Movimiento en campos eléctrico y magnético cruzados

Supongamos que el campo magnético tiene la dirección del eje Z, el campo eléctrico la dirección del eje Y . La partícula cargada parte de la posición inicial (x0, y0) con velocidad inicial (v0x, v0y)
La fuerza que ejerce el campo eléctrico sobre una carga q es
La fuerza que ejerce el campo magnético sobre una partícula de carga q cuya velocidad es es
La ecuación del movimiento de es
o bien,
Se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales
La velocidad a lo largo del eje Z es constante e igual a la velocidad inicial, vz=v0z=0
Se denomina frecuencia de giro ω al cociente ω =qB/m, que es la velocidad angular de un partícula cargada en un campo magnético uniforme.
Despejamos vy en la primera ecuación y la introducimos en la segunda. Obtenemos la ecuación diferencial de segundo orden.
La solución de esta ecuación diferencial es de la forma
vx=C·cos(ω·t)+D·sin(ω·t)+c
Introduciendo vx en la ecuación diferencial determinamos la solución particular c de la ecuación diferencial de segundo orden.
Calculamos la componente vy de la velocidad de la partícula
Las constantes C y D se determinan a partir de las condiciones iniciales. En el instante t=0, las componentes de la velocidad de la partícula son (v0x, v0y).
Para simplificar y generalizar las expresiones de las componentes de la velocidad, denominados velocidad de deriva
cuyo significado ya hemos visto en el selector de velocidades. Las expresiones de vx y vy quedarán como sigue
Sabiendo que en el instante t=0, la posición de la partícula es (x0, y0), calculamos la coordenada x del centro de la bola integrando la expresión de la velocidad vx en función del tiempo, lo mismo para la ordenada y.
Expresamos esta ecuación de la forma
Elevando al cuadrado y sumando
Se trata de la ecuación de una circunferencia centrada en el punto (a, b) y tiene radio Rc
(x-a)2+(y-b)2=Rc2
donde
El centro de la circunferencia se mueve a lo largo del eje X con velocidad vd
Ejemplo
- Posición inicial de la partícula, x0=0, y0=-0.8
- Velocidad inicial, v0=0.3, φ=90º o bien, v0x=0, v0y=0.3
- Velocidad angular, ω=qB/m=1.0
- Velocidad deriva, vd=E/B=0.05
- Carga positiva
Casos particulares
Movimiento circular
- Posición inicial de la partícula, x0=0, y0=0.4
- Velocidad inicial, v0=0.3, φ=90º o bien, v0x=0, v0y=0.3
- Velocidad angular, ω=qB/m=1.0
- Velocidad deriva, vd=E/B=0.0
- Carga positiva
Movimiento rectilíneo
- Posición inicial de la partícula, x0=0, y0=0
- Velocidad inicial, v0=0.1, φ=0º o bien, v0x=0.1, v0y=0.0
- Velocidad angular, ω=qB/m=1.0
- Velocidad deriva, vd=E/B=0.1
- Carga positiva
Cuando el campo eléctrico es nulo, E=0, vd=0
La partícula describe una circunferencia en el campo magnético, cuyo centro y radio son:
Ejemplo

Si v0y=0 y v0x=vd=E/B
x=x0+vd·t
y=y0
La partícula se mueve a lo largo del eje X con velocidad constante igual al cociente entre la intensidad del campo eléctrico E y la intensidad del campo magnético B. Este es el fundamento de un selector de velocidades.
Ejemplo
Vamos a representar las trayectorias cuando v0x y vd son diferentes, la trayectoria no es una línea recta. Esto es lo que le ocurriría a una partícula cargada cuando entra en un selector de velocidades y su velocidad v0x no coincide con el cociente vd=E/B
Representamos las trayectorias para v0x=2vd, v0x=2vd (línea recta), v0x=0.5vd
x0=0; %posición y0=0; w=1; %qB/m vd=1; %E/B v0y=0; hold on for v0x=[2,1,0.5] x=@(t) x0+((v0x-vd)*sin(w*t)+v0y*(1-cos(w*t)))/w+vd*t; y=@(t) y0+((v0x-vd)*(cos(w*t)-1)+v0y*sin(w*t))/w; fplot(x,y, [0,15]); end hold off grid on legend('0.9','1','1.1','location','best') xlabel('x') ylabel('y') title('Campos magnéticos cruzados')
Cuando la partícula parte del reposo
v0x=v0y=0 desde el origen x0=0, y0=0
Estas son las ecuaciones paramétricas de una cicloide generada por un punto del borde de un disco de radio R=vd/ω=E/(ωB) que rueda sin deslizar, girando alrededor de su eje con velocidad angular ω y cuyo centro se mueve con velocidad constante v=R·ω=E/B.
