Movimiento de una partícula cargada en un campo magnético no uniforme

Una partícula de masa m y carga q se mueve en un campo magnético no uniforme

B =αyB j ^ +(1+αz)B k ^

La ecuación del movimiento es

m d 2 r d t 2 =q v × B d 2 r d t 2 = qB m | i ^ j ^ k ^ dx dt dy dt dz dt 0 αy (1+αz) |

Que da lugar a un sistema de tres ecuaciones diferenciales

{ d 2 x d t 2 =ω( (1+αz) dy dt +αy dz dt ) d 2 y d t 2 =ω(1+αz) dx dt d 2 z d t 2 =ωαy dx dt

con ω=qB/m. La primera ecuación diferencial se puede integrar

d 2 x d t 2 =ω dy dt +ωα d(y·z) dt dx dt =ω(1+αz)y+C

Donde C es una constante de integración que determinaremos a partir de las condiciones iniciales en el instante t=0

Conocido dx/dt, las otras dos ecuaciones diferenciales se expresan

{ d 2 y d t 2 = ω 2 ( 1+αz ) 2 yωC(1+αz) d 2 z d t 2 = ω 2 (1+αz)α y 2 ωαCy

Tenemos, por tanto, un sistema formado por una ecuación diferencial de primer orden y de dos ecuaciones diferenciales de segundo orden, que vamos a expresar de forma adimensional. Multiplicamos la primera ecuación diferencial por α/ω, la segunda y tercera por α/ω2, y expresamos las ecuaciones diferenciales en términos de X=α·x, Y=α·y, Z=α·z, τ=ω·t y D=αC/ω

{ dX dτ =(1+Z)Y+D d 2 Y d τ 2 = ( 1+Z ) 2 YD(1+Z) d 2 Z d τ 2 =(1+Z) Y 2 DY

Resolvemos este sistema de ecuaciones diferenciales con las siguientes condiciones iniciales: En el instante τ=0, la posición inicial es X=0, Y=Y0, X=0, la velocidad inicial es dX/dτ=Ux, dY/dτ=0, dZ/dτ=Uz.

La constante de integración D que aprece en la primera ecuación diferencial, se determina a partir de las condiciones iniciales, en el instante τ=0, Ux=Y0+D

Resultados

Sea Y0=0.66, Ux=0.02, Uz=0.08. Resolvemos el sistema de ecuaciones diferenciales hasta el tiempo τ=140

Referencias

O. L. de Lange, J. Pierrus Solved Problems in Classical Mechanics. Analytical and numerical solutions with comments. Question 7.23, pp. 201-205