Movimiento de una carga eléctrica en el campo magnético de un monopolo.
El campo magnético producido por un monopolo de carga qm es similar al campo eléctrico producido por una carga puntual
Una partícula de masa m que lleva una carga eléctrica q en el seno de dicho campo magnético experimenta una fuerza, . La ecuación del movimiento es
Constantes del movimiento
-
La energía cinética de la partícula cargada es constante
-
El momento angular no es constante, pero lo es, el cuadrado de su módulo L2
-
La magnitud es constante del movimiento
Multiplicamos escalarmente por el vector velocidad
Efectuamos
El miembro izquierdo se convierte en
Teniendo en cuenta el resultado del triple producto vectorial
El miembro derecho
La derivada respecto del tiempo de la magnitud es nula. Tenemos otra constante del movimiento

El vector es la suma de dos vectores mutuamente perpendiculares
Su módulo es
Calculamos el producto escalar , o el ángulo θ
El producto escalar es constante, lo que implica que la partícula cargada cuyo vector posición es forma un ángulo constante con el vector , se mueve en la superficie de un cono que forma un ángulo fijo.
Trayectoria
El hecho de que la energía cinética sea una constante del movimiento, nos permite obtener información acerca del movimiento en la dirección radial de la partícula
Multiplicamos la ecuación del movimiento escalarmente por el vector
La aceleración es perpendicular al vector , es decir, a la superficie del cono. La distancia r de la partícula cargada al monopolo r es

C1 y C2 son constantes de integración que se determinan a partir de las condiciones iniciales. Se elige C1=0, y , siendo r0 la distancia más cercana de la partícula cargada al monopolo
El módulo del momento angular, L=mvr0
Coordenadas esféricas
Para completar la ecuación de la trayectoria es conveniente formular las ecuaciones del movimiento en coordenadas esféricas
El vector posición
El vector velocidad
El vector aceleración
Teniendo en cuenta que el ángulo θ es constante. La ecuación del movimiento en coordenadas esféricas es
El resultado es
Combinamos la primera y segunda ecuación diferencial
Resultado que hemos obtenido anteriormente. Nos queda por resolver la segunda ecuación diferencial
Resumiendo
La trayectoria de la partícula cargada reside en la superficie de un cono de ángulo 2θ, en cuyo vértice se encuentra el monopolo
La distancia radial r de la partícula cargada al monopolo es
El ángulo φ de la partícula cargada en función del tiempo t es
v es el módulo de la velocidad de la partícula, una constante del movimiento
Datos
- Constante, J/m=1.002
- Módulo de la velocidad de la partícula cargada, v=0.1
- Distancia mínima al monopolo, r0=1
v=0.1; r0=1; J=1.002; theta=asin(v*r0/J); r=linspace(0,6,50); phi=linspace(0,2*pi,50); [r,phi]=meshgrid(r,phi); x=r.*cos(phi)*sin(theta); y=r.*sin(phi)*sin(theta); z=r*cos(theta); disp(z(end)) hold on surfl(x,y,z); shading interp colormap(gray); t=1:0.1:50; phi=atan(v*t/r0)*J/(v*r0); r=r0./cos(v*r0*phi/J); x=r.*cos(phi)*sin(theta); y=r.*sin(phi)*sin(theta); z=r*cos(theta); plot3(x,y,z,'r') hold off xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('z') title('Trayectoria de la partícula cargada') view(-20,70)
Referencias
Anderson L. de Jesus, Alexandre G.M. Schmidt, Licinio L. S. Portugal. Introdução à Física do Monopolo Magnético: uma abordagem clássica. Revista Brasileira de Ensino de Física, vol. 45, e20220335 (2023)
I. Richard Lapidus, Jerry L. Pietenpol. Classical Interaction of an Electric Charge with a Magnetic Monopole. Am. J. Phys. 28, (1960), pp. 17-18