Una esfera que rueda sobre una plataforma giratoria

Cuando la plataforma es horizontal la esfera describe una órbita circular con una velocidad angular que es las dos séptimas partes de la velocidad angular de la plataforma. Cuando se inclina la plataforma, se superpone al movimiento circular un movimiento rectilíneo con velocidad constante hacia un lado (no a lo largo de la pendiente) denominada velocidad de deriva.

Ecuaciones del movimiento de la esfera

Para describir el movimiento de la esfera, situamos el Sistema de Referencia Inercial del siguiente modo: eje Y a lo largo de la plataforma inclinada un ángulo α, el eje X perpendicular al mismo y el eje Z perpendicular al plano de la plataforma, tal como se muestra en las figuras.

La esfera parte de la posición x0, y0 con velocidad, cuyas componentes son V0x=V0·cosφ, V0y=V0·sinφ, rodando sin deslizar sobre la plataforma

Descomponemos el movimiento de la esfera de masa m y radio R en el plano, en dos movimientos.

Las componentes de la velocidad del punto de contacto P de la esfera con la plataforma son:

vx=Vxy·R
vy=Vyx·R

Si el punto de contacto P dista r del eje de rotación de la plataforma que gira con velocidad angular Ω. Las componentes de la velocidad del punto P

vx=-Ω·r·sinθ=-Ω·y
vy=
Ω·r·cosθ=Ω·x

Para que la esfera ruede sin deslizar, el punto de contacto P debe de estar en reposo respecto de la plataforma. Se cumplirá por tanto,

-Ω·y=Vxy·R
Ω·x=Vyx·R      (1)

Las fuerzas sobre la esfera son:

Como vemos en la figura, la componente Fx de la fuerza de rozamiento se opone al movimiento de traslación del c.m. y favorece el movimiento de rotación

La componente Fy y la componente mg·senα se opone al movimiento de traslación del c.m. y la primera, al movimiento de rotación

Ecuación del movimiento del centro de masas

m d V x dt = F x m d V y dt = F y mgsinα

Ecuación de la dinámica de rotación

I c d ω x dt = F y R I c d ω y dt = F x R

Para una esfera la fórmula del momento de inercia es Ic=2mR2/5

Eliminamos las dos componentes desconocidas de la fuerza de rozamiento Fx, y Fy en las ecuaciones del movimiento.

d V x dt = 2 5 R d ω y dt d V y dt = 2 5 R d ω x dt g·sinα

Derivamos respecto del tiempo las ecuaciones (1)

Ω V y = d V x dt R d ω y dt Ω V x = d V y dt +R d ω x dt

Eliminamos las derivadas de las componentes de la velocidad angular x/dt, y y/dt, y obtenemos las ecuaciones diferenciales del movimiento del c.m. de la esfera.

7 2 d V x dt =Ω V y 7 2 d V y dt =Ω V x 5 2 gsinα

Trayectoria del c.m. de la esfera

Tenemos que resolver un sistema de dos ecuaciones diferenciales acopladas. Para desacoplarlas, despejamos Vy de la primera ecuación y la introducimos en la segunda.

d 2 V x d t 2 + 2 2 Ω 2 7 2 V x = 10Ω 49 gsinα

La solución de esta ecuación diferencial (similar a la de un MAS) es de la forma

Vx=Acos(k·t)+B·sin(k·t)+c

donde k=2Ω/7

Introduciendo Vx en la ecuación diferencial, obtenemos la solución particular c de la ecuación diferencial de segundo orden.

V x =Acos( 2Ω 7 ·t )+Bsin( 2Ω 7 ·t )+ 5g 2Ω sinα

A partir de la expresión de Vx, obtenemos la componente Vy de la velocidad del c.m.

V y = 7 2Ω d V x dt =Asin( 2Ω 7 ·t )Bcos( 2Ω 7 ·t )

Las constantes A y B se determinan a partir de las condiciones iniciales. En el instante t=0, las componentes de la velocidad del c.m. son (V0x, V0y).

