Velocidad de propagación de un movimiento ondulatorio

En un movimiento ondulatorio trasversal, las direcciones de propagación y vibración de las partículas del medio son perpendiculares.

En un movimiento ondulatorio longitudinal, la propagación y la vibración de las partículas del tienen la misma dirección.

Ondas transversales en una cuerda

Consideremos una cuerda cuya tensión es T. En el equilibrio, la cuerda está en línea recta. Vamos a ver lo que ocurre cuando se desplaza un elemento de longitud dx, situado en la posición x de la cuerda, una cantidad Ψ respecto de la posición de equilibrio.

Dibujamos las fuerzas que actúan sobre el elemento diferencial y calculamos la aceleración del mismo, aplicando la segunda ley de Newton.

Como el elemento se desplaza en la dirección vertical, hallamos las componentes de las dos fuerzas en esta dirección y la resultante.

T(sinα’-sinα )

Si la curvatura de la cuerda no es muy grande, los ángulos α’ y α son pequeños y sus senos se pueden reemplazar por tangentes.

T(tanα'tanα)=Td(tanα)=T x (tgα)dx=T 2 Ψ x 2 dx

La segunda ley de Newton nos dice que la fuerza sobre el elemento es igual al producto de su masa por la aceleración (derivada segunda del desplazamiento).

La masa del elemento es igual al producto de la densidad lineal μ (masa por unidad de longitud), por la longitud dx del elemento.

(μdx) 2 Ψ t 2 =T 2 Ψ x 2 dx

Simplificando el término dx llegamos a la ecuación diferencial del Movimiento Ondulatorio,  a partir de la cual, obtenemos la fórmula de la velocidad de propagación de las ondas transversales en la cuerda.

v= T μ

Ondas longitudinales en una barra elástica

Deformación del elemento

Existe una relación de proporcionalidad entre el esfuerzo (fuerza por unidad de área) y deformación unitaria (deformación por unidad de longitud).

F S =Y l l 0 l 0

La constante de proporcionalidad Y se denomina módulo de Young y es característico de cada material

Consideremos un elemento de la barra de sección S en la posición x, que tiene una anchura dx. A causa de la perturbación, el elemento se desplaza Ψ y se deforma dΨ, de modo que la nueva anchura del elemento es dx+dΨ.

Calculamos la fuerza necesaria para producir esta deformación

F S =Y dx+dΨdx dx F S =Y Ψ x

A efectos de notación (derivada parcial) recuérdese que el desplazamiento Ψ, es una función de dos variables x (posición) y t (tiempo).

Desplazamiento del elemento

La parte izquierda de la barra ejerce una fuerza F sobre el elemento de barra de anchura dx, la parte derecha de la barra ejerce una fuerza F’ sobre dicho elemento

La fuerza neta es 

F'F=dF=SY 2 Ψ x 2 dx

La segunda ley de Newton afirma que la fuerza sobre dicho elemento es igual al producto de la masa (densidad por volumen) por la aceleración (derivada segunda del desplazamiento)

dF=( ρSdx ) 2 Ψ t 2

Igualando ambas expresiones obtenemos la ecuación diferencial de un movimiento ondulatorio

2 Ψ t 2 = Y ρ 2 Ψ x 2

La fórmula de la velocidad de propagación es

v= Y ρ

Material Velocidad propagación (m/s)
Acero al carbono 5050
Aluminio 5080
Cinc 3810
Cobre 3710
Corcho 500
Estaño 2730
Goma 46
Hielo 3280
Hierro 5170
Latón 3490
Plomo 2640
Vidrio de cuarzo 5370

Fuente: Manual de Física, Koshkin N. I., Shirkévich M. G.. Editorial Mir (1975), pág. 106.

Energía transportada por un movimiento ondulatorio armónico

Descripción cualitativa

En este apartado obtendremos, mediante un razonamiento cualitativo, una expresión para la energía transportada por un movimiento ondulatorio armónico. Las líneas de razonamiento son las siguientes:

  1. Examinaremos primero el concepto de flujo, para ello pensemos en el símil del agua que fluye por una cañería de sección S, con velocidad constante v. El volumen de agua que recogemos en el extremo de la cañería en la unidad de tiempo (por segundo) es igual al producto de la sección de la cañería por la velocidad de la corriente de agua.
  2. Como vemos en la figura, en la unidad de tiempo, el agua recogida es la contenida en el volumen cilíndrico de color azul, cuya sección es S y cuya longitud es v.

    Flujo (volumen de agua recogida en la unidad de tiempo)=Sv

    En un movimiento ondulatorio, la energía fluye desde la fuente de ondas a través del medio con la velocidad de propagación v.

  3. Las partículas del medio describen movimientos armónicos simples (MAS) de amplitud Ψ0 y frecuencia angular ω , cuando en dicho medio se propaga el movimiento ondulatorio armónico.

    Ψ(x,t)=Ψ0·sin k(x-vt)=Ψ0·sin (kx-ω t)

  4. La energía de una partícula vale

    E i = 1 2 m i ω 2 Ψ 0 2

    donde mi, es la masa de la partícula, ω es la frecuencia angular del MAS y Ψ0 es su amplitud.

  5. El flujo de energía, es la energía transportada en la unidad de tiempo, será igual a la energía de todas las partículas contenidas en el volumen cilíndrico de sección S y longitud v

  6. W t = 1 2 m i ω 2 Ψ 0 2 = 1 2 ( m i ) ω 2 Ψ 0 2 = 1 2 ( ρSv ) ω 2 Ψ 0 2

    La masa de todas las partículas, entre paréntesis en la segunda igualdad, es igual al producto de la densidad ρ por el volumen del cilindro Sv.

