Movimiento de una partícula cargada en un campo magnético no uniforme
Una partícula de masa m y carga q se mueve en un campo magnético no uniforme
La ecuación del movimiento es
Que da lugar a un sistema de tres ecuaciones diferenciales
con ω=qB/m. La primera ecuación diferencial se puede integrar
Donde C es una constante de integración que determinaremos a partir de las condiciones iniciales en el instante t=0
Conocido dx/dt, las otras dos ecuaciones diferenciales se expresan
Tenemos, por tanto, un sistema formado por una ecuación diferencial de primer orden y de dos ecuaciones diferenciales de segundo orden, que vamos a expresar de forma adimensional. Multiplicamos la primera ecuación diferencial por α/ω, la segunda y tercera por α/ω2, y expresamos las ecuaciones diferenciales en términos de X=α·x, Y=α·y, Z=α·z, τ=ω·t y D=αC/ω
Resolvemos este sistema de ecuaciones diferenciales con las siguientes condiciones iniciales: En el instante τ=0, la posición inicial es X=0, Y=Y0, X=0, la velocidad inicial es dX/dτ=Ux, dY/dτ=0, dZ/dτ=Uz.
La constante de integración D que aprece en la primera ecuación diferencial, se determina a partir de las condiciones iniciales, en el instante τ=0, Ux=Y0+D
Resultados
Sea Y0=0.66, Ux=0.02, Uz=0.08. Resolvemos el sistema de ecuaciones diferenciales hasta el tiempo τ=140
Coordenada X en función del tiempo τ
%X=x(1), Y=x(2), dY/dt=x(3), Z=x(4), dZ/dt=x(5) x0=[0, 0.66, 0, 0, 0.08]; %condiciones iniciales tf=140; %tiempo final D=0.02-x0(2); %constante de integración fg=@(t,x)[(1+x(4))*x(2)+D; x(3); -(1+x(4))^2*x(2)-D*(1+x(4)); x(5); -(1+x(4))*x(2)^2-D*x(2)]; [t,x]=ode45(fg,[0,tf],x0); plot(t,x(:,1)) grid on xlabel('\tau') ylabel('X'); title('X en función de \tau')
Comprobamos que la energía de la partícula se mantiene constante, ya que la fuerza que ejerce el campo magnético es siempre perpendicular al desplazamiento de la partícula
>> ((1+x(:,4)).*x(:,2)+D).^2+x(:,3).^2+x(:,5).^2 ans = 0.0068 0.0068 ...... 0.0067 0.0067 0.0067 >> 0.02^2+0.08^2 ans = 0.0068
Coordenada Y en función del tiempo τ
%X=x(1), Y=x(2), dY/dt=x(3), Z=x(4), dZ/dt=x(5) x0=[0, 0.66, 0, 0, 0.08]; %condiciones iniciales tf=140; %tiempo final D=0.02-x0(2); %constante de integración fg=@(t,x)[(1+x(4))*x(2)+D; x(3); -(1+x(4))^2*x(2)-D*(1+x(4)); x(5); -(1+x(4))*x(2)^2-D*x(2)]; [t,x]=ode45(fg,[0,tf],x0); plot(t,x(:,2)) grid on xlabel('\tau') ylabel('Y'); title('Y en función de \tau')
Coordenada Z en función del tiempo τ
%X=x(1), Y=x(2), dY/dt=x(3), Z=x(4), dZ/dt=x(5) x0=[0, 0.66, 0, 0, 0.08]; %condiciones iniciales tf=140; %tiempo final D=0.02-x0(2); %constante de integración fg=@(t,x)[(1+x(4))*x(2)+D; x(3); -(1+x(4))^2*x(2)-D*(1+x(4)); x(5); -(1+x(4))*x(2)^2-D*x(2)]; [t,x]=ode45(fg,[0,tf],x0); plot(t,x(:,4)) grid on xlabel('\tau') ylabel('Z'); title('Z en función de \tau')
La coordenada Z alcanza un máximo Zm=2.33 en el tiempo τm=69.3
>> [xmax, nmax]=max(x(:,4)) xmax = 2.3292 nmax = 858 >> t(nmax) ans = 69.2907
La trayectoria en el espacio X, Y, Z
%X=x(1), Y=x(2), dY/dt=x(3), Z=x(4), dZ/dt=x(5) x0=[0, 0.66, 0, 0, 0.08]; %condiciones iniciales tf=140; %tiempo final D=0.02-x0(2); %constante de integración fg=@(t,x)[(1+x(4))*x(2)+D; x(3); -(1+x(4))^2*x(2)-D*(1+x(4)); x(5); -(1+x(4))*x(2)^2-D*x(2)]; [t,x]=ode45(fg,[0,tf],x0); plot3(x(:,1),x(:,2),x(:,4)) grid on xlabel('X') ylabel('Y'); zlabel('Z') title('Trayectoria X,Y,Z') view(40,20)
La trayectoria en el plano Z, Y
%X=x(1), Y=x(2), dY/dt=x(3), Z=x(4), dZ/dt=x(5) x0=[0, 0.66, 0, 0, 0.08]; %condiciones iniciales tf=140; %tiempo final D=0.02-x0(2); %constante de integración fg=@(t,x)[(1+x(4))*x(2)+D; x(3); -(1+x(4))^2*x(2)-D*(1+x(4)); x(5); -(1+x(4))*x(2)^2-D*x(2)]; [t,x]=ode45(fg,[0,tf],x0); plot(x(:,4),x(:,2)) %plot(x(:,1),x(:,2)) grid on xlabel('Z') ylabel('Y'); title('Trayectoria Z,Y')
La partícula cargada se refleja en el instante τm en la posición Zm
La trayectoria en el plano X, Y
%X=x(1), Y=x(2), dY/dt=x(3), Z=x(4), dZ/dt=x(5) x0=[0, 0.66, 0, 0, 0.08]; %condiciones iniciales tf=140; %tiempo final D=0.02-x0(2); %constante de integración fg=@(t,x)[(1+x(4))*x(2)+D; x(3); -(1+x(4))^2*x(2)-D*(1+x(4)); x(5); -(1+x(4))*x(2)^2-D*x(2)]; [t,x]=ode45(fg,[0,tf],x0); plot(x(:,1),x(:,2)) grid on xlabel('X') ylabel('Y'); title('Trayectoria X,Y')
Referencias
O. L. de Lange, J. Pierrus Solved Problems in Classical Mechanics. Analytical and numerical solutions with comments. Question 7.23, pp. 201-205