Ejemplo
- Posición inicial de la partícula, x0=0, y0=0
- Velocidad inicial, v0x=v0y=0
- Velocidad angular, ω=qB/m=1.0
- Velocidad deriva, vd=E/B=1.0
- Carga positiva
w=1; %qB/m vd=1; %E/B v0x=0; %velocidad inicial v0y=0; x0=0;%posición inicial y0=0; x=@(t) x0+vd*t+((v0x-vd)*sin(w*t)+v0y*(1-cos(w*t)))/w; y=@(t) y0+(v0y*sin(w*t)-(v0x-vd)*(1-cos(w*t)))/w; fplot(x,y,[0,15]) grid on axis equal xlabel('x') ylabel('y') title('Campos magnéticos cruzados')
La velocidad de deriva vd no depende de la carga de las partículas, por lo que los electrones derivan en la misma dirección que los iones positivos. Pero el movimiento de giro ω de los electrones es opuesto al de las cargas positivas.
Cuando v0x=vd
Ejemplo
- Posición inicial de la partícula, x0=0, y0=0
- Velocidad angular, ω=qB/m=1.0
- Velocidad deriva, vd=E/B=1
- Velocidad inicial, v0y=0.3, 1 y 3
- Carga positiva
x0=0; %posición y0=0; w=1; %qB/m vd=1; %E/B v0x=vd; hold on for v0y=[0.3,1,3] x=@(t) x0+((v0x-vd)*sin(w*t)+v0y*(1-cos(w*t)))/w+vd*t; y=@(t) y0+((v0x-vd)*(cos(w*t)-1)+v0y*sin(w*t))/w; fplot(x,y, [0,20]); end hold off grid on legend('0.3','1','3','location','southwest') xlabel('x') ylabel('y') title('Campos magnéticos cruzados')
El lector puede explorar otras posibilidades
Actividades
Se introduce
-
La posición de partida x0, en el control titulado Posición inicial. La ordenada se ha fijado en y0=0.
-
La velocidad angular de giro ω=qB/m, en el control titulado Velocidad angular
-
La velocidad inicial v0 de la partícula en el control titulado Velocidad inicial
-
La dirección φ del vector velocidad inicial v0, en el control titulado Dirección velocidad. Las componentes del vector velocidad son: v0x=v0·cosφ, v0y=v0·sinφ.
-
La velocidad de deriva vd=E/B en el control titulado Velocidad deriva
-
La carga positiva o negativa, activando el botón de radio correspondiente
Se pulsa el botón titulado Nuevo
Se observa el movimiento de la partícula cargada en el campo electromagnético.
Ejemplo 1
- Intensidad del campo magnético, B=500 gauss=0.05 T
- Intensidad del campo eléctrico, E=20000 N/C
- Partícula: protón, carga positiva, q=1.6·10-19 C, m=1.67·10-27 kg
La velocidad angular ω y la velocidad de deriva vd valen, respectivamente,
Suponiendo que el tiempo se mide en μs=10-6 s, introducimos en el control titulado Velocidad angular 4.79 y en el control titulado Velocidad deriva, 0.4. Probar con distintas velocidades iniciales, por ejemplo, v0=0.5, y orientaciones del vector velocidad inicial.
Ejemplo 2
- Intensidad del campo magnético, B=0.5 gauss=0.5·10-4 T
- Intensidad del campo eléctrico, E=20 N/C
- Partícula: electrón, carga negativa, q=1.6·10-19 C, m=9.1·10-31 kg
La velocidad angular ω, y la velocidad de deriva vd valen, respectivamente,
Suponiendo que el tiempo se mide en μs=10-6 s, introducimos en el control titulado Velocidad angular 8.791 y en el control titulado Velocidad deriva, 0.4. Probar con distintas velocidades iniciales, por ejemplo v0=0.5 m/s y con distintas orientaciones del vector velocidad inicial.