Descripción cuantitativa

Consideremos de nuevo, el caso de las ondas elásticas longitudinales que se propagan a lo largo de una barra. Una porción de la barra de anchura dx se desplaza con velocidad Ψ/t . El lado izquierdo de la barra ejerce una fuerza (–F) sobre dicha porción.

La potencia (energía por unidad de tiempo) que el lado izquierdo trasmite al lado derecho es

W t =(F) Ψ t =YS Ψ x Ψ t

Supongamos que la fuente de ondas situado en el extremo izquierdo de la barra produce un movimiento ondulatorio armónico de amplitud Ψ0 y frecuencia ω=2πf, que se propaga hacia la derecha con velocidad v.

Ψ(x,t)= Ψ 0 sin( k(xvt) )= Ψ 0 sin(kxωt) W t =YS Ψ 0 2 kω cos 2 (kxωt)

Sabiendo que la velocidad de propagación de las ondas longitudinales en la barra elástica es

v= Y ρ W t =YAS Ψ 0 2 kω cos 2 (kxωt)=Sρ v 2 kω Ψ 0 2 cos 2 (kxωt)=Sρv ω 2 Ψ 0 2 cos 2 (kxωt)

Calculamos el valor medio

W t =Sρv ω 2 Ψ 0 2 cos 2 (kxωt) =Sv( 1 2 ρ ω 2 Ψ 0 2 )

y llegamos al mismo resultado que en la descripción cualitativa

El valor medio de la función periódica f(t) de periodo P es

<f(t)>= 1 P 0 P f(t)·dt < cos 2 x>= 1 π 0 π cos 2 x·dx= 1 π 0 π 1+cos(2x) 2 ·dx= 1 2

>> syms x;
>> int('cos(x)^2',x,0,pi)/pi
ans =1/2

Intensidad

Se define intensidad del movimiento ondulatorio, como la energía transportada por unidad de área y por unidad de tiempo. Dividiendo la fórmula anterior por el área S obtenemos una expresión general para la intensidad de un movimiento ondulatorio armónico de frecuencia angular ω y de amplitud Ψ0 que se propaga en un medio de densidad ρ con velocidad v.

I=v( 1 2 ρ ω 2 Ψ 0 2 )

La unidad de medida es W/m2, aunque para el sonido se suele emplear una medida más familiar, el decibel. El nivel de intensidad de un sonido se expresa en decibeles (abreviado db), según la definición

B=10log I I 0

Donde I0 es una intensidad de referencia. Para el caso del sonido en el aire el nivel de referencia tomado arbitrariamente es de 10-12 W/m2.

La ley inversa del cuadrado de la distancia.

La intensidad de un movimiento ondulatorio varía con la inversa del cuadrado de la distancia a una fuente puntual. La fuente de luz emite energía a razón de P watios (julios/segundo). Si la luz se propaga en todas las direcciones de forma isótropa, a una distancia r de la fuente, el flujo de energía atraviesa una superficie esférica de radio r.

I= P 4π r 2

La intensidad se mide en W/m2. La intensidad de la luz disminuye en razón inversamente proporcional al cuadrado de la distancia x desde la fuente al detector.

Se puede considerar al Sol como una fuente puntual de luz. La Tierra está a una distancia del Sol de una Unidad Astronómica (UA), 149,600,000 km. La intensidad de la radiación solar medida en la órbita de la Tierra  es I=1390 W/m2 denominada constante solar. Júpiter que dista 5.203 UA del Sol recibirá una intensidad de

I= 1390 5.203 2 =51.35 W/m 2

En la experiencia de laboratorio, colocamos un sensor (light sensor de PASCO), a la izquierda en la fotografía, a una distancia x de la fuente de luz, a la derecha, que vamos cambiando. Obtenemos la siguiente tabla:

Distancia x a la fuente de luz (cm) Intensidad I(lux)
0.20 171
0.25 106
0.30 73
0.35 52
0.40 39
0.45 30.5
0.50 24.5

A partir de la expresión de la intensidad I en función de la distancia r a la fuente, tomamos logaritmos neperianos y obtenemos la ecuación de una recta de pendiente -2.

I= P 4π r 2 lnI=a2lnr

x=[0.20,0.25,0.30,0.35,0.40,0.45,0.50];
y=[171,106,73,52,39,30.5,24.5];
hold on
plot(log(x),log(y),'bo','markersize',2,'markerfacecolor','b')
grid on
xlabel('log(x)')
ylabel('log(y)')
title('Inversa del cuadrado de la distancia')

Corremos el script y aparece la ventana gráfica con la representación de los datos como puntos de color azul. En el menú seleccionamos Tools/Basic Fitting, aparece un cuadro de diálogo donde marcamos la casilla linear en Plot fits. A continuación, pulsamos la flecha hacia la derecha --> para mostrar los coeficientes p1 y p2 del polinomio (recta) y=p1·x+p2 de ajuste. El coeficente p1=-2.1242 y p2=1.732. El dato que nos interesa es la pendiente de la recta p1 que es un valor próximo a 2.

Referencias

Alonso M., Finn E. J. Física. Addison-Wesley Iberoamericana (1995), págs. 644-646

Alonso M., Finn E. J. Física. Addison-Wesley Iberoamericana (1995), págs. 639-642