento de giro ω de los electrones es opuesto al de las cargas positivas.

Trayectorias con MATLAB

Creamos un script para dibujar distintas trayectorias

Ejemplo

x0=0; %posición
y0=0;
v0x=0.25; %velocidad
v0y=0;
w=1;  %qB/m
vd=1; %E/B

t=linspace(0,20,100);
hold on
for v0x=0.25:0.25:0.75
    x=x0+((v0x-vd)*sin(w*t)+v0y*(1-cos(w*t)))/w+vd*t;
    y=y0+((v0x-vd)*(cos(w*t)-1)+v0y*sin(w*t))/w;
    plot(x,y);
end
hold off
grid on
xlabel('x')
ylabel('y');
title('Campos magnéticos cruzados')

El lector puede explorar otras posibilidades

Actividades

Se introduce

Se pulsa el botón titulado Nuevo

Se observa el movimiento de la partícula cargada en el campo electromagnético.

Probar otros ejemplos:

La velocidad angular ω y la velocidad de deriva vd valen, respectivamente,

ω= qB m =4.79· 10 6 rad/s v d = E B =0.4· 10 6 m/s

Suponiendo que el tiempo se mide en μs=10-6 s, introducimos en el control titulado Velocidad angular 4.79 y en el control titulado Velocidad deriva, 0.4. Probar con distintas velocidades iniciales, y orientaciones del vector velocidad inicial.

La velocidad angular ω, y la velocidad de deriva vd valen, respectivamente,

ω= qB m =8791.2· 10 6 rad/s v d = E B =0.4· 10 6 m/s

Suponiendo que el tiempo se mide en μs=10-6 s, introducimos en el control titulado Velocidad angular 8791.2 y en el control titulado Velocidad deriva, 0.4. Probar con distintas velocidades iniciales, por ejemplo v0=1000 m/s y con distintas orientaciones del vector velocidad inicial.