Movimiento de una partícula cargada en el campo de un dipolo magnético

Movimiento de una partícula cargada en un campo magnético no uniforme

Una partícula de masa M y carga q se mueve en el campo magnético producido por un dipolo situado en el origen de momento m = m 0 k ^ . El campo magnético producido por el dipolo tiene las expresión

B = μ 0 4π 3( m · r ) r r 2 m r 5

La partícula cargada en el instante t está en el punto P cuyo vector posición es r .

r =x i ^ +y j ^ +z k ^ B = μ 0 m 0 4π 3xz i ^ +3zy j ^ +( 2 z 2 y 2 x 2 ) k ^ r 5

En los puntos del plano XY (z=0) distantes r0 del origen, el campo magnético vale

B 0 = μ 0 m 0 4π r 0 2 r 0 5 k ^ = μ 0 m 0 4π 1 r 0 3 k ^

La expresión del campo magnético B en términos del módulo B0 es

B = B 0 r 0 3 3xz i ^ +3zy j ^ +( 2 z 2 y 2 x 2 ) k ^ r 5

La fuerza que ejerce el campo magnético sobre la partícula cargada es

F =q v × B ^ = q B 0 r 0 3 r 5 | i ^ j ^ k ^ dx dt dy dt dz dt 3xz 3yz 2 z 2 y 2 x 2 |= q B 0 r 0 3 r 5 { ( ( 2 z 2 y 2 x 2 ) dy dt 3yz dz dt ) i ^ ( ( 2 z 2 y 2 x 2 ) dx dt 3xz dz dt ) j ^ +( 3yz dx dt 3xz dy dt ) k ^ }

Las ecuaciones del movimiento son

M d 2 x d t 2 =q B 0 r 0 3 r 5 ( ( 2 z 2 y 2 x 2 ) dy dt 3yz dz dt ) M d 2 y d t 2 =q B 0 r 0 3 r 5 ( ( 2 z 2 y 2 x 2 ) dx dt 3xz dz dt ) M d 2 z d t 2 =q B 0 r 0 3 r 5 ( 3yz dx dt 3xz dy dt )

Definimos nuevas variables: ω=|q|B0/M, X=x/r0, Y=y/r0, Z=z/r0, τ=ωt

d 2 X d τ 2 = q | q | 1 ( X 2 + Y 2 + Z 2 ) 5/2 ( ( 2 Z 2 Y 2 X 2 ) dY dτ 3YZ dZ dτ ) d 2 Y d τ 2 = q | q | 1 ( X 2 + Y 2 + Z 2 ) 5/2 ( ( 2 Z 2 Y 2 X 2 ) dX dτ 3XZ dZ dτ ) d 2 Z d t 2 = q | q | 3Z ( X 2 + Y 2 + Z 2 ) 5/2 ( Y dX dτ X dY dτ )

Dado que la fuerza F no realiza trabajo por ser perpendicular al desplazamiento, la energía cinética se mantiene constante

E k = 1 2 M( ( dx dt ) 2 + ( dy dt ) 2 + ( dz dt ) 2 ) ( dX dt ) 2 + ( dY dt ) 2 + ( dZ dt ) 2 =cte

Supondremos que la partícula cargada es positiva, q/|q|=1. Resolvemos el sistema de tres ecuaciones diferenciales por procedimientos numéricos, con las siguientes condiciones iniciales

t=0{ X=1,( dX dt )=0.005 Y=1,( dY dt )=0.005 Z=0,( dZ dt )=0.01

Para verificar el procedimiento numérico comparamos la energía cinética inicial E0 de la partícula, y la final, Ef. El error cometido es

E= ( dX dt ) 2 + ( dY dt ) 2 + ( dZ dt ) 2 | E f E 0 E 0 |×100

Para observar el movimiento de la partícula se precisa de mucho tiempo, el error acumulado veremos que es importante.