V x =( V 0x 5g 2Ω sinα )cos( 2Ω 7 ·t ) V 0y sin( 2Ω 7 ·t )+ 5g 2Ω sinα V y =( V 0x 5g 2Ω sinα )sin( 2Ω 7 ·t )+ V 0y cos( 2Ω 7 ·t )

Podemos escribir estas ecuaciones de forma general definiendo dos variables, cuyo significado veremos más adelante.

V d = 5g 2Ω sinα ω c = 2Ω 7

Vx=(V0x-Vd)·cos(ωct)-V0y·sin(ωc·t)+Vd
Vy
=(V0x-Vd)·sin(ωct)+V0y·cos(ωc·t)

Sabiendo que en el instante t=0, la posición del centro de la esfera es (x0, y0), calculamos la abscisa x del centro de la esfera integrando la expresión de la velocidad Vx en función del tiempo. Se hace lo mismo para la ordenada y.

x= x 0 + 1 ω c { ( V 0x V d )sin( ω c ·t)+ V 0y (cos( ω c ·t)1) }+ V d t y= y 0 + 1 ω c { ( V 0x V d )(1cos( ω c ·t))+ V 0y sin( ω c ·t) }

Podemos escribir de forma alternativa esta ecuación de la forma

x x 0 + V 0y ω c V d t= 1 ω c { ( V 0x V d )sin( ω c ·t)+ V 0y cos( ω c ·t) } y y 0 1 ω c ( V 0x V d )= 1 ω c { ( V 0x V d )cos( ω c ·t)+ V 0y sin( ω c ·t) }

Elevando al cuadrado y sumando

( x x 0 + V 0y ω c V d t ) 2 + ( y y 0 V 0x ω c + V d ω c ) 2 = 1 ω c 2 { ( V 0x V d ) 2 + V 0y 2 }

Se trata de la ecuación de una circunferencia centrada en el punto (a, b) y de radio Rc

(x-a)2+(y-b)2=Rc2

donde

a= x 0 V 0y ω c + V d tb= y 0 + V 0x ω c V d ω c R c = 1 ω c ( V 0x V d ) 2 + V 0y 2

El centro se mueve a lo largo del eje X (no a lo largo del plano inclinado) con  velocidad Vd., que se denomina velocidad de deriva.

Ejemplo

Casos particulares

Cuando la plataforma está horizontal α=0

Si la plataforma está horizontal α=0, y Vd=0

La circunferencia está centrada en el punto fijo

a= x 0 V 0y ω c b= y 0 + V 0y ω c R c = V 0 ω c

La esfera describe una circunferencia alrededor de un centro que no coincide con el eje de rotación de la plataforma. El tiempo que tarda en dar una vuelta completa es

2π ω c = 7 2 2π Ω

7/2 veces el tiempo que precisa la plataforma en dar una vuelta completa. Así pues, ωc es la frecuencia angular de la esfera en su movimiento orbital sobre la plataforma giratoria. Como la esfera rueda sin deslizar, no se deberá confundir ωc con la velocidad angular de rotación de la esfera alrededor de su propio eje

Ejemplo:

Cuando la esfera parte del reposo

V0x=V0y=0 desde el origen x0=0, y0=0

x= V d ω c { -sin( ω c ·t )+ ω c ·t } y= V d ω c ( 1+cos( ω c ·t ) )

que son las ecuaciones de una cicloide

Ejemplo:

Movimiento rectilíneo

Si V0y=0, y V0x=Vd.

x=x0+Vt
y=y0

La esfera se mueve horizontalmente a lo largo del eje X (no a lo largo del plano inclinado) con velocidad constante.

Ejemplo:

Actividades

Se introduce

Se pulsa el botón titulado Nuevo

Se observa el movimiento de la esfera sobre la plataforma horizontal a inclinada.




Referencias

Sambles J. R., Preist T. W., Lang S. R., Toms R. P. A rolling sphere on a tilted rotating turntable. Phys. Educ. 18, (1983), pp. 234-239