Movimiento en un campo electromagnético

Las direcciones del campo magnético y del campo eléctrico están contenidas en el plano ZY. La dirección del campo magnético es el eje Z, tal como se muestra en la figura. La partícula cargada parte del origen con velocidad inicial (v0x, v0y, v0z)
La ecuación del movimiento de la partícula cargada es
El resultado es el sistema de tres ecuaciones diferenciales
La última ecuación corresponde a un movimiento uniformemente acelerado
Las dos primeras ecuaciones diferenciales se resuelven de forma similar al apartado anterior. Derivamos la segunda ecuación respecto del tiempo
La solución de esta ecuación diferencial es conocida
Donde C y D se determinan a partir de la velocidad inicial. En el instante t=0, v0y=C. De la ecuación
En el instante inicial t=0, vx=v0x
Las componentes de la velocidad vx y vy en función del tiempo son
Integrando, obtenemos las coordenadas x, y y z en función del tiempo t, sabiendo que la partícula parte del origen
Si Ez=0, los campos eléctrico y magnético son perpendiculares, tenemos las mismas ecuaciones del apartado anterior
Cuando el campo eléctrico es nulo y la velocidad inicial de la partícula a lo largo del eje Z no es nula, tenemos una trayectoria helicoidal
Ejemplo 1
Los campos eléctrico y magnético son paralelos al eje Z, Ey=0
Las dos primeras ecuaciones de la trayectoria se escriben
Elevando al cuadrado y sumando, obtenemos en el plano XY, la ecuación de una circunferencia centrada en (v0x/ω, -v0y/ω)
El resultado es una hélice de paso constante si Ez=0, y v0z≠0. Si Ez≠0, el paso es variable
w=1; %qB/m vd_y=0; %E_y/B vd_z=0.2; %E_z/B v0x=0.3; %velocidad inicial v0y=0; v0z=0; %trayectoria x=@(t) vd_y*t+((v0x-vd_y)*sin(w*t)+v0y*(1-cos(w*t)))/w; y=@(t) (v0y*sin(w*t)-(v0x-vd_y)*(1-cos(w*t)))/w; z=@(t) vd_z*w*t.^2/2+v0z*t; fplot3(x,y,z,[0,20]) grid on xlabel('x') ylabel('y') zlabel('z') title('Movimiento en un campo eléctrico y magnético')
Ejemplo 2
Si v0x=Ey/ω y v0y=0
La trayectoria es una parábola en el plano XZ
w=1; %qB/m vd_y=1; %E_y/B vd_z=0.2; %E_z/B v0x=vd_y; %velocidad inicial v0y=0; v0z=0; %trayectoria x=@(t) vd_y*t+((v0x-vd_y)*sin(w*t)+v0y*(1-cos(w*t)))/w; y=@(t) (v0y*sin(w*t)-(v0x-vd_y)*(1-cos(w*t)))/w; z=@(t) vd_z*w*t.^2/2+v0z*t; fplot3(x,y,z,[0,20]) grid on xlabel('x') ylabel('y') zlabel('z') title('Movimiento en un campo eléctrico y magnético')
Ejemplo 3
Si v0x=0 y v0y=0.
Tenemos una cicloide en el plano XY
w=1; %qB/m vd_y=1; %E_y/B vd_z=0.2; %E_z/B v0x=0; %velocidad inicial v0y=0; v0z=0; %trayectoria x=@(t) vd_y*t+((v0x-vd_y)*sin(w*t)+v0y*(1-cos(w*t)))/w; y=@(t) (v0y*sin(w*t)-(v0x-vd_y)*(1-cos(w*t)))/w; z=@(t) vd_z*w*t.^2/2+v0z*t; fplot3(x,y,z,[0,20]) grid on xlabel('x') ylabel('y') zlabel('z') title('Movimiento en un campo eléctrico y magnético')
Otras trayectorias más complejas, se obtienen modificando las velocidades iniciales v0x y v0y
w=1; %qB/m vd_y=1; %E_y/B vd_z=0.2; %E_z/B v0x=vd_y; %velocidad inicial v0y=3; v0z=0; %trayectoria x=@(t) vd_y*t+((v0x-vd_y)*sin(w*t)+v0y*(1-cos(w*t)))/w; y=@(t) (v0y*sin(w*t)-(v0x-vd_y)*(1-cos(w*t)))/w; z=@(t) vd_z*w*t.^2/2+v0z*t; fplot3(x,y,z,[0,40]) grid on xlabel('x') ylabel('y') zlabel('z') title('Movimiento en un campo eléctrico y magnético')