f=@(t,x) [x(2); ((2*x(5)^2-x(3)^2-x(1)^2)*x(4)
-3*x(3)*x(5)*x(6))/(x(1)^2+x(3)^2+x(5)^2)^(5/2); x(4); 
-((2*x(5)^2-x(3)^2-x(1)^2)*x(2)-3*x(1)*x(5)*x(6))/(x(1)^2+x(3)^2+x(5)^2)^(5/2); 
x(6); 3*x(5)*(x(3)*x(2)-x(1)*x(4))/(x(1)^2+x(3)^2+x(5)^2)^(5/2)];
[t,x]=ode45(f,[0,1328],[1,0.005, 1,0.005, 0,0.01]);
 plot(t,x(:,5))
 E0=x(1,2).^2+x(1,4).^2+x(1,6).^2;
 Ef=x(end,2).^2+x(end,4).^2+x(end,6).^2;
 error=abs((Ef-E0)/E0)*100;
 fprintf('Error %1.3f\n',error)
 grid on
 xlabel('\tau')
 ylabel('Z');
 title('Movimiento en un dipolo magnético')

Para observar el movimiento en el eje X e Y, se toma un τmáx=25 850

Error 49.568

Un error de casi el 50% es importante

Estas dos representaciones gráficas sugieren que hay dos periodos o tiempos característicos del movimiento: uno corto y otro mucho más largo, del valor medio de la posición X o Y de la partícula

Para observar el movimiento en el eje Z , se toma un τmáx=1 328

Error 4.770

Otro periodo lo observamos en el movimiento de la partícula a lo largo del eje Z

Representamos la trayectoria de la partícula cargada, cambiando las líneas de código por éstas

...
plot3(x(:,1),x(:,3),x(:,5))
grid on
xlabel('X')
ylabel('Y');
zlabel('Z');
title('Movimiento en un dipolo magnético')

Movimiento de una partícula cargada en un campo magnético no uniforme

Una partícula de masa m y carga q se mueve en un campo magnético no uniforme

B =αyB j ^ +(1+αz)B k ^

La ecuación del movimiento es

m d 2 r d t 2 =q v × B d 2 r d t 2 = qB m | i ^ j ^ k ^ dx dt dy dt dz dt 0 αy (1+αz) |

Que da lugar a un sistema de tres ecuaciones diferenciales

{ d 2 x d t 2 =ω( (1+αz) dy dt +αy dz dt ) d 2 y d t 2 =ω(1+αz) dx dt d 2 z d t 2 =ωαy dx dt

con ω=qB/m. La primera ecuación diferencial se puede integrar

d 2 x d t 2 =ω dy dt +ωα d(y·z) dt dx dt =ω(1+αz)y+C

Donde C es una constante de integración que determinaremos a partir de las condiciones iniciales en el instante t=0

Conocido dx/dt, las otras dos ecuaciones diferenciales se expresan

{ d 2 y d t 2 = ω 2 ( 1+αz ) 2 yωC(1+αz) d 2 z d t 2 = ω 2 (1+αz)α y 2 ωαCy

Tenemos, por tanto, un sistema formado por una ecuación diferencial de primer orden y de dos ecuaciones diferenciales de segundo orden, que vamos a expresar de forma adimensional. Multiplicamos la primera ecuación diferencial por α/ω, la segunda y tercera por α/ω2, y expresamos las ecuaciones diferenciales en términos de X=α·x, Y=α·y, Z=α·z, τ=ω·t y D=αC/ω

{ dX dτ =(1+Z)Y+D d 2 Y d τ 2 = ( 1+Z ) 2 YD(1+Z) d 2 Z d τ 2 =(1+Z) Y 2 DY

Resolvemos este sistema de ecuaciones diferenciales con las siguientes condiciones iniciales: En el instante τ=0, la posición inicial es X=0, Y=Y0, X=0, la velocidad inicial es dX/dτ=Ux, dY/dτ=0, dZ/dτ=Uz.

La constante de integración D que aprece en la primera ecuación diferencial, se determina a partir de las condiciones iniciales, en el instante τ=0, Ux=Y0+D

Resultados

Sea Y0=0.66, Ux=0.02, Uz=0.08. Resolvemos el sistema de ecuaciones diferenciales hasta el tiempo τ=140

Referencias

J. Pierrus. Solved Problems in Classical Electromagnetism. Analytical and numerical solutions with comments. Oxford University Press (2018). Questions 4.22, 4.23, pp. 231-234.

O. L. de Lange, J. Pierrus Solved Problems in Classical Mechanics. Analytical and numerical solutions with comments. Question 7.23, pp. 201-205